2023-2024学年安徽省数学九上期末考试试题含解析

这是一份2023-2024学年安徽省数学九上期末考试试题含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y=－(x－2)2＋3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，－3）
C．开口向下，顶点坐标（－2，3）D．开口向上，顶点坐标（－2，－3）
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( )
A．1:2B．1:4C．1:5D．1:6
3．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（ ）
A．2：1B．2：3C．4：9D．5：4
4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．80°
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4B．6.25C．7.5D．9
7． “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
8．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．2mB．（2+ 2）mC．4 mD．（4+ 2）m
9．如图，在ABCD中，∠DAB＝10°，AB＝8，AD＝1．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与BC边相切（点O在ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（ ）
A．2B．4C．5﹣D．8﹣2
10．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为_____．
12．分解因式：2x2﹣8=_____________
13．一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为__________．
14．将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于__________.
15．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，以原点为位似中心、在点的异侧将菱形缩小，使得到的菱形与原菱形的相似比为，则点的对应点的坐标为________.
16．编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是___．
17．因式分解：_______；
18．从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第三、第一象限的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在A港口的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A港口沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶2小时到达港口B．求A，B两港之间的距离（结果保留根号）．
20．（6分）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴垂线，垂足分别是C,A，反比例函数的图象交AB,BC分别于点E,F.
（1）求直线EF的解析式.
（2）求四边形BEOF的面积.
（3）若点P在y轴上，且是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
21．（6分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：DE平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为10，CF＝2EF，求BE的长．
22．（8分）已知：如图，B,C,D三点在 上，，PA是钝角△ABC的高线，PA的延长线与线段CD交于点E.
（1）请在图中找出一个与∠CAP相等的角，这个角是 ；
（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明.
23．（8分）计算：
（1）sin260°﹣tan30°•cs30°+tan45°
（2）cs245°+sin245°+sin254°+cs254°
24．（8分）已知二次函数的图象经过点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出它的简图，并指出图象的顶点坐标；
（3）结合图象直接写出使的的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；
（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 ．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标.
【详解】解：∵ y=－(x－2)2＋3
∴a=-1＜0, 抛物线的开口向下，顶点坐标（2，3）
故选A
本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标等性质．
2、B
【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：1．
故选B．
考点：位似变换．
3、A
【解析】试题解析：∵ED∥BC，
故选A.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
4、A
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选A．
5、A
【解析】试题分析：∵弧长，∴圆心角．故选A．
6、A
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
7、D
【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选D．
考点：随机事件．
8、B
【解析】如图，由平移的性质可知，楼梯表面所铺地毯的长度为：AC+BC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2m，
∴AB=2BC=4m，
∴AC=，
∴AC+BC=（m）.
故选B.
点睛：本题的解题的要点是：每阶楼梯的水平面向下平移后刚好与AC重合，每阶楼梯的竖直面向右平移后刚好可以与BC重合，由此可得楼梯表面所铺地毯的总长度为AC+BC.
9、B
【分析】如图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度. EN=AB-AE-BN，所以只需求AE、BN的长度即可.分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可.
【详解】解：连接OE，OA、BO．
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，
∴∠OAE＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝1，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝3，
∴OE＝AE＝，
∵AD∥BC，∠DAB＝10°，
∴∠ABC＝120°．
设当运动停止时，⊙O′与BC，AB分别相切于点M，N，连接O′N，O′M．
同理可得，∠BO′N为30°，且O′N为，
∴BN＝O′N•tan30°＝1cm，
EN＝AB﹣AE﹣BN＝8﹣3﹣1＝2．
∴⊙O滚过的路程为2．
故选：B．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质及解直角三角形等知识. 关键是计算出AE和BN的长度.
10、C
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1
【解析】将点（−2，3）代入解析式可求出k的值．
【详解】把（−2，3）代入函数y＝中，得3＝，解得k＝−1．
故答案为−1．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y＝，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
12、2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
13、
【分析】由已知三视图为圆柱，首先得到圆柱底面半径，从而根据圆柱体积=底面积乘高求出它的体积．
【详解】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，高为6，
∴底面半径为2，
∴V=πr2h=22×6•π=24π，
故答案是：24π．
此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体，关键是先判断圆柱的底面半径和高，然后求其体积．
14、1
【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．
【详解】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴将抛物线y=x2-2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，
∴m=1，
故答案为：1．
此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
15、
【分析】先求得点C的坐标，再根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或进行解答．
【详解】菱形的顶点的坐标为，
；
过点作，如图，
，，
在和中，，
∴，
，
，
∴点C的坐标为，
以原点为位似中心、在点的异侧将菱形缩小，使得到的菱形与原菱形的相似比为，
，
则点的对应点的坐标为．
故答案为：．
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
16、．
【解析】直接利用概率公式求解可得．
【详解】在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，
所以编号是偶数的概率为，
故答案为：．
本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
17、（a-b）（a-b+1）
【解析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【详解】解：原式=(a-b)2+(a-b)=(a-b)(a-b+1)，
故答案为：(a-b)(a-b+1)
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
18、
【解析】从数﹣2，﹣，1，4中任取1个数记为m，再从余下，3个数中，任取一个数记为n．
根据题意画图如下：
共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，即可得到k=mn＞1．由树状图可知符合mn＞1的情况共有2种，因此正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是．
故答案为．
三、解答题(共66分)
19、A，B间的距离为（20+20）海里．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×2＝40，
∴在Rt△BCD中，CD＝BD＝BC＝20，
在Rt△ACD中，AD＝CD•tan60°＝20，
∴AB＝AD+BD＝20+20（海里）．
答：A，B间的距离为（20+20）海里．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是掌握方向角的定义．
20、（1）；（2）1；（3）点P的坐标为或 .
【分析】（1）点E与点B的纵坐标相同，点F与点B的横坐标相同，分别将y=1，x=2代入反比例函数解析式，可求出E、F的坐标，然后采用待定系数法即可求出直线EF的解析式；
（2）利用即可求出答案；
（3）设P点坐标为(0,m)，分别讨论OP=OE，OP=PE，OE=PE三种情况，利用两点间的距离公式求出m即可得到P点坐标.
【详解】解：（1）轴，轴，
将代入,得

