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山东省宁阳县第四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
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这是一份山东省宁阳县第四中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共6页。
1.答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号填在答题纸规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号。
3.第II卷必须用中性笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
第I卷（选择题共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A.，B. ，
C. ，D. ，
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．－1或3B．－1C．1或－3D．3
6．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．设 则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足的取值范围是
A．B．C．D．
多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．B．3C．D．4
12．对于函数定义域中任意的，当时，结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．．
第II卷（非选择题共90分）
注意事项：
答卷Ⅱ前务必将自己的姓名、班级、考号、座号填在答卷纸规定的地方。
答卷Ⅱ时用中性笔直接填写在答卷纸规定的地方。
3．交卷时只交答题卷。
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数=的定义域为
14．函数（且）的图象恒过定点是 .
15．设函数，且，则等于 .
16．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤）
17．（10分）（1）化简：；
（2）求值：.
18．（12分）设集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
19．（12分）已知函数，．
(1)若的解集是，求函数的零点；
(2)求不等式的解集．
20．（12分）推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每日处理厨余垃圾的成本为（元），日处理量为（吨），经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益.
(1)当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本）
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
21．（12分）已知函数.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)直接写出的单调性；
(3)若，求实数的取值范围.
22．（12分）设函数且是奇函数．
(1)求的值；
(2)若，判断并用定义证明函数的单调性，并求使不等式恒成立的t的取值范围。
答案
1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D 9．CD 10．BD 11．AC 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1）原式
.
.
（2）原式
.
18．【详解】【答案】（1） （2）
【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；
（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可
【小问1详解】由题意得：
当时， 故
【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件 可得：
当时，得 解得：； 当时，，解得.
综上，的取值范围为：
19．【详解】（1）因为的解集是，所以是的一个根，
所以，解得，所以.
令，解得，
所以的零点为1和3.
（2）因为，即，所以，
当时，，解得；
当时，方程的两根为，
当时，开口向下，且，解得；
当时，开口向上，且，解得或；
当时，开口向上，且，解得；
当时，开口向上，且，解得或；
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
20．【详解】（1）当时，代入中，故成本，故收益为（元）；
（2）设日纯收益为
当时，，
所以当时，日纯收益最大，为1200元
当时，，
当时，的最大值为1288.
， 该公司每日处理的㕑余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.
21【详解】（1）由可知函数的定义域为R，
R，R，，
∴函数为奇函数；
（2）函数在R上为减函数.
（3）由不等式可得，
因为在R上为减函数，可得，即，
即的取值范围是．
22．【详解】（1）函数是定义域为R的奇函数，，
，，
所以
函数是奇函数，满足题意；
（2）且，
因为，，
又，且，，
单调递减，单调递减，故函数在R上单调递减．
证明如下：
设，则
，
由于，， 则，即，
，即， 所以函数在R上为单调减函数；
不等式化为，
，即恒成立，
，解得．
1.答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号填在答题纸规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号。
3.第II卷必须用中性笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
第I卷（选择题共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A.，B. ，
C. ，D. ，
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．－1或3B．－1C．1或－3D．3
6．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．设 则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足的取值范围是
A．B．C．D．
多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
10．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数是R上的增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．B．3C．D．4
12．对于函数定义域中任意的，当时，结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．．
第II卷（非选择题共90分）
注意事项：
答卷Ⅱ前务必将自己的姓名、班级、考号、座号填在答卷纸规定的地方。
答卷Ⅱ时用中性笔直接填写在答卷纸规定的地方。
3．交卷时只交答题卷。
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数=的定义域为
14．函数（且）的图象恒过定点是 .
15．设函数，且，则等于 .
16．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤）
17．（10分）（1）化简：；
（2）求值：.
18．（12分）设集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
19．（12分）已知函数，．
(1)若的解集是，求函数的零点；
(2)求不等式的解集．
20．（12分）推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每日处理厨余垃圾的成本为（元），日处理量为（吨），经测算，当时，；当时，，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益.
(1)当日处理量为10吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本）
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
21．（12分）已知函数.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)直接写出的单调性；
(3)若，求实数的取值范围.
22．（12分）设函数且是奇函数．
(1)求的值；
(2)若，判断并用定义证明函数的单调性，并求使不等式恒成立的t的取值范围。
答案
1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D 9．CD 10．BD 11．AC 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1）原式
.
.
（2）原式
.
18．【详解】【答案】（1） （2）
【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；
（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可
【小问1详解】由题意得：
当时， 故
【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件 可得：
当时，得 解得：； 当时，，解得.
综上，的取值范围为：
19．【详解】（1）因为的解集是，所以是的一个根，
所以，解得，所以.
令，解得，
所以的零点为1和3.
（2）因为，即，所以，
当时，，解得；
当时，方程的两根为，
当时，开口向下，且，解得；
当时，开口向上，且，解得或；
当时，开口向上，且，解得；
当时，开口向上，且，解得或；
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
20．【详解】（1）当时，代入中，故成本，故收益为（元）；
（2）设日纯收益为
当时，，
所以当时，日纯收益最大，为1200元
当时，，
当时，的最大值为1288.
， 该公司每日处理的㕑余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.
21【详解】（1）由可知函数的定义域为R，
R，R，，
∴函数为奇函数；
（2）函数在R上为减函数.
（3）由不等式可得，
因为在R上为减函数，可得，即，
即的取值范围是．
22．【详解】（1）函数是定义域为R的奇函数，，
，，
所以
函数是奇函数，满足题意；
（2）且，
因为，，
又，且，，
单调递减，单调递减，故函数在R上单调递减．
证明如下：
设，则
，
由于，， 则，即，
，即， 所以函数在R上为单调减函数；
不等式化为，
，即恒成立，
，解得．
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