期末考试压轴题模拟训练（三）（学生版）-2023年初中数学7年级下册同步压轴题

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1．已知是二元一次方程组的解，则的立方根为( )
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】把方程组的解代入方程组，得到关于m、n的二元一次方程组，先求出m、n，再求出的立方根．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，
解这个方程组，得．
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，理解方程组的解及二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
2．如果关于的不等式的解集为，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集为，可得方程，再解方程即可．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3．如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中，，，保持三角板不动，三角板可绕点C旋转，则下列结论：
①；②随着的交化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．
其中正确的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】①依据，，可得；
②依据，即可得到；
③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，；
④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系．
【详解】解：①，，
；
故①正确．
②，
，
，是定值；
故②错误．
③如图1所示，
当时，，
，
如图2所示，
当时，，
，
当时，则或；故③错误．
④设，则．
如图
由(1)可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图
由(1)得：，
，
，
，
，
．
此时或；故④错误．
综上所述：只有①正确，所以正确的个数有个．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
4．若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为( )
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据题意得出不等式的解集及一元一次方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴，
解得，
解关于x的一元一次方程，得，
∵方程有正整数解，
∴，
则，
∴，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及一元一次方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为( )
A．6，B．2，C．1，D．2，
【答案】D
【分析】根据坐标的定义可求得y值，根据线段最小，确定，垂足为点C，进一步求得的最小值和点C的坐标．
【详解】解：依题意可得：
∵轴，
∴，
根据垂线段最短，当于点C时，
点B到的距离最短，即的最小值，
此时点C的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查已知点求坐标及垂线段最短，解题的关键是明确线段最小时，确定．
二、填空题
6．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，可列方程组为________．
【答案】
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得：
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，得到线段的对应线段，连接，．若在轴上存在一点，连接，，且的面积是面积的倍，则满足条件的所有点的坐标__________．
【答案】或
【分析】设点到的距离为，则，根据，列方程求的值，确定点坐标．
【详解】∵点，的坐标分别为，．现将线段向上平移个单位，再向右平移个单位，
则
的面积是面积的倍，
，
设点到的距离为，则，
，
，
解得：，
，或，．
故答案为：，或，．
【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，解题的关键是理解平移的规律．
8．下列结论中，①如果，那么；②两个无理数的和一定是无理数；③若点，点，且轴，则；④一个正数a的平方根是与，则这个正数a是144．其中正确的有________(填序号即可)．
【答案】①③④
【分析】根据非负数的性质可判断①，根据无理数的运算法则可判断②，根据平行于坐标轴的点的坐标特征可判断③，根据平方根的性质可判断④
【详解】∵，
∴
∴
∴，正确，符合题意，
∵为无理数，
∴两个无理数和为零是有理数，错误，不符合题意
∵且轴
∴
∴，正确，符合题意
由平方根的性质得
∴
∴a的平方根中的一个为
∴a为，正确，符合题意
综上所述共有①③④正确
故答案为①③④
【点睛】本题考查了非负数的性质，无理数的运算，平行于坐标轴的点的坐标特征，平方根的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键
9．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则，其中正确的有______．(把你认为正确结论的序号都填上)
【答案】①②④
【分析】根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
的平分线交于点，
，
，
平分，
①正确，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，
②正确，
，
与互余的角有，，，，有4个，
③错误，
，，
又，
，
④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
10．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒()，当时，t的值为__________________．
【答案】12或48或84
【分析】根据当时，，，建立等式即可求解．
【详解】解：设旋转时间为t秒后，，
如图1，
∴，
，
解得：．
如图2，
由图得：
解得：
如图3，
∴
解得：
如图4，
∴
解得：(舍去)
综上所述：12或48或84
故答案为：12或48或84
【点睛】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．
三、解答题
11．水果商贩老徐到“水果批发市场”进货，草莓的批发价格是60元/箱，苹果的批发价格是40元/箱．现购得草莓和苹果共60箱，刚好花费3100元．
(1)问草莓、苹果各购买了多少箱？
(2)商贩老徐有甲、乙两家店铺，每售出一箱草莓和苹果，甲店分别获利元和元，乙店分别获利元和元．老徐将购进的箱水果分配给甲店草莓箱()，苹果箱()，其余均分配给乙店．由于他口碑良好，两家店都很快卖完了这批水果．
①若老徐在甲店获利元，求他在乙店获利多少元？
②在本次买卖中，老徐希望能获得元的总利润，通过计算说明老徐的希望能否实现．
【答案】(1)草莓35箱，苹果25箱
(2)①他在乙店获利340元；②不能，见解析
【分析】(1)设草莓买了箱，则苹果买了箱，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)①利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，再结合总利润每箱的利润销售数量可求出他在乙店获得的利润；②利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出，的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】(1)解∶设草莓买了箱，则苹果买了箱，依题意得∶
，
解得∶，
∴(箱)．
答∶草莓买了箱，苹果买了箱．
(2)解①∶老徐在甲店获利元，
∴，
∴．
∴他在乙店获得的利润为
(元)．
答∶他在乙店获利元．
②依题意得∶，
化简得∶．
∵，为正整数，且
∴即，
∴老徐的希望不能实现．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是∶()找准等量关系，正确列出一元一次方程；()①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
12．如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，点P在直线，之间，连接，，，，直线l与直线分别交于点M，N，，是的平分线，交直线于点O．
(1)求证：；
(2)若时，求α；
(3)将直线l向左平移，并保持，在平移的过程中(除点M与点E重合时)，求的度数(用含α的式子表示)．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的度数为或
【分析】(1)根据，得到，进而得到，根据三角形内角和定理，即可得证；
(2)根据平行线的性质，以及角平分线平分角，进行角的转化，求解即可；
(3)分点M在点E右侧和点M在点E左侧，两种情况进行讨论求解．
【详解】(1)解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
(2)∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)当点M在点E右侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴；
当点M在点E左侧时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，∴，
∴的度数为或．
【点睛】本题考查利用平行线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
13．如果x是一个有理数，我们定义表示不小于 x 的最小整数．如，，由定义可知，任意一个有理数都能写成的形式()．
(1)直接写出与x，的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导与x，的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导与x，的大小关系．
(2)根据(1)中的结论解决下列问题：
①直接写出满足的m取值范围；
②直接写出方程的解．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】(1)提示1：通过举例子的形式进行推导即可；提示2：根据得到，进一步推出，则；
(2)①根据(1)的结论可得，解不等式组即可；②根据(1)的结论可得，求出，再由为整数即可得到答案．
【详解】(1)解：提示1：当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
由“不完全归纳法”可得：；
提示2：，且，
；
(2)解：①由(1)的结论得：
，
，
解得；
②由(1)的结论得：，
，
，
解得，
，
，
为整数，
则或，
解得或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，理解新定义，正确求解不等式组是解题关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形的斜边在轴上，，，、、、，且、满足．
(1)求、的坐标；
(2)点为轴上一点，若的面积是的面积的一半，求出此时点坐标；
(3)如图2，过点水平向左作射线轴，将射线绕点以度秒逆时针速旋转，转至与射线重合后立刻继续以度秒顺时针匀速旋转，射线绕点以度秒逆时针匀速旋转射线和同时开始旋转，旋转后的射线分别记为，，当射线与重合时，射线和同时停止运动，射线与交于点，运动时间为秒．
①当时，求此时的时间值；
②若过点作交于点，求与满足的放量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①值为或；②或
【分析】(1)根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)根据(1)的结论，结合坐标系得出，设根据题意列出方程，解方程即可求解；
(3)①分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点(图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后)，当当时，由题意，得轴，根据列出方程，得出，当时，同理得出；
②当时，根据已知条件分别得出，，即可得出；②如图2，当时，得出，当时，无法构成点或，进而即可求解．
【详解】(1)解：