将代入得：，

设直线EF的解析式为
把E、F的坐标代入解得
∴直线EF的解析式为
（2）由题意可得:
=1
（3）设P点坐标为(0,m)，
∵E(1,1)，
∴，，
①当OP=OE时，，解得，
∴P点坐标为或
②当OP=PE时，，解得
∴P点坐标为
③当OE=PE时，，解得，
当m=0时，P与原点重合，不符合题意，舍去，
∴P点坐标为
综上所述，点P的坐标为或
本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两点间的距离公式并进行分类讨论是解题的关键.
21、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝1．
【分析】（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圆周角定理得到 ，根据“同角的余角相等”推知 ，结合已知条件证得结论；
（3）设 ，则 ，由勾股定理可求EF的长，即可求BE的长．
【详解】（1）如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB、CD为⊙O的直径，
∴ ，
∴ （同角的余角相等）．
又∵ ，
∴ ，
即ED平分∠BEP；
（3）设 ，则 ，
∵⊙O的半径为10，
∴ ，
在Rt△OEF中， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
本题考查了圆和三角形的几何问题，掌握切线的性质、圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
22、（1） ∠BAP；（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. 证明见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形∆ABC三线合一解答即可；
（2）连接EB，由PA是△CAB的垂直平分线，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA. 然后推出∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量关系即可.
【详解】（1）∵等腰三角形∆ABC 且PA是钝角△ABC的高线
∴PA是∠CAB的角平分线
∴∠CAP=∠BAP
（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2.
证明：连接EB，与AD交于点F
∵点B，C两点在⊙A上,
∴AC=AB，
∴∠ACP=∠ABP.
∵PA是钝角△ABC的高线,
∴PA是△CAB的垂直平分线.
∵PA的延长线与线段CD交于点E，
∴EC=EB.
∴∠ECP=∠EBP.
∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP.
即∠ECA=∠EBA.
∵AC=AD，
∴∠ECA=∠EDA
∴∠EBA=∠EDA
∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°,
∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°
即∠BAD=∠BED=90°
∴EB2+ED2=BD2.
∵BD2=AB2+AD2，
∴ BD2=2AB2,
∴EB2+ED2=2AB2，
∴EC2+ED2=2AC2
本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，这是一个综合题，注意数形结合.
23、（1）；（2）2.
【解析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
【详解】（1）原式＝（）2﹣×+1＝﹣+1＝，
（2）原式＝（cs²45°+sin²45°）+（sin²54°+cs²54°）＝1+1 ＝2
本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义．
24、（1）；（1）图见解析，顶点坐标是；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（1）先化为，即可得出顶点坐标，并作出图像；
（3）根据图象即可得出，或时，y≥1．
【详解】（1）函数的图象经过点，
∴9+3-1=1，
解得，
∴函数的解析式为；
（1）
如图，顶点坐标是；
（3）当时,
解得：
根据图象知，当或时，,
∴使的的取值范围是或．
考查待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的性质，要根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围．
25、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（1，0）
【分析】（1）首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A1、B1、C1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；
（2）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；
（3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接对应点即可得出答案．
【详解】解：（1）将A，B，C，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1三顶点A1，B1，C1，绕原点旋转90°，即可得出△A2B2C2；
（3）∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，
连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0），
故答案为（1，0）．
本题考查作图-旋转变换；作图-平移变换，掌握图形变化特点，数形结合思想解题是关键．
26、（1）直线CD与⊙O相切
（1）
【解析】（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD．
∵OA=OD，∠DAB=45°，∴∠ODA=45°，∴∠AOD=90°．
∵CD∥AB，∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD．
又∵点D在⊙O上，直线CD与⊙O相切．
（1）∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1．∴S梯形OBCD=，
∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD -S扇形OBD=