江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省扬州市高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了 过，两点的直线的倾斜角为， 直线与直线平行，则实数的值为， 关于直线， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点坐标可得直线斜率，进而可得倾斜角.
【详解】由，，
可知直线斜率，
所以直线倾斜角满足，且，
所以，
故选：C.
2. 直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行的公式求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以且，
解得.
故选：A.
3. 若双曲线=1离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率求得，进而即得．
【详解】由题意得，
∴，
又双曲线的渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程是，即．
故选：C．
4. 《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第1人比第3人多得钱数为（ ）
A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱
【答案】B
【解析】
【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而即得.
【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，
则有，，
故，解得，
则，
故选：B.
5. 在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性和几何关系得出四边形为菱形，然后设，从而得出，带入抛物线的方程求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线交交于两点,
所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.
设点且,则线段的垂直平分线方程为,
令与轴交于点,又,
则在直角三角形中,

所以，
在抛物线上，
，
则四边形的周长为
故选：D
6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．
【详解】因为右焦点，故，
设,,,，由可知是的中点，
，，且，
两式相减得，
，
，，，
故椭圆方程为，
故选：D.
7. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的性质的得到，利用双曲线的定义将最大值转化为的最大值，然后根据几何知识求最大值即可.
【详解】
设双曲线的标准方程为，焦距为，
由题意得，，则，解得
由双曲线的定义得，所以最大值即的最大值，
如图，连接与双曲线交于，两点，由题意得当点在处时最大，.
故选：C.
8. 已知双曲线的左右顶点分别为，垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由题可得，设，利用两点连线斜率公式可化简得到，由可求得双曲线的离心率.
【详解】如图，因为，
所以，，
由题意知，设，则，
所以，
双曲线的离心率.
故选：A.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 关于直线：，下列说法正确的有（ ）
A. 直线的斜率为B. 经过点
C. 在轴上的截距为D. 直线经过第二､三､四象限
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线方程可判断B，由一般式化为斜截式可判断ACD.
【详解】因为直线：，令，可得，即直线经过点，故B正确；
由可得，
所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线经过第二､三､四象限，
故AC错误，D正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 数列和是两个不同的数列；
B. 数列的最大项为；
C. 数列是递减数列；
D. 数列的通项公式，若数列为递增数列，则.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确， 从而得出结论.
【详解】对于A，因为数列与数列，两个数列的顺序不同，所以它们是两个不同的数列，故A正确；
对于B，因为，
当且仅当，即等号成立，而，故等号不成立，故B错误；
对于C，由反比例函数的性质可知数列是递减数列，故C正确；
对于D，由题可知恒成立，
即，恒成立，所以，故D错误.
故选：AC
11. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上一点，则（ ）
A. 曲线关于轴对称；
B. 曲线关于原点对称；
C. 点的横坐标的取值范围为；
D. 直线与曲线有且仅有两个公共点.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，若曲线关于轴对称则满足曲线的方程，代入不一定成立，故曲线不关于轴对称；B选项，若曲线关于原点对称则满足曲线的方程，代入成立，故曲线关于原点对称；C选项，将曲线的方程可整理为，然后列不等式求解即可；D选项，联立方程，根据根的判别式判断即可.
【详解】由题意得，将代入曲线的方程中得，不一定成立，所以曲线不关于轴对称，故A错；
将代入曲线的方程中得，成立，所以曲线关于原点对称，故B正确；
曲线的方程可整理为，因为，所以，解得，故C正确；
联立得，，所以直线与曲线有且仅有两个公共点，故D正确.
故选：BCD.
12. 过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A. 以为直径的圆与准线相切
B. 可能为正三角形
C.
D. 记的面积分别为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据抛物线的定义和梯形中位线的性质得到到准线的距离为，即可说明相切；B选项，假设为正三角形，根据正三角形的性质得到，即可得到，此时，即可说明不存在为正三角形；C选项，直线：，联立直线和抛物线方程，然后利用韦达定理求；D选项，根据三角形面积公式和韦达定理即可得到.
【详解】
如图，假设点位于第四象限，
根据抛物线的定义可得，设中点为，点在准线上的射影为，所以，所以以为直径的圆与准线相切，故A正确；
设与轴交于点，若为正三角形，则，即，此时，，所以此时不是正三角形，故B错；
设直线：，联立得，则，，
，，
所以，故C正确；
，，，
，
，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡中的横线上.）
13. 在数列中，，则___________.
