陕西咸阳市咸阳中学2023-2024学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题

这是一份陕西咸阳市咸阳中学2023-2024学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 已知集合 A={1,2,3},B={x∣x≥2}, 则A∩∁RB( )
A.{1}B.{1,2}C.{1,3}D.{2,3}
2. 若指数函数 y=(1-3a)x在R上为单调递增函数, 则实数a的取值范围为( )
A.0,13B.(1,+∞)
C.RD.(-∞,0)
3. 若 z=1+i, 则z2-2z=( )
A.0B.1C.2D.2
4. 已知函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 则对实数a>0,b>0,“a>b” 是 “f(a)>f(b)”的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5. 已知函数 f(x)=2x,x>0x+1,x≤0, 若f(a)+f(1)=0, 则实数a的值等于( )
A. -3B. -1C.1D.3
6. 函数 f(x)=cs(x+π)x-sinx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 若 bA.1a<1bB.ab>a2
C.3a>3bD.|a|+|b|>|a+b|
8. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与 底面正方形的边长的比值为( )
A.5-14B.5-12
C.5+14D.5+12
9. 已知 α∈(0,π), 且3cs2α-8csα=5, 则sinα=( )
A.53B.23
C.13D.59
10. 如图是函数 f(x)的导函数y=f'(x)的图象, 则下列说法一定正确的是( )
A.x=x3是函数f(x)的极小值点
B.当 x=x2或x=x4时, 函数f(x)的值为 0
C.函数 f(x)的图像关于点(0,c)对称
D.函数 f(x)在x4,+∞上是增函数
11. 若函数 f(x)=acsx与g(x)=x2+bx+3图象在交点(0,m)处有公切线, 则a+b+m=( )
A.6B.4C.3D.2
12. 若 2a+lg2a=22b+lg2b，则( )
A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设 a,b为单位向量, 且|a+b|=1, 则|a-b|_________.
14.设 an是公比不为 1 的等比数列, 若a1为a2,a3的等差中项, 则an的公比为___________.
15. 设 f(x)是定义在R上的奇函数, 且对任意实数x, 恒有f(x+4)=f(x). 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, 则f(2019)=_________.
16. 已知直线 l是平面α和平面β的交线，异面直线a,b分别在平面α和平面β内.
命题 p:直线a,b中至多有一条与直线l相交;
命题 q: 直线a,b中至少有一条与直线l相交;
命题 s:直线a,b都不与直线l相交.
则下列命题中所有真命题的序号是___________.
①p∨(¬q) ②(¬p)∧s ③q∧(¬s) ④(¬p)∧(¬q)
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分12分）已知 f(x)是定义在R上的偶函数, 且当x≤0时,f(x)=lg12(-x+1)
(1) 求函数 f(x)的解析式;
(2) 若 f(a-1)<-1, 求实数a的取值范围.
18. （本题满分12分）已知函数 f(x)=ax+bx(a,b∈R), 且f(1)=2,f(-2)=-52.
(1)求 f(x)的解析式, 并写出其定义域;
(2)用函数单调性的定义证明: f(x)在(0,1)上单调递减.
19. （本题满分12分）已知二次函数 f(x)的最小值为 1 ,且f(x)=f(2-x),f(0)=3.
(1) 求 f(x)的解析式;
(2) 在区间 [-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的 取值范围.
20. （本题满分12分）已知抛物线 C:y2=43x的焦点为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点, 且椭圆E过点P1,32.
(1)求椭圆 E的标准方程;
(2) 若与直线 OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆E于A,B两点, 且OA⊥OB, 求 直线AB的方程.
21. （本题满分12分）已知函数 f(x)=1+lnxx-a(a∈R)
(1) 若 f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立, 求a的取值范围;
(2) 设 g(x)=(x-1)2ex, 当a=0时, 若t(x)=f(x)-g(x), 求t(x)零点的个数.
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
22.（本题满分10分）在直角坐标系 xOy中, 曲线C1的参数方程为x=cskt,y=sinkt(t为参数). 以坐标原 点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为4ρcsθ-16ρsinθ+3=0.
(1) 当 k=1时,C1是什么曲线?
(2) 当 k=4时, 求C1与C2的公共点的直角坐标.
23.（本题满分10分）已知函数 f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)的图像;
(2) 求不等式 f(x)>f(x+1)的解集.
参考答案及解析
1. 【答案】A
【解析】【分析】求出集合A∩∁RB, 利用交集的定义可求得集合A∩∁RB.
