人教版高中物理必修第一册第3章第4节第1课时力的合成和分解学案

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第4节　力的合成和分解第1课时　力的合成和分解　合力和分力1．共点力几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。如图所示：2．合力与分力假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，这几个力叫作那个力的分力。3．合力与分力的关系合力与分力之间是一种等效替代的关系，合力作用的效果与分力作用的效果相同。如图所示，一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，用力为F；两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 。问题1　一个成年人提起一桶水，使水桶保持静止，则成年人对水桶向上的拉力是多少？提示：200 N。问题2　当两个孩子共同提起同样的一桶水并使之保持静止，用力分别为F1和F2 ，此时两小孩对水桶的拉力是多少呢？提示：200 N。问题3　该成年人用的力与两个孩子的力作用效果是否相同？二者能否等效替代？提示：作用效果相同，能等效替代。问题4　F与F1、F2是什么关系？提示：F与F1、F2是合力与分力的关系，F是F1和F2的合力，F1和F2是F的两个分力。1．合力与分力的性质2．合力与分力的大小关系(1)合力大小可以大于、等于或小于分力的大小，如图甲所示。(2)两个分力大小一定时，夹角越大合力越小，如图乙所示。(3)合力一定，若两分力大小相等，则两等大分力的夹角越大，分力越大，如图丙所示。【典例1】　(多选)下列关于合力与分力的说法中正确的是(　　)A．合力与分力同时作用在物体上B．分力同时作用于物体时共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的C．合力可能大于分力，也可能小于分力D．当两分力大小不变时，增大两分力间的夹角，则合力一定减小[思路点拨]　解答本题时需要把握以下两点：(1)合力与分力作用效果相同，但不同时作用在物体上。(2)合力与分力遵循平行四边形定则。BCD　[合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误，B正确；当两分力大小不变时，由平行四边形定则可知，分力间的夹角越大，合力越小，合力可能大于分力(如两分力间的夹角为锐角时)，也可能小于分力(如两分力间的夹角大于120°时)，选项C、D正确。]　关于合力、分力的两个注意事项(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大。它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等。[跟进训练]1．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，两个力的合力为F，下列说法正确的是(　　)A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大B．合力F总比分力中的任何一个力都大C．如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大D．合力F可能比分力中的任何一个力都小AD　[若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A正确；根据平行四边形定则可知，合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误，D正确；如果夹角不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小，也可能增加，故C错误。]　求合力的方法1．力的合成：求几个力的合力的过程。2．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，如图所示，F表示F1与F2的合力。3．多个力的合成方法先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，港珠澳大桥全长55公里，其主体工程由6.7公里的海底沉管隧道、长达22.9公里的桥梁、逾20万平方米的东、西人工岛组成，即“桥—岛—隧”一体。桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N。问题1　这对钢索对塔柱形成的合力大小能直接相加吗？为什么？提示：不能，因为两条钢索的拉力不在同一方向上。问题2　两条钢索对塔柱形成的合力如何计算？方向如何确定？提示：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力，可用作图法或计算法求解。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。1．作图法(1)基本思路(2)如图所示：用作图法求F1、F2的合力F。2．计算法(1)两分力共线时：①若F1、F2两力同向，则合力F＝F1＋F2，方向与两力同向。②若F1、F2两力反向，则合力F＝|F1－F2|，方向与两力中较大者同向。(2)两分力不共线时：根据平行四边形定则结合解三角形的知识求合力。如以下常见的三种特殊情况：3．合力范围的确定(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。(2)三个共点力的合力范围①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。【典例2】　杨浦大桥是继南浦大桥之后又一座跨越黄浦江的我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示每根钢索中的拉力是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力大小为多少？方向如何？[思路点拨]　把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，它们之间的对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。[解析]　方法一：作图法如图甲所示，自O点引两条有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小F＝5.2×1×104N＝5.2×104N。方法二：计算法根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB，OD＝12OC。考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104×32N≈5.2×104N。[答案]　5.2×104N　竖直向下　两种方法的比较“作图法”和“计算法”各有优缺点，“作图法”便于理解矢量的概念，形象直观，但不够精确，会出现误差；“计算法”是先根据平行四边形定则作出力的合成的示意图，再利用数学知识求出合力，解题时，可通过作辅助线、特殊角求解或巧妙分组得到一些特殊情况下的力的合成，会使解答更简捷。[跟进训练]2．三个力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是(　　)A．0≤F≤23 N　　　 B．3 N≤F≤23 NC．