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福建省三明第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附答案）
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这是一份福建省三明第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了设集合，则，函数的零点为，已知函数则，已知，则的大小关系是，著名数学家､物理学家牛顿曾提出，1的近似值为1等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的零点为（ ）
A. B. C.0 D.1
3.已知函数则（ ）
A.0 B.1 C.4 D.5
4.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知偶函数的定义域为，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
8.著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：，若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A.39分钟 B.41分钟 C.43分钟 D.45分钟
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：.下列说法正确的有（ ）
A.的零点在区间内
B.的零点在区间内
C.精确到0.1的近似值为1.4
D.精确到0.1的近似值为1.5
10.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列描述中，正确的是（ ）
A.命题“”的否定是“”
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若，则
D.若，则
12.已知函数若方程有四个不等实根，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.最小值为2
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数，且的图象恒过定点__________.
14.已知函数与函数互为反函数，__________.
15.设为定义在上的奇函数，且当时，，则__________；当时，__________.
16.已知定义在上的奇函数与偶函数满足，若，恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
求值：
（1）
（2）.
18.（12分）
设函数的定义域为的定义域为.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）
在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
20.（12分）
已知幂函数，函数.
（1）若，判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值.
21.（12分）
已知函数.
（1）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围.
22.（12分）
已知函数.
（1）求函数在的最小值；
（2）对于任意，都有成立，求的取值范围.
三明一中2023-2024学年第一学期期中质量检测
高一数学参考答案
一､选择题：
二､填空题：
13. 14.-1 15.； 16.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解（1）原式
（2）
18.（12分）
解（1）由题意得，
解得，
即
（2）根据题意
因为，所以，则，即，
因为，所以，解得，又，所以，
即实数的取值范围是
19.（12分）
解：（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数
（2）由题意可得，解得，
所以
令，解得.
故至少再经过62小时，细菌数量达到6百万个
20.（12分）
（1）解：是奇函数
证明：依题，解得，故
，定义域为
设，都有.
所以是奇函数.
（2）依题得对称轴方程是.
当时，函数在单调递减，
当时，函数在单调递减，在单调递增，.
当时，函数在单调递增，
综上所述，当时，
当时，
当时，.
21.（12分）
（1）函数在上单调递减
证明：设，
.
函数在上单调递减.
（2）法一：依题只有一个实数解.
与函数图象只有一个交点.
令.
在单调递增.
.
实数的取值范围是
法二：（根的分布（略））
22.（12分）
解：（1）令，则，故.
由对勾函数性质可知：在上单调递增.
又由复合函数性质可知：在上单调递增.
故.
即函数在的最小值为2；
（2）由（1）知，函数在上为增函数，
当时，
由于对于，使得成立，
所以对于任意成立.
即对于任意成立，
易知对于任意成立，
则
由，可得，所以.
式可化为，
即对于任意成立，
即成立，
即对于任意成立，
因为，所以对于任意成立，
即任意成立，所以，
又可得2
3
4
5
6
8
3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
A
D
C
A
B
BC
AC
BC
AC
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的零点为（ ）
A. B. C.0 D.1
3.已知函数则（ ）
A.0 B.1 C.4 D.5
4.若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知偶函数的定义域为，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
8.著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：，若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A.39分钟 B.41分钟 C.43分钟 D.45分钟
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：.下列说法正确的有（ ）
A.的零点在区间内
B.的零点在区间内
C.精确到0.1的近似值为1.4
D.精确到0.1的近似值为1.5
10.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
11.下列描述中，正确的是（ ）
A.命题“”的否定是“”
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若，则
D.若，则
12.已知函数若方程有四个不等实根，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.最小值为2
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数，且的图象恒过定点__________.
14.已知函数与函数互为反函数，__________.
15.设为定义在上的奇函数，且当时，，则__________；当时，__________.
16.已知定义在上的奇函数与偶函数满足，若，恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
求值：
（1）
（2）.
18.（12分）
设函数的定义域为的定义域为.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（12分）
在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
20.（12分）
已知幂函数，函数.
（1）若，判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值.
21.（12分）
已知函数.
（1）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围.
22.（12分）
已知函数.
（1）求函数在的最小值；
（2）对于任意，都有成立，求的取值范围.
三明一中2023-2024学年第一学期期中质量检测
高一数学参考答案
一､选择题：
二､填空题：
13. 14.-1 15.； 16.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解（1）原式
（2）
18.（12分）
解（1）由题意得，
解得，
即
（2）根据题意
因为，所以，则，即，
因为，所以，解得，又，所以，
即实数的取值范围是
19.（12分）
解：（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数
（2）由题意可得，解得，
所以
令，解得.
故至少再经过62小时，细菌数量达到6百万个
20.（12分）
（1）解：是奇函数
证明：依题，解得，故
，定义域为
设，都有.
所以是奇函数.
（2）依题得对称轴方程是.
当时，函数在单调递减，
当时，函数在单调递减，在单调递增，.
当时，函数在单调递增，
综上所述，当时，
当时，
当时，.
21.（12分）
（1）函数在上单调递减
证明：设，
.
函数在上单调递减.
（2）法一：依题只有一个实数解.
与函数图象只有一个交点.
令.
在单调递增.
.
实数的取值范围是
法二：（根的分布（略））
22.（12分）
解：（1）令，则，故.
由对勾函数性质可知：在上单调递增.
又由复合函数性质可知：在上单调递增.
故.
即函数在的最小值为2；
（2）由（1）知，函数在上为增函数，
当时，
由于对于，使得成立，
所以对于任意成立.
即对于任意成立，
易知对于任意成立，
则
由，可得，所以.
式可化为，
即对于任意成立，
即成立，
即对于任意成立，
因为，所以对于任意成立，
即任意成立，所以，
又可得2
3
4
5
6
8
3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5
1
2
3
4
5
6
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10
11
12
B
C
B
A
D
C
A
B
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AC
BC
AC
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