重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知圆,则圆C关于点对称的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
3、古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织,日自信,五日织五尺,问日织几何？“意思是：一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知5天共织布5尺,问该女子每天分别织布多少？按此条件,若织布的总尺数不少于25尺,该女子需要的天数至少为( )
A.7B.8C.9D.10
4、已知正三棱锥的底面边长为6,高为3,则该三棱锥的表面积是( )
A.B.C.D.
5、下列说法中正确的是( )
A.“A与B是对立事件”是“A与B互为互斥事件”的必要不充分条件
B.已知随机变量X服从二项分布,则
C.已知随机变量X服从正态分布且,则
D.已知随机变量X的方差为,则
6、设函数的定义域为R,是其导函数,若,,则不等式的解集是( )
A.B.C.D.
7、用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色,要求同一区域用同一种颜色,有共公边的区域使用不同颜色,则共有涂色方法( )
A.120种B.720种C.840种D.960种
8、已知函数,,若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知,,,下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10、少年强则国强,少年智则国智,党和政府一直重视青少年的健康成长,出台了一系列政策和行动计划,提高学生身体素质,为了加强对学生的营养健康监测,某校在3000名学生中,抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则下列结论正确的是( )
A.样本的众数为65
B.该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C.样本的第80百分位数为72.5
D.样本的平均值为66.75
11、已知函数,,则下列结论正确的是( )
A.当时,函数在处的切线方程为
B.当时,不等式恒成立
C.当时,有极小值
D.若在区间上单调递增,则
12、已知数列满足,,,为数列的前n项和,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.D.的最大值为
三、填空题
13、6的二项展开式中的常数项为___________.
14、甲、乙两人向同一目标各射击一次,已知甲命中目标的概率为0.6.乙命中目标的概率为0.5,已知目标至少被命中1次,则甲命中目标的概率为_____________.
15、已知点,分别是双曲线虚轴的两个顶点,过且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率e为___________.
16、已知数列的首项,,,记,若,则正整数k的最大值为_____________.
四、解答题
17、已知等差数列的首项,记的前n项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列公差,令,求数列的前n项和.
18、某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计,得到如下统计表和散点图.
(1)通过分析散点图的特征后,计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型,根据统计表和参考数据,求出y关于x的回归方程;
(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时,决定停止产品研发,转为投资产品促销.根据以往的经验,当投资11百万元进行产品促销后,月销售量的分布列为：
结合回归方程和的分布列,试问公司的决策是否合理.
参考公式及参考数据：,,.
19、如图,在三棱柱中,底面ABC是边长为8的等边三角形,,,,D在上且满足.
(1)求证：平面平面BAD;
(2)求平面ABC与平面夹角的正弦值.
20、某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动,在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的取状和大小都相同）,抽奖规则如下：从袋中一次性摸出3个球,把白球换成红球再全部放回袋中,设此时袋中红球个数为X,则每位员工颁发奖金X万元.
(1)求X的分布列与数学期望;
(2)若企业有1000名员工,他们为企业贡献的利润近似服从正态分布,为各位员工贡献利润数额的均值,计算结果为100万元,为数据的方差,计算结果为225万元,为激励为企业做出突出贡献的员工,现决定该笔奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得,且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算,求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布,则,.
21、已如的右焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O对称的两个动点,当点A的坐标为时,的周长恰为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且,求面积的最大值.
22、已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若函数的最小值为0,求实数k的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：因为,则或
,因此,.
故选：D.
2、答案：D
解析：圆的圆心为,半径为5,
关于对称的点为,
圆C对称后只是圆心位置改变,圆的半径不会变化,仍为5,
因此所求的圆的方程为.
故选：D.
3、答案：B
解析：设女子第一天织布尺,则数列是公比为2的等比数列,
由题意得,解得,
,解得,
因为,,
该女子所需的天数至少为8天.
故选：B.
4、答案：B
解析：如图,正三棱锥中,OM为正三棱锥的高,
则,取BC的中点N,连接AN,ON,
则M在AN上,且,
又,,所以,
所以,则,
所以,
故三棱锥的表面积为.
故选：B.
5、答案：C
解析：对于A：若A与B是对立事件,则A与B是互斥事件,故充分性成立,
若A与B是互斥事件得不到与是对立事件,故必要性不成立,
所以“A与B是对立事件”是“A与B互为互斥事件”的充分不必要条件,故A错误;
对于B：已知随机变量,则,故B错误;
对于C：因为随机变量,,
所以,
所以,故C正确;
对于D：,故D错误;
故选：C.
6、答案：B
解析：构造函数,则,
故在R上单调递增,,
可化为,
故原不等式的解集为,
故选：B.
7、答案：D
解析：A有5种颜色可选,B有4种颜色可选,D有3种颜色可选,
若CA同色,E有4种颜色可选;
若CB同色,E有4种颜色可选;
若C与A、B都不同色,则C有2种颜色可选,此时E有4种颜色可选,故共有种.
故选：D.
8、答案：B
解析：设函数上的切点坐标为,且,函数上的切点坐标为,且,
又,则公切线的斜率,则,所以,
则公切线方程为,即,
代入得：,则,整理得,
若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则方程有两个不同的实根,
设,则,令得,
当时,,单调递增,时,,单调递减,
又可得,则时,;时,,则函数的大致图象如下：
所以,解得,故实数a的取值范围为.
故选：B.
9、答案：ABC
解析：,,且,
对于A,,,由基本不等式可得,,,当且仅当时,等号成立,故A正确;
对于B,,当且仅当时,等号成立,故,故B正确.