【详解】 ∵B={x∣x≥2}, 则A∩∁RB={x∣x<2}, 又∵A={1,2,3}, 因此,A∩∁RB={1}. 故选：A.
2. 【答案】D
【解析】
【解析】由题意得出 1-3a>1, 解出即可.
【详解】由于指数函数 y=(1-3a)x在R上为单调递增函数, 则1-3a>1, 解得a<0.
因此, 实数 a的取值范围是(-∞,0).
故选: D.
3. 【答案】D
【解析】
【分析】由题意首先求得 z2-2z的值, 然后计算其模即可.
【详解】由题意可得: z2=(1+i)2=2i, 则z2-2z=2i-2(1+i)=-2.
故 z2-2z=|-2|=2.
故选: D.
4. 【答案】C
【解析】
【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果
【详解】因为函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 且a>0,b>0, 由增函数的定义可知,
当 a>b时, 有f(a)>f(b), 充分性成立; 当f(a)>f(b)时, 若a=b, 由函数定义可知矛盾,
若 ab, 必要性成立. 即对实数a>0,b>0,“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件.
故选: C
5. 【答案】A
【解析】
【分析】首先求得 f(1)的值, 然后分类讨论确定实数a的值即可, 需要注意自变量的取值 范围.
【详解】 f(1)=2×1=2, 据此结合题意分类讨论:
当 a>0时,f(a)=2a,
由 f(a)+f(1)=0得2a+2=0, 解得a=-1, 舍去;
当 a≤0时,f(a)=a+1,
由 f(a)+f(1)=0得a+1+2=0, 解得a=-3, 满足题意.
故选: A.
6. 【答案】A
【解析】
【分析】化简函数 f(x)=csxsinx-x, 得出函数f(x)为奇函数, 在结合f(1)=cs1sin1-1<0, 即 可求解.
【详解】由题意, 函数 f(x)=cs(x+π)x-sinx=csxsinx-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,
且 f(-x)=cs(-x)sin(-x)-x=-csxsinx-x=-f(x),
所以函数为奇函数, 图象关于原点对称, 排除B、 D,
又由 f(1)=cs1sin1-1<0, 排除C,
故选: A.
7. 【答案】D
【解析】
【分析】对于AB, 利用不等式的性质判断, 对于 C, 利用幂函数的单调性判断, 对于D, 举例判断
【详解】对于A, 因为 b0, 所以bab对于 B, 因为 ba2, 所以B正确,
对于C, 因为 y=3x在R上递增,b3b, 所以C 正确,
对于D, 若 b=-2,a=-1, 则|a|+|b|=3,|a+b|=|-3|=3, 则|a|+|b|=|a+b|, 所以 D 错误,
故选: D
8. 【答案】C
【解析】
【分析】设 CD=a,PE=b, 利用PO2=12CD∙PE得到关于a,b的方程, 解方程即可得到答 案.
【详解】如图, 设 CD=a,PE=b, 则PO=PE2-OE2=b2-a24,
由题意 PO2=12ab, 即b2-a24=12ab, 化简得4ba2-2∙ba-1=0,
解得 ba=1+54(负值舍去).
故选: C.
9. 【答案】A
【解析】
【分析】用二倍角的余弦公式, 将已知方程转化为关于 csα的一元二次方程, 求解得出csα, 再用同角间的三角函数关系, 即可得出结论.
【详解】 3cs2α-8csα=5, 得6cs2α-8csα-8=0,
即 3cs2α-4csα-4=0, 解得csα=-23或csα=2(舍去),
又 ∵α∈(0,π),∴sinα=1-cs2α=53.
故选: A.
10. 【答案】D
【解析】
【解析】通过导函数的图象, 判断导函数的符号, 然后判断函数的单调性以及函数的极值即 可得到选项.
【详解】由题意可知 x∈-∞,x4,f'(x),,0, 所以函数f(x)是减函数,
x=x3不是函数f(x)的极小值点;
当 x=x2或x=x4时, 函数f(x)的值为 0 不正确;
当 x∈x4,+∞时,f'(x)>0,
所以函数 f(x)是增函数, 故选项C不正确,D正确,
故选: D.
11. 【答案】A
【解析】
【分析】利用切点坐标和斜率列方程, 化简后求得 a,b,m的值, 进而求得a+b+m.
【详解】 f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,f(0)=a,g(0)=3⇒a=m=3.
由于函数 f(x)=acsx与g(x)=x2+bx+3图象在交点(0,m)处有公切线,
所以 f'(0)=g'(0), 即0=b.
所以 a+b+m=3+0+3=6.
