山东省滨州市邹平市梁邹实验初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山东省滨州市邹平市梁邹实验初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．没有实数根D．无法确定
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
3．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（ ）
A．16B．﹣4C．4D．8
4．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256D．256（1﹣2x）＝289
6．有下列四个命题：
①平分弦的直径垂直于弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣3
8．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC＝70°，则∠A等于（ ）
A．15°B．20°C．30°D．70°
9．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
10．在一幅长为80cm、宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+65x﹣350＝0B．x2+130x﹣1400＝0
C．x2﹣65x﹣350＝0D．x2﹣130x﹣1400＝0
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
A．B．2C．2D．8
12．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题4分）
13．足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场．共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有 支．
14．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与图的两个交点处的度数如图，那么该圆的半径为 cm．
16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，已知∠P＝50°，则∠ACB＝ 度．
18．△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC的内切圆半径为 ．
19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k 时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．
20．在半径为1的⊙O中，弦AB＝，AC＝，那么∠BAC＝ ．
三、解答题
21．（20分）解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
（3）（公式法）；
（4）（x+5）（x﹣6）＝﹣24．
22．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．求证：AE＝CE．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
25．.如图，△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径作个⊙O，⊙O交BC于D点．
（1）BD与CD的大小关系如何？为什么？
（2）过D作DE⊥AC于E．求证：DE是⊙O的切线．
26．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．
（1）该网店每星期要想6480获得元的利润，同时让顾客得到实惠，每件童装降价多少钱？
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
27．已知，如图抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案
一、选择题（每题3分）
1．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：因为Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣4）＝25＞0，
所以方程有两个不相等实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（ ）
A．16B．﹣4C．4D．8
【分析】根据抛物线的顶点在x轴上，得＝0，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得，c＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到＝0是解此题的关键．
4．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP＝3的点只有一个，OP＝4的点有2个，OP＝5的点有2个，故符合条件的点P有5个．
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，
∴BC＝AB＝4（cm），OB＝5cm，
∴OC＝＝3（cm），
∴3cm≤OP≤5cm，
∵OP的长是整数，
∴OP＝3的点只有一个，OP＝4的点有2个，OP＝5的点有2个，
∴满足条件的点P有5个．
故选：D．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256D．256（1﹣2x）＝289
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2＝256．
解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2＝256．
故选：A．
【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．有下列四个命题：
①平分弦的直径垂直于弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用垂径定理、确定圆的条件、三角形的外心的性质及等弧的定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故原命题错误，不符合题意；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确，符合题意；
④半径相等的两个半圆是等弧，正确，是真命题，符合题意．
正确的有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．
解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC＝70°，则∠A等于（ ）
A．15°B．20°C．30°D．70°
【分析】由BC与⊙O相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC＝90°，又由∠ABC＝70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA＝OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．
解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝20°．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
9．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
【分析】由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x＝7和x＝14代入求得a和b的关系，再求得x＝即为所求结果．
解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x＝7和x＝14代入求得a和b的关系：
49a+7b＝196a+14b b+21a＝0
又x＝时，炮弹所在高度最高，
将b+21a＝0代入即可得：
x＝10.5．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与实际的结合，运用二次函数的性质解决最值问题．
10．在一幅长为80cm、宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+65x﹣350＝0B．x2+130x﹣1400＝0
C．x2﹣65x﹣350＝0D．x2﹣130x﹣1400＝0
【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）＝整个挂图的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．
解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，
（80+2x）（50+2x）＝5400，
整理得：x2+65x﹣350＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
A．B．2C．2D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．
解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
12．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴为直线t＝4.5，故②正确，
∵t＝9时，h＝0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t＝1.5时，h＝11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分）
13．足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场．共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有 15 支．
【分析】设参加比赛的球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是210场，据此列出方程．
解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的x﹣1队打球，即共打x（x﹣1）场
∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，
∴每两支球队相互之间都要比赛两场，
即x（x﹣1）＝210，
解得：x2﹣x﹣210＝0，
（x﹣15）（x+14）＝0，
x1＝15．x2＝﹣14（负值舍去）
故参加比赛的球队共有15支．
【点评】此题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场”列等量关系．
14．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可．
解：∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，
∴y1＝16﹣16﹣5＝﹣5，即y1＝﹣5，
y2＝1﹣4﹣5＝﹣8，即y2＝﹣8，
y3＝1+4﹣5＝0，即y3＝0，
∵﹣8＜﹣5＜0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．
15．当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与图的两个交点处的度数如图，那么该圆的半径为 5 cm．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可知，AD＝AB＝（9﹣1）＝4，设OA＝r，则OD＝r﹣3，在Rt△OAD中利用勾股定理求出r的值即可．
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝（9﹣1）＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣3，
在Rt△OAD中，
OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣2）2＝42，
