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2017年湖北省黄冈市中考数学真题及答案
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这是一份2017年湖北省黄冈市中考数学真题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算：|﹣|=（ ）
A．B．C．3D．﹣3
2．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xyB．（m+3）2=m2+9C．（xy2）3=xy6D．a10÷a5=a5
3．已知：如图，直线a∥b，∠1=50°．∠2=∠3，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
4．已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ）
A．长方体B．正三棱柱C．圆锥D．圆柱
5．某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
6．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．16的算术平方根是 ．
8．分解因式：mn2﹣2mn+m= ．
9．计算：﹣6﹣的结果是 ．
10．自中国提出“一带一路，合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进．其中，有中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首条海外中国标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作 吨．
11．化简：（ +）•= ．
12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
13．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2．
14．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= cm．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．解不等式组．
16．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
18．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
19．我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m= ，n= ．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
20．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2=MD•MN．
21．已知：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A（﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．
（1）求k的值；
（2）求四边形AEDB的面积．
22．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
23．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
24．已知：如图所示，在平面直角坐标系xy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
2017年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，第小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1．计算：|﹣|=（ ）
A．B．C．3D．﹣3
【考点】15：绝对值．
【分析】利用绝对值得性质可得结果．
【解答】解：|﹣|=，
故选A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xyB．（m+3）2=m2+9C．（xy2）3=xy6D．a10÷a5=a5
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=m2+6m+9，不符合题意；
C、原式=x3y6，不符合题意；
D、原式=a5，符合题意，
故选D
3．已知：如图，直线a∥b，∠1=50°．∠2=∠3，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质，即可得到∠1+∠2+∠3=180°，再根据∠2=∠3，∠1=50°，即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
又∵∠2=∠3，∠1=50°，
∴50°+2∠2=180°，
∴∠2=65°，
故选：C．
4．已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ）
A．长方体B．正三棱柱C．圆锥D．圆柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据2个相同的视图可得到所求的几何体是柱体，锥体，还是球体，进而由第3个视图可得几何体的名称．
【解答】解：主视图和左视图是长方形，那么该几何体为柱体，第三个视图为圆，那么这个柱体为圆柱．
故选D．
5．某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
【考点】W4：中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：10个数，处于中间位置的是13和13，因而中位数是：（13+13）÷2=13．
故选B．
6．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．16的算术平方根是 4 ．
【考点】22：算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42=16，
∴=4．
故答案为：4．
8．分解因式：mn2﹣2mn+m= m（n﹣1）2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=m（n2﹣2n+1）=m（n﹣1）2，
故答案为：m（n﹣1）2
9．计算：﹣6﹣的结果是 ﹣6 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先依据二次根式的性质，化简各二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣6﹣
=﹣6﹣
=3﹣6﹣
=﹣6
故答案为：﹣6．
10．自中国提出“一带一路，合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进．其中，有中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首条海外中国标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作 2.5×107 吨．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：25000000=2.5×107．
故答案为：2.5×107．
11．化简：（ +）•= 1 ．
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】首先计算括号內的加法，然后计算乘法即可化简．
【解答】解：原式=（﹣）•
=•
=1．
故答案为1．
12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 45° ．
【考点】LE：正方形的性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
13．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 65π cm2．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，
∴勾股定理得圆锥的底面半径为13cm，
∴圆锥的侧面积=π×13×5=65πcm2．
故答案为：65π．
14．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= 1.5 cm．
【考点】R2：旋转的性质；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．解不等式组．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥0，
故不等式组的解集为0≤x＜1．
16．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD=∠NAM，
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B=∠ANM．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）将k=1代入方程，由韦达定理得出x1+x2=﹣3，x1x2=1，代入到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2可得．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣；
（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．
