2023年广东省河源市连平县中考数学三模试卷

这是一份2023年广东省河源市连平县中考数学三模试卷，共22页。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答亲，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效
5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）在﹣1，2，﹣2，﹣0.1中，倒数是其本身的数是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣2D．﹣0.1
2．（3分）今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离200000m，远地距离356000m．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A．35.6×104B．3.56×105C．3.56×106D．0.356×106
3．（3分）如图立体图形中，三视图都相同的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）昆昆沉迷游戏，有个人加了他好友，哄骗他能送游戏英雄和皮肤，并要求加他为QQ好友，这位“游戏好友”告知其现在有个“扫码转账返利”活动，充值300元可返利500元，充值700元可返利1000元，如果你是昆昆你会（ ）
A．这么划算，赶紧充值后可以购买更多游戏装备和皮肤
B．天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”
C．立即和喜欢玩游戏的同学分享这么好的事情
D．对这种事情一直抱着期待
5．（3分）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（ ）个等腰三角形．
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）方程（x+3）（x﹣5）＝0的解是（ ）
A．x＝5B．x＝﹣3C．x1＝﹣5，x2＝3D．x1＝5，x2＝﹣3
7．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D．1
8．（3分）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A．不赚不赔B．赚了C．赔了D．无法判断
9．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，O是正三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′＝6+3；
⑤S△AOC+S△AOB＝6+．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：2a﹣a2b＝ ．
12．（3分）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 °．
13．（3分）关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，写出一个满足条件的a的值 ．（写出一个即可）
14．（3分）如图，点A，B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，点C，D为线段AB的三等分点，点D在等腰Rt△OAE的斜边OE上，反比例函数y＝过点C，D，交AE于点F．若S△DEF＝，则k＝ ．
15．（3分）正方形ABCD中的边长为6，对角线AC、BD交于点O，E为DC边上一点，连接AE交BD于F，BG⊥AE于点G，连接OG，若∠DGE＝45°，则S△FGO＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x），其中x＝3．
17．（8分）解分式方程+＝1．
18．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）初三（1）班参加这次调查的学生有 人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为 °；
（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
19．（9分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
20．（9分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．
21．（9分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花多少钱？
22．（12分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（3，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值；
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边△BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B，C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．
23．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c过B（3，0），C（0，﹣3）两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t＝1时，求四边形OBEC的面积；
（3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF′．
①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形；
②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣1的倒数是﹣1，
2的倒数是，
﹣2的倒数是﹣，
﹣0.1的倒数是﹣10，
故选：A．
2． 解：将356000用科学记数法表示为3.56×105．
故选：B．
3． 解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
B、三棱柱的主视图是两个矩形，左视图是一个矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意．
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
故选：D．
4． 解：天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”，
故选：B．
5． 解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD和△ABC是等腰三角形，
∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，
∴AD＝AE，BC＝BE，
∴△ADE和△BEC是等腰三角形，
∵AD＝BC，
∴AE＝BE，
∴△AEB是等腰三角形，
故选：C．
6． 解：∵（x+3）（x﹣5）＝0
∴（x+3）＝0或（x﹣5）＝0，
∴x＝﹣3或x＝5，
故选：D．
7． 解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2m2+4m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1+1＝3，
故选：A．
8． 解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
，
解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
9． 解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
10． 解：连接OO′，过点O作OD⊥BO′，垂足为D，
由旋转得：∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBO′﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
∴∠O′BA＝∠COB，
∴ΔO′BA≌△OBC（SAS），
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故①正确；
由旋转得：
∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∴△BOO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4，
∴点O与O′的距离为4；
故②正确；
∵△BOO′是等边三角形，
∴∠BOO′＝60°，
∵ΔO′BA≌△OBC，
∴AO′＝OC＝5，
∴AO2+OO′2＝AO′2，
∴△AOO′是直角三角形，
∴∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠BOO′+∠AOO′＝150°，
故③正确；
将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作AF⊥OE，垂足为F，如图：
∴AO＝AE，∠OAE＝60°，OB＝EC＝4，
∴△AOE是等边三角形，
∴OE＝AO＝3，
∵OC＝5，
∴OE2+EC2＝OC2，
∴△OEC是直角三角形，
在Rt△AOF中，AF＝AOsin60°＝3×＝，