解得r＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜5且k≠1 ．
【分析】根据二次项系数非零以及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜5且k≠1．
故答案为：k＜5且k≠1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零以及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
17．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，已知∠P＝50°，则∠ACB＝ 115 度．
【分析】根据切线的性质和四边形内角和的定理即可得．
解：连接OA，OB，
根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得：
∠AOB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠1＝360﹣130＝230°
再根据圆周角定理得∠ACB＝∠1＝115°．
【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．
18．△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC的内切圆半径为 2 ．
【分析】设⊙O与AB、AC、BC分别相切于点F、E、D，连接OE、OF，由∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，求得BC＝＝10，因为AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，所以AE+AF＝2AF＝AB+AC﹣BF﹣CE＝AB+AC﹣BC＝4，则AE＝AF＝2，再证明四边形AEOF是正方形，则OE＝AE＝2，于是得到问题的答案．
解：如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、AC、BC分别相切于点F、E、D，连接OE、OF，
∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，
∴AE+AF＝2AF＝AB+AC﹣BF﹣CE＝AB+AC﹣（BD+CD）＝AB+AC﹣BC＝6+8﹣10＝4，
∴AE＝AF＝2，
∵∠OEA＝∠OFA＝∠A＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴OE＝AE＝2，
∴△ABC的内切圆半径为2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k ＜2 时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．
【分析】先由图象得y的最大值2即k的最大值，由此可解．
解：由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，
因此当k＜2时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．
【点评】考查二次函数和一元二次方程有的关系．
20．在半径为1的⊙O中，弦AB＝，AC＝，那么∠BAC＝ 75°或15° ．
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
解：有两种情况：
①如图所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°，
由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，
cs∠OAE＝＝，cs∠OAF＝＝，
∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，
∴∠BAC＝30°+45°＝75°；
②如图所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°，
由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，
cs∠OAE＝＝，cs∠OAF＝＝，
∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，
∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：75°或15°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．
三、解答题
21．（20分）解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
（3）（公式法）；
（4）（x+5）（x﹣6）＝﹣24．
【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）先移项，再提取公因式即可；
（3）运用公式法求解即可；
（4）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解答即可．
解：（1）x2﹣5x+1＝0，
移项得：x2﹣5x＝﹣1，
配方得：x2﹣5x+＝﹣1+，
即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝，x2＝；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
移项，得 3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
x1＝2，x2＝3；
（3），
∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴Δ＝8﹣4×2×（﹣5）＝48，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（4）（x+5）（x﹣6）＝﹣24，
x2﹣6x+5x﹣30+24＝0，
x2﹣x﹣6＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程．
22．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．
解：
（1）依题意：，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5
（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0）．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）
作ME⊥y轴于点E，
可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC＝（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5＝15．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC＝CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．求证：AE＝CE．
【分析】可根据等角对等边来求证．由于BA垂直平分CG，那么弧AC＝弧AG，又已知了AC＝CF，即弧AC＝弧CF，因此弧CF＝弧AG，即∠ACG＝∠FAC，也就得出了AE＝CE．
【解答】证明：连接AG，CF，
∵AB为直径，且AB⊥CG，
∴＝，
又∵AC＝CF，∴＝，
∴＝，
∴∠ACG＝∠CAF，
∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理．根据圆周角得出相关的角相等是本题的解题关键．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22＝6x1x2时，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22＝6x1x2求解即可．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12+x22＝6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝6x1•x2，
即4＝8（m﹣1），
解得：m＝．
∵m＝＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
25．.如图，△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径作个⊙O，⊙O交BC于D点．
（1）BD与CD的大小关系如何？为什么？
（2）过D作DE⊥AC于E．求证：DE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据三角形中位线定理以及平行线性质，切线的判定方法进行解答即可．
【解答】（1）解：BD＝CD，理由如下：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）证明：连接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形性质以及平行线的性质，掌握切线的判定方法，圆周角定理，等腰三角形性质是正确解答的前提．
26．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．
（1）该网店每星期要想6480获得元的利润，同时让顾客得到实惠，每件童装降价多少钱？
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据售量与售价之间的函数关系，列出方程即可得到结论；
（2））设每星期利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
解：（1）设售量y（件）与售价x（元/件）根据题意可得：
y＝300+30（60﹣x）
＝﹣30x+2100；
设要获利6480元，售价为m元，则：
（m﹣40）（﹣30m+2100）＝6480，
解得：x1＝52．x2＝58．
∵让顾客得到实惠，
∴60﹣52＝8（元），
∴降价8元；
（2）设每星期利润为W元，根据题意可得：
W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）
＝﹣30（x﹣55）2+6750．
则x＝55时，W最大值＝6750．
故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．
27．已知，如图抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线对称轴于点M，则此时，MB+MC的值最小，即可求解；
（3）把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值．
解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB＝3，
则点C（0，﹣3），
由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线对称轴于点M，则此时，MB+MC的值最小，
理由：MB+MC＝MA+MC＝AC为最小，
由抛物线的表达式知，点A（﹣3，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2，
即点M（﹣1，﹣2）；
（3）如图2所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4．
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设D（a，a2+2a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．
∵DE＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，
∴当a＝﹣1.5时，DE有最大值，最大值为．
∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×＝．
∴四边形ABCD的面积的最大值＝6+＝．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，有一定的综合性，难度适中．t
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