2023-2024学年北京数学九上期末质量检测模拟试题

这是一份2023-2024学年北京数学九上期末质量检测模拟试题，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知点P是线段AB的黄金分割点等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．数据4，3，5，3，6，3，4的众数和中位数是（ ）
A．3，4B．3，5C．4，3D．4，5
2．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55°B．70°C．125°D．145°
4．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（ ）
A．6B．8C．12D．16
5．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是( )
A．B．C．D．3
7．若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A．3和2 B．4和2 C．2和2 D．2和4
8．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是( )

A．△ABC∽△A'B'C'B．点C、点O、点C'三点在同一直线上C．AO：AA'=1∶2D．AB∥A'B'
9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．67.5°
10．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_____．
12．已知，是方程的两实数根，则__．
13．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
14．如图，已知射线，点从B点出发，以每秒1个单位长度沿射线向右运动；同时射线绕点顺时针旋转一周，当射线停止运动时，点随之停止运动.以为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线与恰好有且只有一个公共点，则射线旋转的速度为每秒______度.
15．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为_____．
16．把抛物线沿着轴向左平移3个单位得到的抛物线关系式是_________．
17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝________.
18．如图，点P在函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：2cs45°tan30°cs30°+sin260°．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．
21．（6分）二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，在学校抽取了部分同学对父母生育二孩所持的态度进行了问卷调查，调查分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态
度，现将调查统计结果制成了两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题：
（1）在这次问卷调查中一共抽取了 名学生，a= %；
（2）请补全条形统计图；
（3）持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为 度；
（4）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弧ED=弧BD，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OACD，求阴影部分的面积；
（2）求证：DEDM．
23．（8分）如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
24．（8分）如图，要建一个底面积为130平方米的鸡场，鸡场一边靠墙(墙长16米)，并在与墙平行的一边开道1米宽的门，现有能围成32米长的木板．求鸡场的长和宽各是多少米？
25．（10分）如图，∠AED =∠C，DE = 4，BC = 12，CD = 15，AD = 3，求AE、BE的长.
26．（10分）已知二次函数与轴交于、（在的左侧）与轴交于点，连接、.
（1）如图1，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，点分别为轴上的动点，连接、、，求的周长最小值；
（2）如图2，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的拋物线，使得交轴于点（在的左侧）. 将绕点顺时针旋转至. 抛物线的对称轴上有—动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是3，即众数是3；
把这组数据按照从小到大的顺序排列3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4；
故选：A．
本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
2、D
【分析】由题意可知旋转角∠BCB′=60°，则根据∠ACB′=∠BCB′+∠ACB即可得出答案．
【详解】解：根据旋转的定义可知旋转角∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠BCB′+∠ACB =60°+25°=85°．
故选：D．
本题主要考查旋转的定义，解题的关键是找到旋转角，以及旋转后的不变量．
3、C
【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．
∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．故选C．
4、A
【分析】由于，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=，然后即可求出E（3m，n-），依据mn=3m（n-）可求mn=1，即求出k的值．
【详解】如图，过F作FC⊥OA于C，
∵，
∴OA=3OC，BF=2OC
∴若设F（m，n）
则OA=3m，BF=2m
∵S△BEF=4
∴BE=
则E（3m，n-）
∵E在双曲线y=上
∴mn=3m（n-）
∴mn=1
即k=1．
故选A．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．
5、D
【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果．
【详解】解：∵在同一时刻，
∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高，
即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米，
故选：D．
本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是．
6、A
【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=，
∴csA===，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=csA=.
故选A.
本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出csA的值是解题的关键.