18．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+5）元，根据题意可得等量关系：用12000元购进的科普类图书的本数=用5000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+5）元．
根据题意，得=．
解得x=．
经检验，x=是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为+5=元，
答：文学类图书平均每本的价格为元，科普类图书平均每本的价格为元．
19．我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m= 100 ，n= 5 ．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n；
（2）求出足球人数=100﹣30﹣20﹣10﹣5=35人，即可解决问题；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．
（4）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意m=30÷30%=100，排球占=5%，
∴n=5，
故答案为100，5．
（2）足球=100﹣30﹣20﹣10﹣5=35人，
条形图如图所示，
（3）若全校共有2000名学生，该校约有2000×=400名学生喜爱打乒乓球．
（4）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C两队进行比赛）==．
20．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2=MD•MN．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵ME平分∠DMN，
∴∠OME=∠DME，
∵OM=OE，
∴∠OME=∠OEM，
∴∠DME=∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE过O，
∴DE是⊙O的切线；
（2）
连接EN，
∵DM⊥DE，MN为⊙O的半径，
∴∠MDE=∠MEN=90°，
∵∠NME=∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴=，
∴ME2=MD•MN
21．已知：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A（﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．
（1）求k的值；
（2）求四边形AEDB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），即可得到点A的坐标，再根据反比例函数y=的图象经过A（﹣1，3），即可得到k的值；
（2）先求得AC=3﹣（﹣2）=5，BC=﹣（﹣1）=，再根据四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE的面积进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，延长AE，BD交于点C，则∠ACB=90°，
∵一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），
∴m=2+1=3，
∴A（﹣1，3），
∵反比例函数y=的图象经过A（﹣1，3），
∴k=﹣1×3=﹣3；
（2）∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），
∴令y=﹣2，则﹣2=﹣2x+1，
∴x=，即B（，﹣2），
∴C（﹣1，﹣2），
∴AC=3﹣（﹣2）=5，BC=﹣（﹣1）=，
∴四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE的面积
=AC×BC﹣CE×CD
=×5×﹣×2×1
=．
22．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+x=10，解方程即可．
【解答】解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=x，
在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，
∴AE=2AB=10米，
∴x+x=10，
∴x=5﹣5，
∴EF=2x=10﹣10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．
23．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
【考点】GA：反比例函数的应用；HE：二次函数的应用．
【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，zmax=﹣80；当x=16时，zmax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润z=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令z=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出z与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，
综上所述，y=；
（2）当4≤x≤8时，z=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）•﹣160=﹣，
∵当4≤x≤8时，z随着x的增大而增大，
∴当x=8时，zmax=﹣=﹣80；
当8＜x≤28时，z=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x=16时，zmax=﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润z=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，
令z=103，则103=﹣x2+32x﹣128，
解得x1=11，x2=21，
在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当z≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元．
24．已知：如图所示，在平面直角坐标系xy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．
【解答】解：
（1）当t=1s时，则CP=2，
∵OC=3，四边形OABC是矩形，
∴P（2，3），且A（4，0），
∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，
∴，解得，
∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+3x；
（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，
∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，
∴tan∠QPA==；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，
则CP=2t，OQ=t，
∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴=，且BM=2AM，
∴=2，解得t=3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；
（4）当0≤t≤2时，如图3，
由题意可知CP=2t，
∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，
由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，
同（3）可得==，
∴BM=•AM，
∴3﹣AM=•AM，解得AM=，
∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，
由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，
∵AB∥OC，
∴=，即=，解得AM=，
∴BM=3﹣=，
∴S=S△BCM=×4×=；
综上可知S=．
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
4
3
1
年龄（岁）
12
13
14
15
人数（名）
2
4
3
1
1．计算：|﹣|=（ ）
A．B．C．3D．﹣3
2．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xyB．（m+3）2=m2+9C．（xy2）3=xy6D．a10÷a5=a5
3．已知：如图，直线a∥b，∠1=50°．∠2=∠3，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
4．已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ）
A．长方体B．正三棱柱C．圆锥D．圆柱
5．某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
6．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．16的算术平方根是 ．
8．分解因式：mn2﹣2mn+m= ．
9．计算：﹣6﹣的结果是 ．
