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四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
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这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了请将所有答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将所有答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷选择题（60分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. D.1
4.已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，则点在直线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线过点和点，则点到的距离为（ ）
A.3 B. C. D.
7.已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为，点满足，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A.事件发生的概率为 B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为 D.事件发生的概率为
10.直线与圆相切，且在轴､轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（ ）
A.若，则最大值为2
B.若，则最大值为
C.若，则最大值为
D.若，则最大值为1
12.已知正方体的棱长为，点在底面上运动.则下列说法正确的是（ ）
A.存在点，使得
B.若平面时，长度的最小值是
C.若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D.当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
第II卷非选择题
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为__________.
14.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为__________.
15.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为，左顶点为，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于两点（其中点在第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
18.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
19.已知椭圆的离心率为，且短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程.
20.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，平面.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
21.己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程.
22.已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点.为椭圆的短轴的端点.直线与直线的斜率和满足：.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点.
彭山一中高2025届高二上学期12月月考
数学参考答案
一､项选择题：
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
二､项选择题：
9.AC 10.ACD 11.BC 12.ABD
三､填空题：
13. 14.9 15. 16.
四､解答题：
17.解：用分别表示这三列火车正点到达的事件.
则，所以.
（1）由题意得之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
18.【详解】（1）因为的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19.【详解】（1）由题意可得椭圆中：
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率
故的方程为，即..
20.【详解】（1）平面平面，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面平面，
又平面，
故.
（2），
，
，
.
如图，建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
则，
取，得
同理，设面法向量为，则
取，得
由题意，..
设平面与平面的夹角为，则
21.【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为
（2）解：若直线与y轴重合，则直线与双曲线C没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，联立可得，
由题意可得，解得，由韦达定理可得，
则，
.解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
22.【详解】解：（1）
由，即得，
所以
即椭圆的标准方程为：.
（2）设
由得：
又与圆相切，所以即
所以
所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将所有答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷选择题（60分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. D.1
4.已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，则点在直线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知直线过点和点，则点到的距离为（ ）
A.3 B. C. D.
7.已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为，点满足，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A.事件发生的概率为 B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为 D.事件发生的概率为
10.直线与圆相切，且在轴､轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（ ）
A.若，则最大值为2
B.若，则最大值为
C.若，则最大值为
D.若，则最大值为1
12.已知正方体的棱长为，点在底面上运动.则下列说法正确的是（ ）
A.存在点，使得
B.若平面时，长度的最小值是
C.若与平面所成角为时，点的轨迹长度为
D.当点为底面的中心时，三棱锥的外接球的表面积为
第II卷非选择题
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为__________.
14.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为__________.
15.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为，左顶点为，离心率为，经过的直线与该椭圆相交于两点（其中点在第一象限），且，若的周长为，则该椭圆的标准方程为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
18.在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
19.已知椭圆的离心率为，且短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程.
20.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，平面.
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.
21.己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程.
22.已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点.为椭圆的短轴的端点.直线与直线的斜率和满足：.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点.
彭山一中高2025届高二上学期12月月考
数学参考答案
一､项选择题：
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D
二､项选择题：
9.AC 10.ACD 11.BC 12.ABD
三､填空题：
13. 14.9 15. 16.
四､解答题：
17.解：用分别表示这三列火车正点到达的事件.
则，所以.
（1）由题意得之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
18.【详解】（1）因为的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19.【详解】（1）由题意可得椭圆中：
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以的斜率
故的方程为，即..
20.【详解】（1）平面平面，
过点作，由为等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面平面，
又平面，
故.
（2），
，
，
.
如图，建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
则，
取，得
同理，设面法向量为，则
取，得
由题意，..
设平面与平面的夹角为，则
21.【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为
（2）解：若直线与y轴重合，则直线与双曲线C没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，联立可得，
由题意可得，解得，由韦达定理可得，
则，
.解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
22.【详解】解：（1）
由，即得，
所以
即椭圆的标准方程为：.
（2）设
由得：
又与圆相切，所以即
所以
所以，，即
所以，以线段为直径的圆经过原点.
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