安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求解集合，再根据交集的定义，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所以.
故选：D
2. 不等式的解集是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.
【详解】由不等式，则，解得.
故选：B.
3. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，
可得，即，
又因为在上单调递增，且，
可得，
所以.
故选：A.
4. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得.
【详解】由，即“”“”，
由，可知当时，可得，解得；
当时，可得，可得，
即“”“”；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案.
【详解】因为在R上的偶函数，且上单调递减，
所以在上单调递增，且，
则等价于或，
根据的单调性和奇偶性，解得或，
故选：A
6. 若函数在上是增函数，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，即可由分段函数的单调性求解.
【详解】在上是增函数,则需满足，
解得，
故选：D
7. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧的最小值，根据不等式有解得，即可求参数范围.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当，时，取得最小值4，
由有解，则，解得或．
故实数m的取值范围是或.
故选：D
8. 已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.
【详解】解：令，则，
因为，，
∴为奇函数，
又因为，由复合函数单调性知为的增函数，
∵，则，
∴，
，
∴，解得或，故
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是；
对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是；
对于C，函数的定义域均为，而，C是；
对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，，
因此，D是.
故选：ACD
10. 下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，使得”
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D. 若函数的定义域是，则函数的定义域是
【答案】CD
【解析】
【分析】根据命题的否定即可求解A，根据即可求解B，根据一元二次方程与不等式的关系即可求解C，根据抽象函数定义域的求解即可判断D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，使得”，故A错误；
对于B，当时，集合也只有一个元素，故B错误；
对于C，不等式的解集，则是的两个根，
所以，故，则可化为，即，故，所以不等式的解为，C正确；
对于D，的定义域是，则函数满足，解得，所以函数的定义域是，D正确，
故选：CD
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值为2
B. 函数的值域为
C. 已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时，
D. 若幂函数在上是增函数，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据基本不等式即可判断A，根据指数复合型函数的单调性即可求解B，根据函数的奇偶性即可求解C，根据幂函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，由于，所以，当且仅当，即时等号成立，但无实根，故等号取不到，故A错误，
对于B,由于，所以，又，
故函数的值域为，B错误，
对于C，当时，则，，由于，故时，，C正确，
对于D，幂函数在上是增函数，则，解得，故D正确，
故选：CD
12. 若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐项分析判断.
【详解】对于①②可知：“理想函数”在定义域内为奇函数且单调递减.
对于选项A：定义域内为奇函数且单调递减，故A正确；
对于选项B：定义域内为奇函数且单调递减，故B正确；
对于选项C：因为定义域内均为奇函数且单调递增，
所以定义域内奇函数且单调递增，故C错误；
对于选项D：因为,故为上的奇函数.
而定义域内均为单调递减，
所以定义域内为奇函数且单调递减，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. = ________.
【答案】16
【解析】
【分析】利用指数运算法则和分数指数幂运算法则计算出答案.
【详解】
故答案为：16
14. 若为奇函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据奇函数定义域的特征求得，然后根据奇函数定义验证即可.
【详解】由得且，
因为为奇函数，所以的定义域关于原点对称，所以，即.
当时，，
所以为奇函数.
故答案为：
15. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况讨论求解.
【详解】当，即时，恒成立，
当时，因为不等式对一切恒成立，
所以，解得，
综上，，
即的取值范围是
故答案为：
16. 已知.若，求的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式乘“1”法即可求解.
详解】由得，
由于，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故最小值为，
故答案为：
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设集合，，．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）首先应用补集运算求，再由交集运算求即可；
（2）由题设BA，讨论、列不等式求参数范围即可.
【小问1详解】
由题意，当时，故或，
而，故.
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，
当时，，符合题意；
当时，需满足（、等号不能同时成立），解得，
综上，m的取值范围为或．
18. 已知，命题：，，命题：，使得方程成立.
（1）若是真命题，求的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据恒成立的思想可知，由二次函数最值可求得结果；
（2）根据基本不等式可求得，由能成立的思想可知时；由题意可知一真一假，分别讨论真假和假真两种情况即可.
【小问1详解】
若是真命题，则在上恒成立，
∵，，
∴当时，，
∴；
【小问2详解】
对于，当时，，当且仅当时取等号，
若，使得方程成立，只需即可，
若为真命题，为假命题，则和一真一假，
当真假时，，
当假真时，
综上，的取值范围为.
19. 已知指数函数在其定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，当时．求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；
（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.
【小问1详解】
是指数函数，
，
解得或，
又因为在其定义域内单调递增，所以，
；
【小问2详解】
，
，令，
，
，
，
的值域为．
20. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）函数在上是减函数，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出；
（2）根据函数单调性定义即可证得函数单调递减；
（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意可知问题等价于，由此即可得解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以，
又因为，所以，
将代入，整理得，
当时，有，即恒成立，
又因为当时，有，所以，所以.
经检验符合题意，所以.
【小问2详解】
由（1）知：函数，
函数在上是减函数.
设任意，且，
则
由，可得，又，
则，则，
则函数在上减函数.
【小问3详解】
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，
所以，所以，
令，
由题意可知：问题等价转化为，
又因为，所以.
21. 漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．
【解析】
【分析】（1）由已知，分段代入后整理得答案；
（2）分段求出函数的最大值，取两个最大值中的较大者得结论．
【小问1详解】
由已知，
又，
所以，
整理得.
【小问2详解】
当时，，
当时，，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，，
因为
综上，所以的最大值为390
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．
22. 设，函数．
（1）当时，求在的单调区间；
（2）记为在上的最大值，求的最小值．
【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，得，根据二次函数的图象和性质，即可得出在的单调区间；
（2）对进行讨论，分类和两种情况，再分和，结合函数的单调性求出在上的最大值，再由分段函数的解析式和单调性，即可求出的最小值．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，则对应抛物线开口向下，对称轴为，
可知，在单调递增，单调递减，
即在的单调递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
解：，若时，，对称轴为，
所以在单调递增，可得；
若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
若，即时，在递增，可得；
由，可得在递增，在递减，
即有在时取得，
当时，由，解得：，
若，即，
可得的最大值为；
若，即，可得的最大值为；
即有，
当时，；
当时，；
当，可得．
综上可得的最小值为．