10．自中国提出“一带一路，合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进．其中，有中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首条海外中国标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作 吨．
11．化简：（ +）•= ．
12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
13．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2．
14．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= cm．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．解不等式组．
16．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
18．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
19．我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m= ，n= ．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
20．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2=MD•MN．
21．已知：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A（﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．
（1）求k的值；
（2）求四边形AEDB的面积．
22．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
23．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
24．已知：如图所示，在平面直角坐标系xy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
2017年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，第小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1．计算：|﹣|=（ ）
A．B．C．3D．﹣3
【考点】15：绝对值．
【分析】利用绝对值得性质可得结果．
【解答】解：|﹣|=，
故选A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xyB．（m+3）2=m2+9C．（xy2）3=xy6D．a10÷a5=a5
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=m2+6m+9，不符合题意；
C、原式=x3y6，不符合题意；
D、原式=a5，符合题意，
故选D
3．已知：如图，直线a∥b，∠1=50°．∠2=∠3，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质，即可得到∠1+∠2+∠3=180°，再根据∠2=∠3，∠1=50°，即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
又∵∠2=∠3，∠1=50°，
∴50°+2∠2=180°，
∴∠2=65°，
故选：C．
4．已知：如图，是一几何体的三视图，则该几何体的名称为（ ）
A．长方体B．正三棱柱C．圆锥D．圆柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据2个相同的视图可得到所求的几何体是柱体，锥体，还是球体，进而由第3个视图可得几何体的名称．
【解答】解：主视图和左视图是长方形，那么该几何体为柱体，第三个视图为圆，那么这个柱体为圆柱．
故选D．
5．某校10名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
则这10名篮球运动员年龄的中位数为（ ）
A．12B．13C．13.5D．14
【考点】W4：中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：10个数，处于中间位置的是13和13，因而中位数是：（13+13）÷2=13．
故选B．
6．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．70°
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．16的算术平方根是 4 ．
【考点】22：算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵42=16，
∴=4．
故答案为：4．
8．分解因式：mn2﹣2mn+m= m（n﹣1）2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=m（n2﹣2n+1）=m（n﹣1）2，
故答案为：m（n﹣1）2
9．计算：﹣6﹣的结果是 ﹣6 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
【分析】先依据二次根式的性质，化简各二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣6﹣
=﹣6﹣
=3﹣6﹣
=﹣6
故答案为：﹣6．
10．自中国提出“一带一路，合作共赢”的倡议以来，一大批中外合作项目稳步推进．其中，有中国承建的蒙内铁路（连接肯尼亚首都内罗毕和东非第一大港蒙巴萨港），是首条海外中国标准铁路，已于2017年5月31日正式投入运营，该铁路设计运力为25000000吨，将25000000吨用科学记数法表示，记作 2.5×107 吨．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：25000000=2.5×107．
故答案为：2.5×107．
11．化简：（ +）•= 1 ．
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】首先计算括号內的加法，然后计算乘法即可化简．
【解答】解：原式=（﹣）•
=•
=1．
故答案为1．
12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 45° ．
【考点】LE：正方形的性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
13．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 65π cm2．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，
∴勾股定理得圆锥的底面半径为13cm，
∴圆锥的侧面积=π×13×5=65πcm2．
故答案为：65π．
14．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= 1.5 cm．
【考点】R2：旋转的性质；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．解不等式组．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥0，
故不等式组的解集为0≤x＜1．
16．已知：如图，∠BAC=∠DAM，AB=AN，AD=AM，求证：∠B=∠ANM．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】要证明∠B=∠ANM，只要证明△BAD≌△NAM即可，根据∠BAC=∠DAM，可以得到∠BAD=∠NAM，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM，本题得以解决．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAM，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAM=∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD=∠NAM，
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B=∠ANM．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；
（2）将k=1代入方程，由韦达定理得出x1+x2=﹣3，x1x2=1，代入到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2可得．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣；
（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，
∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．
18．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+5）元，根据题意可得等量关系：用12000元购进的科普类图书的本数=用5000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+5）元．
根据题意，得=．
解得x=．