(2)由题意得

设，


(3)如图1和2，分别过点图1和2，分别过作轴交轴于点，垂直于交于点
(注：图1为射线第一次与射线重合前，图2为射线第一次与射线重合后)
依题意，当转至与射线重合时，，当射线与重合时，
①如图1，当时，由题意，得轴
如图2，当时，
，
综上，值为或
②(i)如图1，当时，
，

，
，

(ii)如图2，当时，


(iii)当时，无法构成点或．
综上，或
【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，平行线的性质与判定，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即．
(1)现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图，与的角平分线相交于点；
①若，，则 ______ ．
②试探究与的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ．
【答案】(1)结论不成立，应该是，理由见解析
(2)①；②
(3)
【分析】(1)由平行线的性质可得，，即可求解；
(2)由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，即可求解，由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，即可求解；
(3)由角平分线的性质可得，，，，由角的数量关系可求解．
【详解】(1)解：结论不成立，应该是，理由如下：
如图，过点A作，

，，
，
，，
；
(2)如图3，过点作，

，，，
，
与的角平分线相交于点，
，，
，，
，
，，
∴，
；
，
，
与的角平分线相交于点，
，，
，，
，
，，
；
(3)如图，过点作，过点A作，

与的角平分线相交于点，
，，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确添加辅助线．