对于C,,
当且仅当,时,等号成立,故C正确;
对于D,,,所以,故D错误,
故选：ABC.
10、答案：BCD
解析：对于A,样本的众数为67.5,故A错误,
对于B,该校学生中低于65kg的学生大约为,故B正确,
对于C,体重位于的频率为,
体重位于的频率为,
故第80百分位数位于,设其为x,则,得,故C正确,
对于D,样本的平均值为,故D正确,
故选：BCD.
11、答案：AB
解析：对于A,当时,,则,
故,,
所以在处的切线方程为,即,故A正确;
对于C,因为,则,
当时,令,得;令,得;
所以在上单调递增,在上单调递减,
故有极大值,没有极小值,故C错误;
对于B,由选项C可知,当时,在处取得唯一极大值,即最大值,
故当时,,,
所以,即恒成立,故B正确;
对于D,由选项C可知,当时,在上单调递增,在上单调递减,
所以在区间上不单调递增,故D错误.
故选：AB.
12、答案：ACD
解析：对于A,当n为奇数时,,又,
,则,A正确;
对于B,当n为偶数时,,又,;
由A知：当n为奇数时,;
则当n为偶数时,;
当n为奇数时,;
,B错误;
对于C,,C正确;
对于D,当时,,
当k为偶数时,;当k为奇数时,;
当时,,
当k为偶数时,;当k为奇数时,;
综上所述：,D正确.
故选：ACD.
13、答案：60
解析：6的二项展开式的通项为,
令,则,
所以6的二项展开式中的常数项为.
故答案为：60.
14、答案：
解析：记事件A为“甲命中目标”,事件B为“目标至少被命中次”,
则,,
.
故答案为：0.75.
15、答案：
解析：如图所示,

依题意Q点纵坐标为b,把代入双曲线方程可得
所以点Q的坐标为,
又中,
则
故答案为：.
16、答案：99
解析：因为,所以,
所以,
又,所以,所以数列为等比数列,
所以,所以,
所以,
若,则,所以,故正整数k的最大值为99,
故答案为：99.
17、答案：(1)或
(2)
解析：（1）由题意得,
原方程可化为,解得,,
由得的通项公式或
（2）数列公差,则,
.
18、答案：(1);
(2)公司的决策合理.
解析：（1）因为,令,所以.
由题可得,,
则,,
所以,所以回归方程为.
（2）当时,.
因为且,所以,
所以,
所以公司的决策合理.
19、答案：(1)证明过程见解析
(2)
解析：（1）过点D作交于点E,连接CE交AD于点O,连接OB,BE,
因为,所以四边形ACDE为平行四边形,
因为,所以,
因为,所以,
因为,,所以四边形ACDE为正方形,
故,,
由勾股定理得,且,
因为,,
所以,故,所以,
因为,OB,平面ABD,所以平面ABD,
因为平面,所以平面平面BAD.
（2）因为,,由勾股定理得,
又,由勾股定理逆定理可得,
因为,AO,平面ACDE,所以平面ACDE,
取AE中点M,的中点N,以OM,ON,OB分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
设平面ABC的法向量为,
则,
解得,令得,所以,
设平面的法向量为,
则,
令,解得,故,
设平面ABC与平面夹角为,
则,
因为
所以平面ABC与平面夹角的正弦值为,
20、答案：(1)分布列见解析,
(2)159人,28万元
解析：（1）依题意可得X的可能取值为3,4,5,6,
则,,
,,
X的分布列为：
.
（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元）,
设每位职工为企业的贡献利润数额为,则,
所以获得奖金的职工数约为
（人）,
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意,,于是,
设椭圆的左焦点为,由,故四边形为平行四边形,于是,
由椭圆的定义：,于是,解得,
而椭圆经过,故,结合可解得,
故椭圆方程为：
（2）由于,平行线间距离处处相等,故A到CD的距离可转化为O到CD的距离.
CD的斜率不会是0,如果为0,则CD和x轴重合,
过原点的直线AB要想CD平行,此时AB也和x轴重合,那么不存在,不符题意;
当CD斜率不存在时,即轴,此时AB落在y轴上,易知,则,
中CD边上的高的长等于,故;
当CD斜率存在且不为0时,椭圆的右焦点,设直线,
和椭圆方程联立得到：,
直线CD经过椭圆内的交点,于是必和椭圆相交,设,
根据弦长公式,,
中CD边上的高的长等于O到CD的距离,即,
于是,
由韦达定理：,
故,
考察
,由于,则,
此时.
于是综上所述,面积最大值为.
22、答案：(1)答案见解析
(2)
解析：（1）由解析式知,因为,则,
当时,在上恒成立,
当时,由,得,
当,当,
综上,当,的单调增区间为,无减区间;
当时,的单调增区间为,减区间为.
（2）因为,
当x趋向时,趋向,趋向0,当x趋向0时,趋向1,趋向,
又的最小值为0,在定义域内,
考虑反面：对恒成立.
由,得到,化简得,
设,
令,则在上恒成立,y在上递增,
所以,故,当且仅当时取等号,
令,则在上恒成立,即在上递增,
又,,存在,使,
综上,即,
所以,要使,故实数k的取值范围为.
x
1
2
3
4
5
y
0.69
1.61
1.79
2.08
2.20
3
4
5
P
p
y
0.69
1.61
1.79
2.08
2.20
（保留整数）
2
5
6
8
9
X
3
4
5
6
P