7 N≤F≤23 N　　　 D．13 N≤F≤23 NA　[先确定F1、F2的合力范围：3 N≤F12≤13 N，当F12取10 N时，使其与F3反向，则三力合力最小为0，当F12取13 N时，使其与F3同向，则三力合力最大为23 N，故0≤F≤23 N，A正确。]3．物体受到两个力F1和F2，F1＝30 N，方向水平向左；F2＝40 N，方向竖直向下，求这两个力的合力F。[解析]　解法一　图解法取单位长度为10 N的力，则分别取3个单位长度，取4个单位长度自O点引两条互相垂直的有向线段OF1和OF2。以OF1和OF2为两个邻边作平行四边形，如图所示，则对角线OF就是所要求的合力F。量出对角线的长度为5个单位长度、则合力的大小F＝5×10 N＝50 N，用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°。解法二　计算法在解法一作的平行四边形中，△OF1F为直角三角形，根据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1的夹角θ，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝F12+F22＝50 N，tan θ＝F2F1＝43，θ为53 °。[答案]　50 N　合力的方向与F1成53°角　力的分解　矢量和标量1．力的分解：求一个力的分力的过程。2．力的分解(1)力的分解也遵从平行四边形定则。(2)如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。如图所示。(3)一个已知力的分解要根据具体问题来确定。3．矢量和标量(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。(2)标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。提醒：矢量和标量的根本区别在于它们的运算法则不同，而不是有无方向。如图甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面。将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变。问题1　小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？提示：斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋。问题2　如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？提示：不会。问题3　请沿斜面方向和垂直于斜面方向将重力分解。提示：重力的分解如图所示。1．根据力的作用效果分解力的基本思路实际问题 根据力的 作用效果 确定分力的方向　 根据平行 四边形定则 作平行四边形 把对力的计算 转化为边角的计算 求分力2．正交分解法求合力的步骤(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即Fx＝F1x＋F2x＋F3x；Fy＝F1y＋F2y＋F3y。(4)求共点力的合力：合力大小F＝Fx2+Fy2 ，设合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝FyFx。角度1　力的效果分解【典例3】　如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ 角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。[解析]　小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。小球对墙面的压力F1＝F1′＝mg tan 60°＝1003 N，方向垂直墙壁向右；小球对A点的压力F2＝F2′＝mgcos60°＝200 N，方向沿OA方向。[答案]　见解析角度2　力的正交分解【典例4】　如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力FN＝64 N，摩擦力Ff＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)[解析]　对四个共点力进行正交分解，如图所示。则x方向的合力：Fx＝F cos 37°－Ff＝60×0.8 N－16 N＝32 Ny方向的合力：Fy＝F sin 37°＋FN－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。物体与地面间的动摩擦因数μ＝FfFN＝1664＝0.25。[答案]　32 N，方向水平向右　0.25　正交分解的优点(1)正交分解法是一种按解题需要把力按照选定的正交坐标轴进行分解的一种方法，它可以将矢量转化为标量进行计算，尤其适用于物体受三个或三个以上共点力作用的情况，实际上它是利用平行四边形定则的一种特殊方法。(2)利用正交分解法很容易把合力与分力放到一个直角三角形中，便于通过分析直角三角形的边角关系计算合力或分力的大小。[跟进训练]4．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时(　　)A．有无数组解　　　 B．有两组解C．有唯一解　　　 D．无解B　[设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝F sin 30°＝5 N。而5 NF1同时F>F2的情况C．不可能出现FF1＋F2的情况D　[如果F1与F2大小相等，方向相反，则其合力为零，既小于F1又小于F2，故A错误；如果F1、F2同向，则合力F＝F1＋F2，既大于F1又大于F2，故B错误；合力F的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，因此，C错误，D正确。]2．下面有关两个分力和它们的合力的说法正确的是(　　)A．合力一定大于分力B．增大一个分力，合力一定增大C．合力可能大于两个分力大小之和D．合力随着两分力夹角的增大而减小D　[若两力夹角较大时，合力可能小于任一分力，故A错误；由力的合成法则可知，增大一个分力，合力可能增大，也可能减小，故B错误；合力大于等于两个分力大小之差，小于等于两个分力大小之和，故C错误；由力的合成法则可知，合力随着两分力夹角的增大而减小，故D正确。]◎题组二　力的合成3．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，对物体所受的合外力说法正确的是(　　)A．物体所受的合外力大小等于4 N　　B．物体所受的合外力大小等于2 N　C．物体所受的合外力大小等于0　　D．物体所受的合外力大小等于0D　[图A中，先将F1与F3合成为F13，然后再将F13与F2合成，由几何关系求得合力等于5 N，利用作图法，可求得图B中合力等于5 N，图C中合力等于6 N，图D中合力等于0，故D正确。]4．如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π)，下列说法正确的是(　　)A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 NB．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 NC．这两个分力的大小分别为6 N和8 ND．