安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段考试数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段考试数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则集合的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，利用集合补集和交集的概念求出进而得到元素个数即可.
【详解】由解得或，
所以或，，
又因为，
所以，元素个数为2，
故选：B
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数除法法则以及共轭复数、虚部的概念即可求解.
【详解】由题意，则虚部为.
故选：C.
3. 已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两条直线垂直可求得，结合充要条件的定义即可求出答案.
【详解】直线与直线垂直，所以，则，所以是的充要条件.
故选：A.
4. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A. 且B. 且
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程可得，即得.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，
解得且.
故选：B.
5. 已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，由距离公式化简整理可得点M的轨迹，两圆相减得公共弦直线方程，利用几何关系即可求出弦长.
【详解】由题意，以线段AB的中点O为原点，以直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，
可设，，明显，圆O的半径为2，其方程为：①，
设动点，由，从而有，
化简得：，即②，
由可得相交弦的方程为：，圆心到距离，
所以公共弦长为.

故选:A.
6. 已知实数x，y满足方程．则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，将化为的三角函数求最小值.
【详解】令，
则，
因为，当时取最小值，所以最小值为.
故选：D
7. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，即，圆心，；
，即，圆心，半径；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，
即，
.
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A
8. 在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先作辅助线，利用二面角的定义找到二面角的平面角，再设，用表示出二面角的正弦值，最后利用函数知识求二面角的正弦值的范围即可.
【详解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，
又，，所以，.
如图，过点作交于点，则，故平面ABC，
因为平面ABC，故，
过点作交AB于点，连接DN，
因为平面，平面，且，
所以平面，又平面，则，
故即二面角的平面角.
设，在直角中，，所以，，
所以，.
所以，
则，
易知在上的值域为，
所以.
故选：C.
二、多项选择题（每题5分，少选得2分，错选得0分，共20分．）
9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为B.
C. 函数在上不是单调函数D. 函数在上是增函数
【答案】CD
【解析】
【分析】对A选项由图得到两相邻最值之间的横坐标距离为半周期即可判定A，对B选项，利用图像所过的点，代入求解出三角函数解析式，再计算即可，对C选项利用复合函数的单调性即可判断，对D选项求解出其单调增区间，再赋值值，求出最接近的一个单调增区间，即可判断D.
【详解】对A选项，在同一周期内,函数在时取得最大值,时取得最小值,
函数的最小正周期满足,由此可得,故A错误；
对B选项，，解得,
得函数表达式为，又当时取得最大值2,,可得，
取,得，，则，故B错误；
对C选项，，则，
令，则原函数为，，由正弦函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
对D选项，；令，,
解得，,令，则其中一个单调增区间为，
而，故D正确
故选：CD.
【点睛】【点睛】
10. 已知直线，是圆上的一点，则（ ）
A. 直线过定点B. 圆C的半径是
C. 点P可能在圆上D. 点P到直线的最大距离是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线过定点、圆、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线可化为，
由，解得，故直线过定点，A选项正确.
圆可化为，
所以圆心，半径，所以B选项错误.
圆的圆心为，半径为，
，所以圆与圆外切，
所以点可能在圆上，C选项正确.
，所以点P到直线的最大距离是，D选项正确.
故选：ACD
11. 已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为，，的面积为1，离心率为，点P是C上除长轴和短轴端点外的任意一点，的平分线交C的长轴于点M，则（ ）
A. 椭圆的焦距等于短半轴长
B. 面积的最大值为2
C.
D. 取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】由的面积为1，离心率为列方程组，进而可求的值，则A可判断，B选项可根据P点位置是除长轴和短轴端点外的任意一点直接排除；对于C选项，由的平分线交长轴于点，得到，化简可得，结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围可判断D.
【详解】对A：由的面积为1，离心率为可得，
又，所以得，故A错误；
对B：当P点在长轴端点位置时的面积才能取到最大值，
但是P点是除长轴和短轴端点外的任意一点，故的面积无法取到最大值，故B错误；
对C：所以椭圆的方程为，故，，
由的平分线交长轴于点，显然，，
又，
所以，即，
由，，得，故C正确；
对D：设，则，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以，故D错误；
故选：C.
12. 已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为列式，从而判断选项BC，作出过三点的正方体的截面，计算周长即可判断选项D．
【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，，
，，，，，，
，，，
若平面，则，，
则，，
解得，不符合，故B错误；

