四川省安岳县石羊中学高2023-2024学年高二上学期期中考试文科数学试卷

这是一份四川省安岳县石羊中学高2023-2024学年高二上学期期中考试文科数学试卷，共9页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. “不怕一万，就怕万一”这句民间谤语说明（ ）
A.小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B.小概率事件很少发生，不用怕
C.小概率事件就是不可能事件，不会发生
D.大概率事件就是必然事件，一定发生
2. 直线 3x-4y-15=0过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行, 则双曲线的方程为（ ）
A.x216-y29=1B.x29-y216=1
C.x24-y23=1D.x23-y24=1
3.已知椭圆 C:x24+y23=1, 则下列各点不在椭圆内部的是（ ）
A.(1,1)B.(2,-1)
C.(2,2)D.12,1
4.已知抛物线的对称轴为 x轴, 顶点在原点, 焦点在直线2x-4y+11=0上, 则此抛物线的方程是（ ）
A.y2=-11xB.y2=11xC.y2=-22xD.y2=22x
5. 圆心在直线 x-y-4=0上, 且经过两圆x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为（ ）
A.x2+y2-6x+2y-3=0B.x2+y2+6x+2y-3=0
C.x2+y2-6x-2y-3=0D.x2+y2+6x-2y-3=0
6. 已知方程 x21+m-y2m-2=1表示双曲线, 则m的取值范围是（ ）
A.m>-1B.m>2
C.m<-1或m>2D.-17. 已知点 A(-1-3,-1),B(3,0), 若点M(x,y)在线段AB上, 则y-2x+1的取值范围是（ ）
A.-∞,-12∪[3,+∞) B.-1,-12
C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.-12,12
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
8. 经过点 P(4,-2)的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8x
9. 定义直线 l与y轴交点的纵坐标叫直线的纵截距，直线l与x轴交点的横坐标叫直线的横截距. 若直线ax+by+1=0的纵截距的绝对值等于横截距的绝对值, 则此直线的斜率可能是（ ）
A.-2B.-1C.0D.1
10.已知曲线 C方程为:x2m2+1-y2m=1(m≠0), 则下列结论正确的是（ ）
A.若 m>0, 则曲线C为双曲线
B.若曲线 C为椭圆, 则其长轴长为m2+1
C.曲线 C不可能为一个圆
D.当 m=1时, 其渐近线方程为y=±x2
11.直线 l的方向向量为a, 两个平面α,β的法向量分别为n,m, 则下列命题为真命题的是（ ）
A.若 a⊥n, 则直线l//平面α
B.若 a//n, 则直线l⊥平面α
C.若 cs⟨a,n⟩=12, 则直线l与平面α所成角的大小为π6
D.若 cs=32, 则平面α,β所成二面角的大小为π6
12.若直线 l经过点P0(3,-1), 且被圆x2+y2-8x-2y+12=0截得的弦长为 4 , 则l的方程可能是（ ）
A.x=3B.y=3C.3x-4y-13=0D.4x-3y-15=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13对两个相互独立的事件 A和B, 如P(A)=12,P(B)=14, 则P(AB)=______________.
14 已知抛物线的离心率为 e, 焦点坐标为(0,e), 则抛物线的标准方程为_____________.
15 抛物线拱桥离水面 3m，水面宽12m，水位下降1m后，水面宽为_____________.
16椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上一点, 满足F1M∙F2M=0, 则离心率e的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本题满分10分）已知 △ABC底边两端点B(0,6)、C(0,-6), 若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为-49, 求点A的轨迹方程.
15.（本题满分12分）求与圆 x2+y2-2x+4y+1=0同心, 且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程.
16.（本题满分12分）如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为BB1的AB=CC1=2BC=2.
(1)证明: AC⊥C1E.
(2)求二面角 A-EC1-B的余弦值.
17.（本题满分12分）已知两条直线 l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0的交点为P, 直线l3的方程为:3x-4y+5=0
(1) 求过点 P且与l3平行的直线方程;
(2) 求过点 P且与l3垂直的直线方程.
18.（本题满分12分）已知 △ABC中, 顶点A(2,1),B(-2,0),∠C的平分线所在直线的方程为x+y=0.
(1) 求顶点 C的坐标;
(2) 求 △ABC的面积.
19.（本题满分12分）某培训班共有 n名学生, 现将一次某学科考试成绩 (单位: 分) 绘制成频率分布直方图, 如图所示.其中落在[80,90)内的频数为 36
(1) 请根据图中所给数据, 求出 a及n的值;
(2) 从如图5 组中按分层抽样的方法选取 40 名学生的成绩作为一个样本, 求在第一组、第五组（从左到右）中分别抽取了几名学生的成绩?