故选：A
12. 【答案】B
【解析】
【分析】对于A、B：根据题意可得 2a+lg2a=22b+lg2b<22b+lg2(2b), 结合函数单调 性分析判断; 对于 C、D: 利用排除法, 取特值检验.
【详解】因为 b>0, 则b<2b, 且y=lg2x在定义域(0,+∞)内单调递增, 可得lg2b所以 2a+lg2a=22b+lg2b<22b+lg2(2b),
又因为 y=2x在定义域(0,+∞)内单调递增, 则f(x)=2x+lg2x在定义域(0,+∞)内单调递增, 对于2a+lg2a<22b+lg2(2b), 即f(a)可知 g(x)=22x+lg2x在定义域(0,+∞)内单调递增,
取 a=1, 则2a+lg2a=2,
因为 2=g(b)b2, 故 D 错误;
取 b=4, 则22b+lg2b=66,
因为 f(16)=216+4>f(a)=66, 可得a<16, 所以a故选: B.
13. 【答案】 3.
【解析】因为 a,b为单位向量, 且|a+b|=1,
所以 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a∙b+b2=|a|2+2a∙b+|b|2=1,
解得 2a∙b=-1,
所以 |a-b|=(a-b)2=a2-2a∙b+b2=|q|2-2a∙b+φ2=3.
故答案为: 3.
14. 【答案】-2.
【解析】由题意得 2a1=a2+a3, 设公比为q, 则2a1=a1q+a1q2,
因为等比数列中, an≠0, 故q2+q-2=0,解得 q=-2或 1 (舍去).
故答案为: -2
15. 【答案】 -1
【解析】因为对任意实数 x, 恒有f(x+4)=f(x),
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,
因为 f(x)是定义在R上的奇函数,x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, 所以f(2019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-(2×1-1)=-1,
故答案为: -1
16. 【答案】③
【解析】由题意直线 l是平面α和平面β的交线，异面直线a,b分别在平面α和平面β内, 可知,
命题 p: 直线a,b可以都与直线l相交, 所以命题p为假命题;
命题 q: 若直线a,b都不与直线l相交, 则直线a,b都平行于直线l, 那么直线a,b平行, 与题意a,b为异面直线矛盾, 所以命题q为真命题;
命题 s: 直线a,b都不与直线l相交, 则直线a,b都平行于直线l, 那么直线a,b平行, 与题意a,b为异面直线矛盾, 所以命题s为假命题;
由复合命题真假可知,
对于 ①, p为假命题,¬q为假命题, 所以p∨(¬q)为假命题,
对于②, ¬p为真命题,s为假命题, 所以(¬p)∧s为假命题,
对于③, q为真命题,¬s为真命题, 所以q∧(¬s)为真命题,
对于④, ¬p为真命题,¬q为假命题, 所以(¬p)∧(¬q)为假命题,
综上可知,C为真命题,
故答案为:③.
17. 【解析】
(1) 由题意, 令 x>0, 则-x<0,
因为 f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)=f(-x)=lg12(x+1), 即当x>0时,f(x)=lg12(x+1),
所以函数 f(x)的解析式为f(x)=lg12(x+1),x>0lg12(-x+1),x,0.
（2）由内层函数 u=-x+1在(-∞,0]上单调递减, 外层函数y=lg12u在(0,+∞)上单调递减,
根据复合函数的单调性, 可得 f(x)=lg12(-x+1)在(-∞,0]上单调递增,
又 f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,
又由 f(a-1)<-1, 可得f(a-1)即 a-1<-1或a-1>1, 解得a<0或a>2.
即实数 a的取值范围a<0或a>2.
18. 【解析】 (1) 由已知可得 a+b=2-2a-b2=-52, 解得a=1,b=1,
∴f(x)=x+1x(x≠0).
(2) 证明: 任取 x1,x2∈(0,1), 且x1fx1-fx2=x1-x2+1x1-1x2=x1-x21-1x1x2=x1-x2x1x2-1x1x2,
∵x1,x2∈(0,1), 且x1∴x1-x2<0, 00, 即fx1>fx2,
∴f(x)在(0,1)上单调递减.
19. 【解析】(1) 根据题意, f(x)是二次函数, 且f(x)=f(2-x), 可得函数f(x)的对称轴为x=1, 又其最小值为 1 ,
设 f(x)=a(x-1)2+1,
又因为 f(0)=3, 则a+1=3, 解可得a=2,
则 f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3,
(2)根据题意, 若 2x2-4x+3>2x+2m+1在[-1,1]上恒成立, 化简得m设 g(x)=x2-3x+1, 则g(x)在区间[-1,1]上单调递减
g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1, 则有m<-1,
故 m的取值范围为(-∞,-1).
