2019年湖南省湘潭市中考数学真题及答案

这是一份2019年湖南省湘潭市中考数学真题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下列各数中是负数的是
A. B. C. D.
下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A. B. C. D.
今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为
A. B. C. D.
下列计算正确的是
A. B. C. D.
已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A. 4B. 2C. 1D.
随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
A. 平均数是8B. 众数是11C. 中位数是2D. 极差是10
如图，将绕点O逆时针旋转到的位置，若，则
A.
B.
C.
D.
现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
函数中，自变量x的取值范围是______．
若，，则______．
为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是______．
计算：______．
将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为______．
四边形的内角和是______．
如图，在四边形ABCD中，若，则添加一个条件______，能得到平行四边形不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可
九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积弦矢矢孤田是由圆弧和其所对的弦围成如图中的阴影部分，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理当半径弦AB时，OC平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______平方米．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共9小题，共66.0分）
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．结果精确到千米参考数据：，
每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题
统计表中的______．
心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为______．
学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？
如图，将沿着AC边翻折，得到，且．
判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
若，，求四边形ABCD的面积．
2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
“”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法
高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
如图，在平面直角坐标系中，与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴相切于点C，连接MA、MC，已知半径为2，，双曲线经过圆心M．
求双曲线的解析式；
求直线BC的解析式．
某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，B种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
如图一，抛物线过、三点
求该抛物线的解析式；
、两点均在该抛物线上，若，求P点横坐标的取值范围；
如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求周长的最小值．
如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，，，点M是线段AC上一动点不与点A重合，连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．
求的大小；
问题探究：动点M在运动的过程中，
是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：的绝对值；
；
；
．
故选：B．
根据负数的定义可得B为答案．
本题运用了负数的定义来解决问题，关键是要有数感．
2.【答案】C
【解析】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：C．
俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3.【答案】B
【解析】解：将24000用科学记数法表示为：，
故选：B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：A、结果是，故本选项不符合题意；
B、结果是，故本选项不符合题意；
C、结果是5a，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．
本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点，能够正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：A．
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：，即平均数是8，故A事正确的．
出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，
从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；
极差为，故D不正确；
故选：A．
从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，
极差为，故D不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故B不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故C是不正确的；
，即平均数是8，故A事正确的．
考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法，正确掌握这几个统计量的意义是解决问题的前提．
7.【答案】D
【解析】解：绕点O逆时针旋转到的位置，
，
而，
．
故选：D．
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
，
故选：B．
根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10.【答案】15
【解析】解：，，



，
故答案为：15．
先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：选出的恰为女生的概率为，
故答案为．
随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
12.【答案】4
【解析】解：，
故答案为：4．
根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
13.【答案】
【解析】解：将正比例函数的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为，
故答案为：．
根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：．
故四边形的内角和为．
故答案为：．
根据n边形的内角和是，代入公式就可以求出内角和．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容，比较简单．
15.【答案】
【解析】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：答案不唯一．
可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
16.【答案】10
【解析】解：弦米，半径弦AB，
，
，
，
弧田面积弦矢矢，
故答案为：10．
根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积弦矢矢即可得到结论．
此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式，，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
19.【答案】解：如图所示：连接OR，由题意可得：，，，，
在直角中，．
在直角中，．
答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为．
【解析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20.【答案】7
【解析】解：总人数人，，
故答案为7．
所占的圆心角，
故答案为．
人，
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．
根据D组人数以及百分比求出总人数，再求出a即可．
根据圆心角百分比计算即可．
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：四边形ABCD是菱形；理由如下：
沿着AC边翻折，得到，
，，，，
，
，
，
，，
四边形ABCD是菱形；
连接BD交AC于O，如图所示：
四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
四边形ABCD的面积．
【解析】由折叠的性质得出，，，，由平行线的性质得出，得出，证出，，即可得出结论；
连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
22.【答案】解：画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果；
画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为．
【解析】利用树状图可得所有等可能结果；
画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
23.【答案】解：如图，过点M作轴于N，
，
切y轴于C，
，
，
，
四边形OCMN是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
双曲线经过圆心M，
，
双曲线的解析式为；
如图，过点B，C作直线，
由知，四边形OCMN是矩形，
，，
，
在中，，，
，
，
，，
，
设直线BC的解析式为，
，
，
直线BC的解析式为．
【解析】先求出，再判断出四边形OCMN是矩形，得出MN，进而求出点M的坐标，即可得出结论；
先求出点C的坐标，再用三角函数求出AN，进而求出点B的坐标，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点M的坐标是解本题的关键．
24.【答案】解：根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，
则有，解得
故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．
设A种湘莲礼盒降价m元盒，利润为W元，依题意
总利润
化简得
当时，取得最大值为1307，
故当A种湘莲礼盒降价9元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【解析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题；
根据题意，可设A种礼盒降价m元盒，则A种礼盒的销售量为：盒，再列出关系式即可．
25.【答案】解：抛物线过、三点
解得：，，；
抛物线的解析式为：．
抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
或
答：P点横坐标的取值范围：或．
，B，，
，，
是BC的中点，
当点F关于直线CE的对称点为，关于直线CD的对称点为，直线与CE、CD交点为M、N，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，即点O，
，
即：的周长最小值为3，
【解析】将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；
可以求出点关于对称轴的对称点的横坐标为：，根据函数的增减性，可以求出当时P点横坐标的取值范围；
由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性，勾股定理以及最小值的求法等知识，函数的对称性，点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键．
26.【答案】解：如图一中，
四边形ABCD是矩形，
，
，
．
如图一中，当时，
，，，
≌，
，
在中，，，
，
，，
是等边三角形，
，
．
如图一中，当时，易证，
，
，，
，
，
，
综上所述，满足条件的CM的值为5或．
结论：大小不变．
理由：如图一中，，
，B，M，N四点共圆，
．
如图一中，，
，N，B，M四点共圆，
，
，
，
综上所述，．
如图二中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
垂直平分线段AM，
，
，
，，
．
【解析】在中，求出的正切值即可解决问题．
分两种情形：当时，当时，分别求解即可．
利用四点共圆解决问题即可．
首先证明是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
分数x
人数
5
a
5
2
1
等第
A
B
C
D
E