这两个分力的大小分别为2 N和8 NC　[由题图可知，当两分力夹角为180°时，两分力的合力为2 N，则有|F1－F2|＝2 N，而当两分力夹角为90°时，两分力的合力为10 N，则有F12+F22＝10 N，解得这两个分力分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个分力方向相同时，合力最大，为14 N；当两个分力方向相反时，合力最小，为2 N，合力在最大值与最小值之间，故A、B错误。]5．如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端有一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为3L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)A．2kL　　　 B．kLC．2335kL　　　 D．152kLC　[根据胡克定律知，每根橡皮条的最大弹力为：F＝k(3L－L)＝2kL。设此时两根橡皮条的夹角为θ，根据几何关系知：sin θ2＝L23L＝16。根据平行四边形定则知，弹丸被发射过程中所受的最大弹力为：F合＝2F cos θ2＝2335kL，故C正确。]◎题组三　力的分解6．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是(　　)A　　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　　DC　[A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项正确；C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C项错误；D项中物体的重力分解为水平向左使物体压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项正确。]7．如图所示，将大拇指倾斜按在水平桌面上向前推(仍静止不动)，此推力大小为80 N，方向斜向下，与水平方向成37°角，则大拇指对桌面的压力和摩擦力分别多大(　　)A．64 N，48 N　　　 B．48 N，64 NC．40 N，80 N　　　 D．80 N，80 NB　[将推力F沿两个效果方向分解，即水平向右和竖直向下，分解如图，则：F1＝F cos 37°＝80×0.8 N＝64 N，F2＝F sin 37°＝80×0.6 N＝48 N，即大拇指对桌面的压力FN＝F2＝48 N，对桌面的摩擦力为Ff＝F1＝64 N，故B正确。]8．(多选)(2022·吉林辽源田家炳高级中学高一上月考)将一个F＝10 N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力F1方向与F成30°角，则关于这两个分力F1和F2，下列说法正确的是(　　)A．F2的方向不可能与F平行B．F1的大小不可能小于5 NC．F2的大小可能小于5 ND．F2的方向与F1垂直时，F2最小AD　[根据力的平行四边形定则，F2的方向不可能与F平行，故A正确；两个分力和合力只要组成一个矢量三角形即可，因此F1的大小可能小于5 N，故B错误；当F2的方向与F1垂直时F2最小，大小为F sin 30°＝5 N，故C错误，D正确。]9．一个G＝60 N的物体放在水平地面上，受到两个与水平面间的夹角分别为45°和30°的斜向上的拉力F1＝402 N、F2＝30 N的作用，物体仍保持静止。则物体对地面的压力为(　　)A．60 N　　　　　B．20 N　　　　　C．0 N　　　　　D．5 ND　[按力的作用效果可以看出，F1与F2对物体有向上提拉的作用，且两个分力大小为F1y＝F1sin 45°＝402×22 N＝40 N，F2y＝F2sin 30°＝30×12 N＝15 N，所以地面对物体的支持力N＝G－F1y－F2y＝60 N－15 N－40 N＝5 N，故物体对地面的压力为5 N，D选项正确。]10．如图所示，一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的O点，总质量为60 kg。此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°，则手受到的拉力和脚受到的作用力分别为(设手、脚受到的作用力均通过重心O，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)A．360 N，480 N　　　 B．480 N，360 NC．450 N，800 N　　　 D．800 N，450 NA　[如图所示，运动员所受的重力mg可分解为沿手臂方向的力F1和沿身体方向的力F2，F1＝mg cos 53°＝360 N，F2＝mg sin 53°＝480 N。即手受到的拉力为360 N，脚受的作用力为480 N，选项A正确。]11．如图所示，质量为0.8 kg的小球在轻弹簧和水平轻绳的拉力作用下处于静止状态，弹簧与竖直方向的夹角θ＝37°，弹簧的拉力F＝10 N，伸长量为x＝0.01 m，sin 37°＝0.6。(1)画出小球的受力示意图；(2)求出弹簧的劲度系数；(3)已知弹簧的拉力与小球重力的合力方向水平向右，求该合力的大小。[解析]　(1)小球受到重力、细绳的拉力和弹簧的拉力，作出小球的受力示意图如图甲所示。(2)由胡克定律F＝kx得弹簧的劲度系数为k＝Fx＝10 N0.01 m＝1 000 N/m。(3)由于弹簧拉力F与小球重力G的合力水平向右，其矢量关系如图乙所示。由几何关系可知F合＝F2-G2＝102-82 N＝6 N。[答案]　(1)见解析　(2)1 000 N/m　(3)6 N12．如图所示，重力为500 N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。不计滑轮与绳间的摩擦力。求地面对人的支持力和摩擦力。[解析]　人和物体静止，所受合力皆为零。对物体受力分析可知，绳的拉力F等于物体的重力，即为200 N。如图所示，以人为研究对象，将绳的拉力分解，则水平方向的分力Fx＝F cos 60°＝100 N竖直方向的分力Fy＝Fsin 60°＝1003 N在水平方向，Ff与Fx平衡，所以静摩擦力Ff＝Fx＝100 N在y方向，FN、G、Fy平衡，故地面对人的支持力FN＝G－Fy＝(500－1003) N＝100(5－3) N。[答案]　100(5－3) N　100 N13．如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为(　　)A．m2　　　B．32m　　　C．m　　　D．2mC　[如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心。由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°。取悬挂的小物块为研究对象，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m。故选项C正确。]学习任务1．知道合力和分力的概念，知道平行四边形定则的内容。2．能区别矢量和标量。3．知道力的合成和分解的方法，会用作图法和计算法进行力的合成与分解。类型作图合力的计算两分力相互垂直大小：F＝F12+F22方向：tan θ＝F1F2两分力大小相等，夹角为θ(1)大小：F＝2F1cos θ2方向：F与F1夹角为θ2(2)当θ＝120°时，F1＝F2＝F合力与其中一个分力垂直大小：F＝F22-F12方向：sin θ＝F1F2