20. 【解析】(1) 由焦点坐标、椭圆所过的点及椭圆参数关系列方程组求参数, 即可得方程;
(2) 由题意, 设直线 AB方程为y=32x+m,Ax1,y1,Bx2,y2, 联立椭圆方程并整理 为一元二次方程, 利用韦达定理及OA⊥OB, 向量垂直的坐标表示列方程求参数m, 即可 得结果. 【详解】(1)∵抛物线C的焦点坐标为(3,0),
∴椭圆E的右焦点也为(3,0), 即c=3,
由椭圆 E过点P1,32, 得1a2+34b2=1,
联立 a2=b2+c2, 解得a2=4,b2=1.
故椭圆 E的标准方程为x24+y2=1.
(2) 直线 OP方程为y=32x, 则直线AB方程为y=32x+m,Ax1,y1,Bx2,y2.
将直线 AB的方程代入椭圆E的方程并整理得x2+3mx+m2-1=0,
由 Δ=3m2-4m2-1>0, 得m2<4,
∴x1+x2=-3m, x1x2=m2-1.
由 OA⊥OB, 得OA∙OB=0,
则x1x2+y1y2=x1x2+32x1+m32x2+m=74x1x2+32mx1+x2+m2
=74m2-1+32m∙(-3m)+m2=54m2-74=0,
解得 m=±355, 故直线AB的方程为y=32x±355.
21. 【解析】 (1) 变换得到 1+lnxx≤a, 设F(x)=1+lnxx, 求导得到函数单调区间, 计算最值得到答案.
(2) 求导得到 t'(x)=-lnxx2-x2-1ex, 得到函数单调区间, 得到t(x)max =t(1)=1, 且当x→0时,t(x)→-∞, 当x→+∞时,t(x)→-∞, 得到答案.
【详解】(1) f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立, 故1+lnxx≤a,
设 F(x)=1+lnxx, 则F'(x)=-lnxx2,
当 x∈(0,1)时, 函数单调递增, 当x∈(1,+∞)时, 函数单调递减,
故 F(x)max=F(1)=1, 故a≥1.
(2) a=0, 则t(x)=f(x)-g(x)=1+lnxx-(x-1)2ex, 则t'(x)=-lnxx2-x2-1ex,
当 x∈(0,1)时,-lnxx2>0,-x2-1ex>0, 故t'(x)>0, 函数单调递增;
当 x∈(1,+∞)时,-lnxx2<0,-x2-1ex<0, 故t'(x)<0, 函数单调递减.
t(x)max =t(1)=1, 且当x→0时,t(x)→-∞; 当x→+∞时,t(x)→-∞.
根据零点存在定理知: 函数在 (0,1)和(1,+∞)上各有一个零点, 故函数t(x)有两个零点.
22. 【解析】(1) 利用 sin2t+cs2t=1消去参数t, 求出曲线C1的普通方程, 即可得出结论;
(2) 当 k=4时,x≥0,y≥0, 曲线C1的参数方程化为x=cs2ty=sin2t(t为参数), 两式相加消 去参数t, 得C1普通方程, 由ρcsθ=x,ρsinθ=y, 将曲线C2化为直角坐标方程, 联立C1,C2方程, 即可求解.
【详解】(1) 当 k=1时, 曲线C1的参数方程为x=csty=sint(t为参数),
两式平方相加得 x2+y2=1, 所以曲线C1表示以坐标原点为圆心, 半径为 1 的圆;
(2) 当 k=4时, 曲线C1的参数方程为x=cs4ty=sin4t(t为参数),
所以 x≥0,y≥0, 曲线C1的参数方程化为x=cs2ty=sin2t(t为参数),
两式相加得曲线 C1方程为x+y=1,
得 y=1-x, 平方得y=x-2x+1,0≤x≤1,0≤y≤1,
曲线 C2的极坐标方程为4ρcsθ-16ρsinθ+3=0,
曲线 C2直角坐标方程为4x-16y+3=0,
联立 C1,C2方程y=x-2x+14x-16y+3=0,
整理得 12x-32x+13=0, 解得x=12或x=136(舍去),
∴x=14,y=14,∴C1,C2公共点的直角坐标为14,14.
23. 【解析】
(1) 因为 f(x)=x+3, x≥15x-1,-13(2) 将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位, 可得函数f(x+1)的图象, 如图所示:
由 -x-3=5(x+1)-1, 解得x=-76.
所以不等式 f(x)>f(x+1)的解集为-∞,-76.