2021年湖南湘西中考数学试题及答案

这是一份2021年湖南湘西中考数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
6. 如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
7. 如图，在中，，于点，，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与轴没有交点
B. 当时
C. 图象与轴的交点是
D. 随的增大而减小
【答案】A
10. 已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ）
A. ，或B. ，或
C. ，或D. ，或
【答案】C
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）
11. 计算：______．
【答案】
12. 北京时间年月日时分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，用科学记数法可以表示为____．
【答案】
13. 因式分解：_____．
【答案】
14. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．
【答案】
15. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____．
【答案】
16. 若式子的值为零，则＝___．
【答案】0
17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是____．
【答案】40°
18. 古希腊数学家把，，，，，，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，…，则第个图形表示的三角形数＝___．（用含的式子表达）
【答案】
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）
19. 计算：．
【答案】
【详解】解：原式=．
20. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【答案】无解，数轴见详解
详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴原方程无解，
在数轴上的表示如图所示：
21. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴根据三角形内角和可得，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴．
22. 为庆祝中国共产党成立周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）该校此次调查共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
（3）若该校共有名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．
【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有240名学生参加舞蹈活动．
【详解】解：（1）由题意得：
该校此次调查共抽取的学生人数为（名）；
故答案为50；
（2）由（1）及题意可得：
参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6（名）；
补全条形统计图如图所示：
（3）由题意得：
（名）；
答：该校有240名学生参加舞蹈活动．
23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
【答案】m
【详解】解：由题意得：，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有m，
∴，即，
解得：，
∴m．
24. 如图，为⊙的直径，为⊙O上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
（1）求证：平分；
（2）若，，求：边及的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴，
∵AD⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）解：连接BC，如图所示：
由（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为⊙的直径，
∴，
∴．
25. 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向、两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作个类微课和个类微课需要4600元成本，制作个类微课和个类微课需要元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个类微课售价元，每个类微课售价元．该团队每天可以制作个类微课或者个类微课，且团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍（注：每月制作的、两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作类微课天，制作、两类微课的月利润为元．
（1）求团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是多少元？
（2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）每月制作类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元；（2），；（3）每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【详解】解：（1）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得：
，
解得：；
答：团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元．
（2）由题意得制作类微课天，则有：
，
∵团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍，
∴，且，解得：，
（3）由（2）可得：，，
∴随的增大而增大，
∵每月制作的、两类微课的个数均为整数，
∴为偶数，
∴当时，w取最大，最大值为；
答：每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
26. 如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
活动名称
朗诵
合唱
舞蹈
绘画
征文
活动代号