2023-2024学年度初三秋季A版第13讲：抛物线与图形面积(讲义+课后测+答案）

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模块1：抛物线中图形面积的求法
模块2：抛物线中图形面积的等面积转换与比值转换
模块3：抛物线中图形面积和与面积差问题
【重要考点讲解】
模块1：抛物线中图形面积的求法
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（2023•阜新改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
【解答】解：如图1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
例题2．（2022•烟台改编）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【解答】解：如图1，
作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
，；
例题3．（2017•黔东南州改编）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点．直线解析式为：与轴交于点，与轴交于点．点为抛物线上一动点，且与直线垂直，垂足为；轴，交直线于点，是否存在这样的点，使的面积最小．若存在，请求出此时点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】 ，，
．
．
．
的面积．
当最小时，的面积最小．
设点的坐标为，则．
．
当时，有最小值，的最小值为．
，．
的面积的最小值为．
例题4．（2022•河池改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点，顶点为点．连接，若点在线段上运动（不与，重合），过点作轴于点，设，问：当为何值时，与的面积之和最小．
【解答】解：如图1中，连接，过点作于点．设抛物线的对称轴交轴于点．
，，，
，，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
与的面积之和，
，
有最小值，最小值为，此时，
时，与的面积之和有最小值．
解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形面积的最大值．求出四边形的面积的最大值即可．
例题5．（2022•通辽改编）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标．
【解答】解： 令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
解得或，
点坐标为，或，或，或，；
模块2：抛物线中图形面积的等面积转换与比值转换
【知识精讲】
【典例精讲】
例题6．（2021•荆门改编）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为线段上的动点．过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与面积分别为，，设，求点坐标，使得最大，并求此最大值．
【解答】解：如图2，连接，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
由题意，得，
时，最大，
即，时，有最大值．
例题7．（2020•达州改编）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．在抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：如图1，当点在直线上方时，过点作，交抛物线于点，
，
和是等底等高的两个三角形，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
点，或，；
当点在直线下方时，在的延长线上截取，过点作，交抛物线于点，连接，，
，，
，
，且过点，
直线解析式为，
联立方程组可得，
解得，
点，
综上所述：点坐标为，或，或；
例题8．（2018•恩施州改编）如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点为抛物线的顶点．若抛物线上有且仅有三个点、、使得△、△、△的面积均为定值，求出定值及、、这三个点的坐标．
【解答】解：设直线解析式为，
把，代入得：，
解得：，
，
设与直线平行的解析式为，
联立得：，
消去得：，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△，
解得：，即，
此时交点坐标为，；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与平行且平行线间的距离为的直线方程为，
联立解得：，，，，
此时．
例题9．（2019•淮安改编）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为．试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在点，
当点在轴的上方时，设直线交轴于，设，作于，于．
由题意：，
，
，
，
解得，
直线的解析式为，
由，
解得或，
．
当点在轴下方时，如图2所示，
当点在的延长线上时，存在点使得，
此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，
将点代入得，
故，
则有
整理得，，
得（舍去），
当时，，
故点为．
综上所述，点的坐标为或．
例题10．（2023•泸州改编）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为．若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【解答】解：过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、，
，，同高，则其面积比为边的比，
即，
，
则，，
则，
即，
整理得：，
由①知，，，
则，
解得：（舍去负值），
经检验，是方程的根，
则点．
例题11．（2019•深圳改编）如图，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，．
点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【解答】解：如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为两部分，
又，
则或，
则或，
即：点的坐标为，或，，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或②
联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为或．
模块3：抛物线中图形面积和与面积差问题
【知识精讲】
【典例精讲】
例题12．（2022•大连改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，连接．点在线段上（点不与点重合），点在轴负半轴上，，连接，，，设的面积为，的面积为，，当取最大值时，求的值．
【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，．
点的坐标为，，
，，
．
，
当时，取得最大值，
即当取最大值时，的值为1．
例题13．（2019•达州改编）如图，已知抛物线过点，．抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值．
【解答】解：设，
将，代入，
得，，
解得，，，
，
当时，，
，
如图2，
，，
，
由二次函数的性质知，当时，有最大值，
和的面积分别为、，
的最大值为．
例题14．（2017•泸州改编）如图，已知二次函数的图象经过、、三点．点是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若、的面积分别为、，求的最大值．
【解答】解：设，
，，
，
，
，
，且，
，
当时，有有最大值，最大值为．
第13讲：抛物线与图形面积课后巩固
1．（2023•广安改编）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【解答】解：连接，如图：
设，则，
在中，令得，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时，；
四边形面积的最大值是，此时点的坐标为，；
2．（2023•朝阳改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交于点，连接，，．的面积记为，的面积记为，当时，求的值．
【解答】解：在中，令得，
，
由，可得直线解析式为，
直线轴，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
解得或与重合，舍去），
的值为2；
3．（2023•张家界改编）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点．过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．
【解答】解：由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入 中，
则，
解得，
直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
，
可设直线表达式为，
由（1）设，
将点坐标代入直线的表达式得，
直线的表达式为：，
由，
得，
，，
，都在第一象限，
，
，
当 时，有最大值，最大值为，
此时点为．
解法二：利用平行等积，将面积转化为的面积，那么与的面积之和等于的面积，即求的面积最大值．
4．（2018•南充改编）如图，抛物线顶点，与轴交于点，与轴交于点，．
是抛物线上除点外一点，与的面积相等，求点的坐标．
【解答】解：由，，得到直线解析式为，
，
，
①过作，交抛物线于点，如图1所示，
，直线解析式为，
联立得：，
解得：或，即与重合，；
②，
直线的解析式为，
，
，
过作直线，交轴于点，则直线解析式为，
联立得：，
解得：或，
，，，；
5．（2021•聊城改编）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点的坐标．
【解答】解：设过点、的直线表达式为，
，，
，解得：．
过点、的直线解析式为．
过点作轴的垂线交的延长线于点，点坐标为，
过点作轴的垂线交于点，垂足为，如图2．
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
．
．
若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），
则与的面积比为，即．
．
，
当时，的最大值为，此时点坐标为．
6．（2020•成都改编）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
【解答】解：过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
7．（2020•济南改编）如图，抛物线过点，点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作直线轴，交抛物线于点．连接并延长交轴于点，连接，，设的面积为，的面积为，若，求的值．
【解答】解：，则设点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
当时，，故点，则；
，
，
解得或（舍去负值），
故．
8．（2022•日照改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，抛物线与轴交于点，点是抛物线上位于第一象限的点，连接，交于点，与轴交于点．设，问是否存在这样的点，使得有最大值？若存在，请求出点的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】如图，
连接，
设，
设的解析式为：，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
当时，，
．
9．（2023•荆州改编）如图，已知抛物线．与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【解答】解：①如图，设直线与交于点，
根据题意得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
，点为抛物线顶点，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
的面积；
②存在最大值，
理由：如图，设直线交轴于，
由①得，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
当时，存在最大值，最大值为．
10．（2023•盘锦改编）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，，，，若，求的面积．
【解答】设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，
则，
则，
设点的坐标为：，，
，
即，
即，
解得：，
即点的坐标为：，，
则的面积．铅锤法求面积的基本图形
1．铅锤法求面积基本图形：
图1：图3：
图2：图4：
图5：图6：
等面积转换与比值转换
①等积转化: 如图7： ．
②等比转化：面积比转化为线段比，常与三角形相似联系在一起．
等面积转换与比值转换
①面积差: ．
②面积和：使用割补的方法，．