7、A
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数．
【详解】这组数的平均数为＝4，
解得：x＝2；
所以这组数据是：2，2，4，8；
中位数是（2＋4）÷2＝3，
2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，
所以众数是2；
故选：A．
本题考查平均数和中位数和众数的概念．
8、C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:1．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
9、D
【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．
∵OC=OA，∴∠OCA＝×45°=22.5°．
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选：D．
本题考查切线的性质定理,熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
10、A
【解析】根据黄金比的定义得： ，得 .故选A.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以所围成的圆锥的高=
考点：圆锥的计算．
12、1
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】是方程的实数根，
，
，
，
，是方程的两实数根，
，，
．
故答案为1．
考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
13、x＜﹣1或x＞1．
【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14、30或60
【分析】射线与恰好有且只有一个公共点就是射线与相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.
【详解】解：如图1，当射线与在射线BA上方相切时，符合题意，设切点为C，连接OC，则OC⊥BP，
于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，
此时射线旋转的速度为每秒60°÷2=30°；

如图2，当射线与在射线BA下方相切时，也符合题意，设切点为D，连接OD，则OD⊥BP，
于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，
此时射线旋转的速度为每秒120°÷2=60°；
故答案为：30或60.
本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.
15、-1
【解析】将点（−2，3）代入解析式可求出k的值．
【详解】把（−2，3）代入函数y＝中，得3＝，解得k＝−1．
故答案为−1．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y＝，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
16、
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式，写出抛物线解析式，即可．
【详解】由题意知：抛物线的顶点坐标是（0，1）．
∵抛物线向左平移3个单位
∴顶点坐标变为（-3，1）．
∴得到的抛物线关系式是．
故答案为．
本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握二次函数图像与几何变换是解题的关键．
17、1
【解析】分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l，如图，
∵半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线L相切，
∴O1A=r1，O2B=r2，O3C=r3，
∵∠AOO1=30°，
∴OO1=2O1A=2r1=2，
在Rt△OO2B中，OO2=2O2B，即2+1+r2=2r2，
∴r2=3，
在Rt△OO2C中，OO3=2O2C，即2+1+2×3++r3=2r3，
∴r3=9=32，
同理可得r4=27=33，
所以r2018=1．
故答案为1．
点睛：找规律题需要记忆常见数列
1,2,3,4……n
1,3,5,7……2n-1
2,4,6,8……2n
2,4,8,16,32……
1,4,9,16,25……
2,6,12,20……n(n+1)
一般题目中的数列是利用常见数列变形而来，其中后一项比前一项多一个常数，是等差数列，列举找规律.后一项是前一项的固定倍数，则是等比数列，列举找规律.
18、-1
【解析】由反比例函数系数 k 的几何意义结合△APB 的面积为 4 即可得出 k＝±
1，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出 k＝﹣1，此题得解．
【详解】∵点 P 在反比例函数 y＝的图象上，PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，
∴S△APB＝|k|＝4，
∴k＝±1．
又∵反比例函数在第二象限有图象，
∴k＝﹣1．
故答案为﹣1．
本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，熟练掌握“在反比例函数 y＝图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：原式
=﹣+
=．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
20、（1）见解析；（2）DF＝2．
【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21、（1）50，30；（2）答案见解析；（3）36；（4）1800人．
【分析】（1）由赞同的人数除以赞同的人数所占的百分比，即可求出样本容量，再求出无所谓态度的人数，进而求出a的值；
（2）由（1）可知无所谓态度的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）求出不赞成人数的百分数，即可求出圆心角的度数；
（4）求出“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分比，用样本估计总体的思想计算即可．
【详解】（1）20÷40%=50（人），
无所谓态度的人数为50﹣10﹣20﹣5=15，
则a=；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）不赞成人数占总人数的百分数为×100%=10%，
持“不赞同”态度的学生人数的百分比所占扇形的圆心角为10%×360°=36°，
（4）“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数所占的百分数为×100%=60%，