【答案】23
【解析】
【分析】根据递推关系赋值运算可得.
【详解】∵，
令，可得，
令，可得.
故答案为：23.
14. 点关于直线对称的点的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设点关于直线对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标是，则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标是.
故答案为：.
15. 已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】直线l过定点，曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，数形结合可得答案.
【详解】直线，得，可知直线l过定点，
由可得，曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆，
当直线l与半圆相切时，，解得，或(舍去)，
曲线与x轴交于点，，
因为直线与曲线有一个公共点，
所以或

故答案为：或.
16. 已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设，中点，则，，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.
【详解】设，中点，则，，
又，，
则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，
整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，
又，所以点在圆外，
则，即的最大值为
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于中点的轨迹方程.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知直线
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据直线位置关系可得直线的斜率，然后利用直线的点斜式即得；
（2）由题可设直线，然后根据平行线间距离公式即得.
【小问1详解】
由题可知直线的斜率，因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程是，即；
【小问2详解】
设直线，
则平行线与之间的距离，得或，
所以直线的方程是或.
18. 已知两圆和，求：
（1）当取何值时两圆外切？
（2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【答案】（1）41 （2）；
【解析】
【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；
（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.
【小问1详解】
由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：
，
所以，
因为两圆外切，所以，
即，
所以；
【小问2详解】
当时，，
两圆相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
19. 已知圆经过两点，且与轴的正半轴相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）这样的点有2个.
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列方程组即得；
（2）假设在圆上存在点，可得，然后根据直线与圆的位置关系即得.
【小问1详解】
设圆的标准方程为，
由条件可得：，
解得或，
又因为圆与轴正半轴相切，
所以满足题意，
圆的标准方程为；
【小问2详解】
存在这样的点，并且这样的点有2个.
假设在圆上存在点使得，
则，
化简，得，
说明点为直线与圆的公共点，
又圆的圆心到直线的距离，
即直线与圆相交，
所以在圆上存在点使得，并且这样的点有2个.
20. 已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的最小值以及此时直线的方程.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据点在抛物线上，到准线的距离为4列方程，解方程即可；
（2）设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后求最小值和直线方程即可.
【小问1详解】
根据题意可得，所以
又，解得，
故所求抛物线C方程
【小问2详解】
设点，抛物线的焦点坐标为.
当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；
联立抛物线方程可得，消去得：，
由韦达定理得，,
易知,,
故
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为.
21. 已知双曲线的方程为，离心率为2，左､右顶点分别为，.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点是直线上任意一点，若直线分别与双曲线交于点，求证：直线恒过定点.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程；
（2）设，由直线、直线的方程分别与双曲线方程联立，求得两点的坐标，当时可得直线经过双曲线的右焦点，然后可得时，直线也经过点，进而即得.
【小问1详解】
不妨设双曲线的半焦距为，由条件，，所以，
于是，
所以，双曲线的方程为；
【小问2详解】
设，则直线方程分别为，
由，可得，
记，则和是该方程的两个根，
则，即，
由，得，
记，则1和是该方程的两个根，
则，即，
当时，，直线垂直于轴，直线经过双曲线的右焦点，
下证当时，直线也经过点，
，
，
所以，即直线也经过点，
综上，直线恒过双曲线的右焦点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其短轴的一个端点与两焦点，构成的三角形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆上的相异三点，并且关于原点对称，若的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的离心率知，由题意知，联立方程组即可求出和，根据，求得，即可求出椭圆方程.
（2）首先需对直线斜率是否存在分情况讨论，直线斜率不存在时，为直角三角形，所以此时；当直线斜率存在时，设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，得到，根据直线与椭圆相交弦长公式，点到直线距离公式，求出中底边长，和底边上的高，表示出面积，根据中位线的性质求出的长，然后得出，求其范围即可.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，则由，
短轴的一个端点与两焦点构成的三角形周长为，
所以，解得，
从而，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意知.
将代入方程中，整理得，
此时必须有，即（*），
设，则有，
所以
，
又关于原点的对称，则，所以点到直线的距离：
，
所以三角形的面积，
整理得，符合（*）式，
又，
，
所以弦的中点为，
从而，
，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
当直线的斜率不存在时，三角形为直角三角形，，
综上，的取值范围为.