∴S△AOC+S△AOB＝S△AOC+S△ACE＝S△AOE+S△OCE＝OE•AF+OE•EC＝×3×+×3×4＝6+，
故⑤正确；
在Rt△BOD中，OD＝BOsin60°＝4×＝2，
∴S四边形AOBO′＝S△BOO′+S△AOO′＝BO′•OD+AO•OO′＝×4×2+×3×4＝4+6，
故④错误；
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：2a﹣a2b＝a（2﹣ab）．
故答案为：a（2﹣ab）．
12． 解：设这个锐角为x，依题意得：
180°﹣x﹣（90°﹣x）
＝180°﹣x﹣90°+x
＝90°，
故答案为：90．
13． 解：∵关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，
∴a＜0，
则一个满足条件a＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
14． 解：如图，过点D作DH⊥OA于点H，
∵∠AOB＝90°，∠AHD＝90°，∠OAE＝90°，
∴△AHD∽△AOB，△ODH∽△OEA，
∵C，D为三等分点，
∴AH＝AO，
∵△AOE为等腰直角三角形，
∴AO＝AE，
设E（a，a），
∵＝＝，
∴OH＝AE＝a，
将x＝a代入反比例函数中，得：
y＝，
∴D（a，），
将x＝a代入反比例函数中，得：
y＝，
∴F（a，），
∴S△DEF＝×（a﹣a）×（a﹣）＝，
∵＝，
∴＝，
∴a2＝，
∴S△DEF＝＝＝，
∵S△DEF＝，
∴＝，
∴k＝8．
故答案为：8．
15． 解：过D作DM⊥BG，交BG的延长线于M，BM交AD于H，过D作DN⊥AE于N，
∵AE⊥BG，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠BAG+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠ABG，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH＝DE，
同理得：△AGH≌△DNE，
∴AG＝DN，
∵∠DGE＝45°＝∠MGE＝∠MGD，
∴DM＝DN，
∴AG＝DM＝DN，
又∵∠M＝∠AGH，∠AHG＝∠DHM，
∴△AGH≌△DMH（AAS），
∴AH＝DH＝3＝DE，
由勾股定理得：BD＝＝6，AE＝＝3，
∵AB∥DE，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝2，
∴AF＝2EF，
∵AF+EF＝3，
∴AF＝2，
同理得：DF＝2，OF＝4﹣3＝，
∵sin∠ABG＝，
∴，
∴AG＝，
∴FG＝AF﹣AG＝2﹣＝，
∵S△AOF＝×AO×FO＝××＝3，
∴S△FGO＝×3＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x），
＝x2﹣1+2x﹣x2
＝2x﹣1，
当x＝3时，原式＝2×3﹣1＝6﹣1＝5．
17． 解：方程两边同乘（2x﹣3）（2x+3），
得4x+6+4x2﹣6x＝4x2﹣9，
解得：x＝7.5，
经检验x＝7.5是分式方程的解．
18． 解：（1）初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人），
扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×＝144°，
故答案为：40、144；
（2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
（3）列表得：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可能．
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为＝．
19． 解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．
20． 解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，
在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．
∴OD＝2，
即点D（0，2），
把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，
∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；
把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，
m＝﹣3，n＝﹣2，
∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，
因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；
（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝×3×4+×3×2，
＝9．
（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．
21． 解：（1）设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
（2）若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球（20﹣x）个，
由题意可得：w＝80x+120（20﹣x）＝﹣40x+2400，
∴w随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x＝3时，w取得最大值，此时w＝2280，
答：学校最多需要花费2280元．
22． 解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，
理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为4，
∴OC的最大值为4．
故答案为：4．
（3）如图1，连接BM，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（3，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝3，OB＝5，
∴AB＝2，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中），
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+2；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣2﹣＝3﹣，
∴P（3﹣，）．
（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+6，
∴AC的最大值为2+6．
当点A在线段BD的右侧时，
以BC为边作等边△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠MBD＝∠CBA，且AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC的上方，DM⊥BC时，DM的值最小，
DM的最小值＝MO﹣OD＝﹣＝6﹣2，
∴AC的最小值为6﹣2．
综上所述，AC的最大值为2+6，AC的最小值为6﹣2．
23． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象过B（3，0），C（0，﹣3）两点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图：
∵B（3，0）．C（0，﹣3）．
∴OB＝3．OC＝3．
∴BC＝＝6，
当t＝1时．BM＝2t＝2，
∵DM⊥AB．OC⊥AB，
∵DM∥OC．
∴＝，即＝，
∴BD＝1，
∴OD＝OB﹣OD＝3﹣1＝2，
∴在y＝x2﹣x﹣3中，令x＝2得y＝×22﹣2﹣3＝﹣，
∴E（2，﹣）；
∴S四边形OBEC＝S梯形ODEC+S△BDE＝×（+3）×2+××1＝；
（3）①如图：
根据题意得：ON＝t．BN＝3﹣t．BM＝2t，
∵将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF′．
∴BM＝GM，NM＝FM，
∴四边形NBFG是平行四边形，
若四边形NBFG是菱形，只需BG⊥NF，即∠BMN＝90°，
此时cs∠MBN＝＝，
在Rt△BOC中，cs∠CBO＝＝＝，
∴＝，
解得t＝，
答：当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形；
②如图：
根据题意得：ON＝t．BN＝3﹣t．BM＝2t，
∵△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF，
∴MN＝MF．BM＝GM．BG＝2BM＝4t．
∵四边形NBFG是平行四边形．
当四边形NBFG是矩形时，只需∠BNG＝90°．
当∠BNG＝∠BOC＝90°时，
∵NG∥OC，
∴＝，即＝，
解得：t＝1．
∴当点N运动1秒时，四边形NBFM是矩形．
∴NB＝3﹣1＝2，BG＝4．NG＝＝2．
将矩形NBFM沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即yF＝﹣2．
当yF＝﹣2时，x2﹣x﹣3＝﹣2，
解得x1＝，x2＝，
∴点F的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）．
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