经检验，x=是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为+5=元，
答：文学类图书平均每本的价格为元，科普类图书平均每本的价格为元．
19．我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．
根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）m= 100 ，n= 5 ．
（2）补全上图中的条形统计图．
（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母A、B、C、D代表）
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n；
（2）求出足球人数=100﹣30﹣20﹣10﹣5=35人，即可解决问题；
（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．
（4）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意m=30÷30%=100，排球占=5%，
∴n=5，
故答案为100，5．
（2）足球=100﹣30﹣20﹣10﹣5=35人，
条形图如图所示，
（3）若全校共有2000名学生，该校约有2000×=400名学生喜爱打乒乓球．
（4）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（B、C两队进行比赛）==．
20．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2=MD•MN．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵ME平分∠DMN，
∴∠OME=∠DME，
∵OM=OE，
∴∠OME=∠OEM，
∴∠DME=∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE过O，
∴DE是⊙O的切线；
（2）
连接EN，
∵DM⊥DE，MN为⊙O的半径，
∴∠MDE=∠MEN=90°，
∵∠NME=∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴=，
∴ME2=MD•MN
21．已知：如图，一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A（﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．
（1）求k的值；
（2）求四边形AEDB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），即可得到点A的坐标，再根据反比例函数y=的图象经过A（﹣1，3），即可得到k的值；
（2）先求得AC=3﹣（﹣2）=5，BC=﹣（﹣1）=，再根据四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE的面积进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，延长AE，BD交于点C，则∠ACB=90°，
∵一次函数y=﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），
∴m=2+1=3，
∴A（﹣1，3），
∵反比例函数y=的图象经过A（﹣1，3），
∴k=﹣1×3=﹣3；
（2）∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），
∴令y=﹣2，则﹣2=﹣2x+1，
∴x=，即B（，﹣2），
∴C（﹣1，﹣2），
∴AC=3﹣（﹣2）=5，BC=﹣（﹣1）=，
∴四边形AEDB的面积=△ABC的面积﹣△CDE的面积
=AC×BC﹣CE×CD
=×5×﹣×2×1
=．
22．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+x=10，解方程即可．
【解答】解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=x，
在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，
∴AE=2AB=10米，
∴x+x=10，
∴x=5﹣5，
∴EF=2x=10﹣10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．
23．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
【考点】GA：反比例函数的应用；HE：二次函数的应用．
【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，zmax=﹣80；当x=16时，zmax=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）根据第二年的年利润z=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令z=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出z与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．
【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，
综上所述，y=；
（2）当4≤x≤8时，z=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）•﹣160=﹣，
∵当4≤x≤8时，z随着x的增大而增大，
∴当x=8时，zmax=﹣=﹣80；
当8＜x≤28时，z=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，
∴当x=16时，zmax=﹣16；
∵﹣16＞﹣80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．
（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润z=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，
令z=103，则103=﹣x2+32x﹣128，
解得x1=11，x2=21，
在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图可得：
观察示意图可知，当z≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润z不低于103万元．
24．已知：如图所示，在平面直角坐标系xy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．
（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；
（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；
（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；
（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．
【解答】解：
（1）当t=1s时，则CP=2，
∵OC=3，四边形OABC是矩形，
∴P（2，3），且A（4，0），
∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，
∴，解得，
∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+3x；
（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，
∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，
∴tan∠QPA==；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，
则CP=2t，OQ=t，
∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，
∵PC∥OA，
∴△PBM∽△QAM，
∴=，且BM=2AM，
∴=2，解得t=3，
∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；
（4）当0≤t≤2时，如图3，
由题意可知CP=2t，
∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；
当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，
由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，
同（3）可得==，
∴BM=•AM，
∴3﹣AM=•AM，解得AM=，
∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；
当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，
由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，
∵AB∥OC，
∴=，即=，解得AM=，
∴BM=3﹣=，
∴S=S△BCM=×4×=；
综上可知S=．
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人数（名）
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