(3) 在 (2) 抽取的样本中的第一与第五组中, 随机抽取两名学生的成绩, 求所取两名学生的平均分不低于 70 分的概率.
参考答案及解析
1. 【答案】A
【解析】【分析】理解谚语的描述, 应用数学概率知识改写即可.
【详解】“不怕一万，就怕万一”表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防;故选: A
2. 【答案】A
【详解】由直线 3x-4y-15=0,令 y=0得,x=5,
由题意得: c=5,ba=34,解得 a=4,b=3,
所以双曲线的方程为 x216-y29=1故选: A
3. 【答案】C 【解析】由椭圆方程为 C:x24+y23=1,
因为 14+13=712<1, 所以点(1,1)在椭圆内部, A错误;
因为 24+13=56<1, 所以点(2,-1)在椭圆内部, B错误;
因为 24+23=76>1, 所以点(2,2)在椭圆外部, C 正确;
因为 14+13=1948<1, 所以点12,1在椭圆内部, D错误.故选: C.
4. 【答案】C 【解析】在方程 2x-4y+11=0中, 令y=0得x=-112,
∴抛物线的焦点为F-112,0, 即p2=112,∴p=11,
∴抛物线的方程是y2=-22x.故选: C.
5. 【答案】A
【解析】由 x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0
解得两圆交点为 M2+102,2+102与N2-102,2-102
因为 kMN=1, 所以线段MN的垂直平分线斜率k2=-1;MN中点P坐标为(1,1)
所以垂直平分线为 y=-x+2由 y=-x+2x-y-4=0
解得 x=3,y=-1, 所以圆心O点坐标为(3,-1)
所以 r=3-2+1022+-1-2+1022=13
所以所求圆的方程为 (x-3)2+(y+1)2=13即:x2+y2-6x+2y-3=0
故选: A
6. 【答案】C
【解析】当双曲线的焦点在 x轴上, 双曲线方程x21+m-y2m-2=1, 则1+m>0,m-2>0,
解得: m>2;当双曲线的焦点在y轴上, 双曲线方程x21+m-y2m-2=1⇔y22-m-x2-1-m=1,
所以 2-m>0,-1-m>0,解得:m<-1;故选 C.
7. 【答案】A
【解析】y-2x+1可看作M(x,y)与N(-1,2)的斜率,
则 kAN=-1-2-1-3+1=3,kBN=2-0-1-3=-12,
因为点 M(x,y)在线段AB上,所以 y-2x+1的取值范围为-∞,-12∪[3,+∞),故选: A
8. 【答案】AC
【解析】若抛物线的焦点在 x轴上, 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
又因为抛物线经过点 P(4,-2), 所以(-2)2=2p×4, 解得p=12, 所以抛物线的方程为y2=x.
若抛物线的焦点在 y轴上, 设抛物线的方程为x2=2py(p>0),
又因为抛物线经过点 P(4,-2),所以42=2p×(-2), 解得p=-4, 所以抛物线的方程为x2=-8y.
故选: AC.
9. 【答案】BD
【解析】由题意知: 直线 ax+by+1=0与y轴, 与x轴都相交,
所以 a≠0且b≠0, 所以直线ax+by+1=0的斜率为-ab
又直线 ax+by+1=0与x轴交点为-1a,0,
与 y轴交点为0,-1b,
若纵截距的绝对值等于横截距的绝对值, 则 -1a=-1b,
即 |a|=|b|, 则a=±b, 所以斜率为-ab=±1,故选: BD.
10. 【答案】AC
【解析】当 m>0时, 显然A正确;
当 m<0,m2+1>-m>0, 故a=m2+1, 所以长轴长2a=2m2+1, B 不正确;
因为 m2+1>-m恒成立, 所以 C 正确;
当 m=1时, 方程为x22-y2=1,其渐近线方程为y=±22x, 故 D不正确.
故选: AC
11. 【答案】BC
【解析】对于 A：若 a⊥n, 则直线l//平面α, 或直线l⊂平面α, 故 A 错误;
对于 B: 若 a//n, 根据平行的传递性可得直线l⊥平面α, 故 B 正确;
对于C : 因为直线与平面所成角范围为 0,π2, 且若cs⟨a,n⟩=12,
即 a与n的夹角为π3,所以直线l与平面α所成角的大小为π6, 故 C 正确;
对于 D: 因为两面所成角范围为 [0,π], 若cs⟨m,n⟩=32,
则平面 α,β所成二面角的大小为π6或5π6, 故D错误.