对于C，，若，
，即，
所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；
对于D，连接PQ并延长交DC的延长线于，连接交于，连接QF，
延长QP交DA的延长线于，连接交于，连接PE，
则五边形即为经过三点的正方体的截面，如图：

正方体的棱长为2，则，
则为等腰直角三角形，则，
根据得，，
则，则，，
同理可得，而，
则五边形的周长为，故D错误．
故选：AC．
三、填空题（每空5分，共20分．）
13. 已知圆C：，若过定点能作两条圆的切线，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】使过A点作圆的切线有两条，则定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.
【详解】已知圆C的方程为，
所以，
要使过A点作圆的切线有两条
即点在圆C外：恒成立，解得或，
综上所述：或，
故答案为：.
14. 椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设出坐标，根据点在椭圆上利用点差法求解出的值，再利用直线的点斜式方程可求解出直线方程.
【详解】设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以的方程为：，即，
故答案为：.
15. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.
【详解】设，，则，，
即，
，即，当且仅当时等号成立，
故，即，.
故答案为：
16. 在四棱锥中，平面ABCD，，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且，，直线PM与平面ABCD所成的角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据线面角的定义得出M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，再由三棱锥的体积最小，确定点M位于F，进而由长方体外接球模型结合体积公式求解.
【详解】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以.因为，所以，如图，易知M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧EF.连接AF，当点M位于F时，三棱锥的体积最小，由长方体外接球模型可知，三棱锥的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积.
故答案为：
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分，要求写出必要的解题步骤或证明过程．）
17. 在中，角的对边分别为，且满足__________.
从条件①､条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
条件①：
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，利用余弦定理即可得到的大小；选②利用诱导公式结合正余弦平方和关系即可求出，则得到的大小；
（2）利用正弦定理解得，再求出的范围则得到的范围，最后利用三角形面积公式即可.
【小问1详解】
选择条件①：
由题意及正弦定理知，
选择条件②：因为，所以，
即，
解得，又，
所以
【小问2详解】
由可得
因为是锐角三角形，由（1）知得到，
故，解得，
所以，则，所以
.
18. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的概率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．
（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；
（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算即可；
（2）分情况根据独立重复事件公式计算即可.
【小问1详解】
将甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件，
则．
设只有一人投中为事件，则
．
【小问2详解】
若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．
设丁获胜为事件，则．
19. 已知圆．
（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【答案】（1）x＝－1或4x－3y＋7＝0
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出．
【小问1详解】
由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
【小问2详解】
由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
20. 如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）与平面所成角的正弦值为
【解析】
【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【小问1详解】
因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
21. 在平面直角坐标系中，椭圆：的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于，两点，若点满足，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，又，，联立方程组可解得，，由此可得椭圆的方程；
（2）设，，中点，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得，可得，再利用得，可得，再根据弦长公式可得结果.
【详解】（1）由题可知，又，，
∴，
∴∴，
又∴，，
所以椭圆的方程为：.
（2）设，，中点，直线的方程为：，
由可得，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
所以，，
所以.
【点睛】本题考查了根据椭圆的性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了利用弦长公式求弦长，考查了运算求解能力，属于中档题.
22. 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由顶点和离心率直接求即可；
（2）先联立直线和椭圆方程，借助弦长公式表示出弦长，再求出垂直平分线和坐标，表示出，最后分离常数求取值范围即可.
【小问1详解】
由题意知可得，故椭圆的方程为.
【小问2详解】
由，可得，设，则，，线段的中点为，线段的垂直平分线方程为
，令，得，所以，
又，则,又
，
所以，，
故的取值范围为.
【点睛】（1）关键在于建立的关系式求解；
（2）关键在于联立直线和椭圆方程，依次求出垂直平分线和弦长、，转化成关于的代数式求范围即可.