则该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和为3000×60%=1800人．
考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体．
22、（1）4-π；（2）参见解析．
【解析】试题分析：（1）连接OD，由已知条件可证出三角形ODC是等腰直角三角形，OD的长度知道，∠DOB的度数是45度，这样，阴影的面积就等于等腰直角三角形ODC的面积减去扇形ODB的面积．（2）连接AD，由已知条件可证出AD垂直平分BM，从而得到DM=DB，又因为弧DE=弧DB，DE=DB，所以DE就等于DM了．
试题解析：（1）连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD∵OA="CD" =， OA=OD∴OD=CD=∴△OCD 为等腰直角三角形∠DOC=∠C=45°S阴影=S△OCD-S扇OBD=××－．（2）连接AD．∵AB是⊙O直径∴∠ADB=∠ADM= 90°又∵弧ED=弧BD∴ED="BD" ∠MAD=∠BAD∴△AMD≌△ABD∴DM="BD" ∴DE=DM．如图所示：
考点：圆的性质与三角形综合知识．
23、此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE=90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE=x nmile，则AE=x （nmile），BE=x（nmile），由AB=6 nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形．
又∵∠CFE＝90°，
∴▱CDEF为矩形，
∴CF＝DE．
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，
∴AE＝＝x（nmile）．
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，
∴BE＝＝x（nmile）．
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，
∴CF＝DE＝（9+3）nmile．
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴BC＝≈20（nmile）．
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键．
24、鸡场的长和宽分别为13m，10m．
【分析】设鸡场的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为（32-2x+1），而鸡场的面积为130m2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【详解】解：设鸡场的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（32-2x+1）x=130，
2x2-33x+130=0，
（x-10）（2x-13）=0，
∴x1=10或x2=6.5，
当x1=10时，32-2x+1=13＜16；
当x2=6.5时，32-2x+1=20＞16，不合题意舍去．
答：鸡场的长和宽分别为13m，10m．
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
25、AE=6,BE=3.
【解析】先根据已知条件求证△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对应边成比例，代入数值即可求解．
【详解】∵∠AED =∠C，∠A为公共角
∴△ABC∽△ADE
∴
又∵DE=4，BC=12，CD=15，AD=3，
∴AC=15+3=18
∴
∴AE=6，AB=9
∴BE=9-6=3
本题考查了相似三角形的性质和判定，利用相似三角形对应边成比例即可解题.
26、（1）；（1）存在，理由见解析；，，，，
【分析】（1）利用待定系数法求出A，B，C的坐标，如图1中，作PQ∥y轴交BC于Q，设P，则Q，构建二次函数确定点P的坐标，作P关于y轴的对称点P1（-2，6），作P关于x轴的对称点P1（2，-6），的周长最小，其周长等于线段的长，由此即可解决问题．
（1）首先求出平移后的抛物线的解析式，确定点H，点C′的坐标，分三种情形，当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S1K1．当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K2S2．当OC′是菱形的对角线时，分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，，
过点作轴平行线，交线段于点，
设，
=-（m1-2）1+2，
∵，
∴m=2时，△PBC的面积最大，此时P（2，6）
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别为，
此时的周长最小，其周长等于线段的长；
∵，
∴.
（1）如图，
∵E（0，-2），平移后的抛物线经过E，B，
∴抛物线的解析式为y=-x1+bx-2，把B（8，0）代入得到b=2，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-x+2x-2=-（x-1）（x-8），
令y=0，得到x=1或8，
∴H（1，0），
∵△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C′HB′，
∴C′（6，1），
当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S1K1，
∵OC′=C′S==1，
∴可得S1（5，1-），S1（5，1+），
∵点C′向左平移一个单位，向下平移得到S1，
∴点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，
∴K1（-1，-），同法可得K1（-1，），
当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K2S2，
同法可得K3（11，1-），K2（11，1+），
当OC′是菱形的对角线时，设S5（5，m），则有51+m1=11+（1-m）1，
解得m=-5，
∴S5（5，-5），
∵点O向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S5，
∴C′向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K5，
∴K5（1，7），
综上所述，满足条件的点K的坐标为（-1，-）或（-1，）或（11，1-）或（11，1+）或（1，7）．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平移变换，翻折变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题.