故选: BC
12. 【答案】AC
【解析】圆的标准方程为: (x-4)2+(y-1)2=5,
由题意圆心到直线l的距离d=r2-422=5-4=1
①当直线的斜率不存在时, 直线方程为 x=3, 圆心到直线的距离d=1, 符合题意,
②当直线的斜率存在时, 设直线的方程为 y+1=k(x-3), 即kx-y-1-3k=0,
圆心到直线的距离为 d=|k-2|1+k2=1, 解得k=34,
则直线方程为 3x-4y-13=0,综上, 直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.
故选: AC.
13. 【答案】 18
【解析】根据概率的乘法公式, 有: P(AB)=P(A)∙P(B)=12×14=18.故答案为: 18
14 【答案】x2=4y【解析】由 e=1, 得焦点坐标为(0,1),
所以抛物线的标准方程为x2=4y.故答案为: x2=4y
15【答案】 83m. 【解析】解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 则抛物线方程可假设为: x2=-2py(p>0),∵当拱顶离水面 3 米，水面宽 12 米，∴(6,-3)代入抛物线方程可得:36=6p,∴p=6,∴抛物线方程为:x2=-12y.如果水面下降 1m, 则令y=-4,∴x=±43,∴水面宽83m,故答案为: 83m.
16【答案】 22⩽e<1. 【解析】设 M(x,y), 则F1M=(x+c,y),F2M=(x-c,y),由 F1M∙F2M=0⇒x2+y2=c2⇒y2=c2-x2,又 M在椭圆上，∴y2=b2-b2a2x2,∴c2-x2=b2-b2a2x2⇒x2=a2-a2b2c2,又 0⩽x2⩽a2,∴0<2-1e2⩽1⇒22⩽e⩽1,∵017 【解析】设 A(x,y)且x≠0, 则kABkAC=y-6x∙y+6x=y2-36x2=-49,
整理得: A的轨迹方程x281+y236=1(x≠0).
18. 【答案】 (x-1)2+(y+2)2=5.
【解析】已知圆配方得 (x-1)2+(y+2)2=4, 圆心为C(1,-2),
所求圆的半径 r=|2×1-(-2)+1|5=5,
∴所求圆方程为(x-1)2+(y+2)2=5.
19. 【解析】 (1) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以CC1⊥AC,
又由题可知, AC⊥BC,
CC1,BC⊂平面BCC1B1
且 CC1∩BC=C,
所以 AC⊥平面BCC1B1,
又因为 C1E⊂平面BCC1B1, 所以AC⊥C1E.
(2) 以 C为坐标原点,CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建系如图,
由 AC⊥BC,AB=2BC=2, 可得AC=3,
则有 A(3,0,0),E(0,1,1),C1(0,0,2),
设平面 AEC1的一个方向量为m=(x,y,z),AE=(-3,1,1),AC1=(-3,0,2),
所以 AE∙m=0AC1∙m=0, 即-3x+y+z=0-3x+2z=0, 令z=3, 则x=2,y=3,
所以 m=(2,3,3),
因为 AC⊥平面BCC1B1, 所以CA=(3,0,0)为平面EC1B的一个法向量,
所以, cs=m∙CA|m||CA|=2310?3=105,
即二面角 A-EC1-B的余弦值等于105.
20. 【解析】解: (1) 由 x-2y+4=0x+y-2=0得x=0y=2,∴P(0,2),
∵kl3=34,∴过点P且与l3平行的直线方程为:y-2=34(x-0),
即 3x-4y+8=0
(2) ∵P(0,2),kl3=34,
∴过点P且与l3垂直的直线方程为:y-2=-43(x-0)
即 4x+3y-6=0
21. 【解析】 (1) 因为 CD是∠C的平分线,
所以 B(-2,0)关于直线x+y=0的对称点B'(0,2)一定在直线AC上,
kAC=1-22-0=-12, 所以直线AC的方程为:y-2=-12x, 即x+2y-4=0,
由 x+2y-4=0x+y=0解得:x=-4y=4,所以 C(-4,4);
(2) 点 B(-2,0)到直线AC:x+2y-4=0的距离为:d=|-2-4|12+22=65,
|AC|=(-4-2)2+(4-1)2=35,
所以 S△ABC=12|AC|∙d=12×35×65=9.
22. 【解析】 (1) 第四组的频率为: 1-0.05-0.075-0.225-0.35=0.3,
∴a=0.310=0.03,n=360.3=120.
(2) 第一组应抽: 40×0.05=2个, 第五组应抽:40×0.075=3个;
(3) 设第一组抽取的 2 个分数记作 A1、A2,
第五组的 3 个分数记作 B1、B2、B3,
那么从这两组中抽取 2 个的结果有
: A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3, 共10种,
其中平均分不低于 70 分所包含的结果
有: A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3, 共9种,故所求概率为:P=910.