必修 第一册5 共点力的平衡学案设计

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共点力平衡的条件
1．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态。
2．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
3．在共点力的作用下物体平衡的条件是合力为0。
如图甲中悬挂风景画框的结点O受三个力，乙中的店牌受三个力，丙中的扁担也受三个力。
问题1 观察三幅图中的作用力，哪些是共点力？
提示：甲、乙图中都是共点力。丙图中不是共点力。
问题2 如何计算图乙中的合力？
提示：乙图中的力是共点力，可以应用平行四边形定则求合力。
问题3 图甲中的风景画框处于什么状态？所受合力是多少？
提示：平衡状态；为零。
1．共点力平衡的条件
合外力等于0，即F合＝0―→正交分解法Fx合=0Fy合=0，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．由平衡条件得出的三个结论
【典例1】 孔明灯又叫天灯，相传是由三国时的诸葛亮所发明。当年，诸葛亮被司马懿围困于平阳，无法派兵出城求救。诸葛亮算准风向，制成会飘浮的纸灯笼，系上求救的讯息，其后果然脱险，于是后世就称这种灯笼为孔明灯。现有一孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速上升，则此时孔明灯所受空气的作用力(含风力)大小和方向是( )
A．0 B．mg，东北偏上方向
C．mg，竖直向上 D．2mg，东北偏上方向
C [孔明灯向着东北偏上方向匀速上升，即处于平衡状态，则合力为零，由于所受重力方向竖直向下，根据平衡条件，空气的作用力大小F＝mg，方向竖直向上，故C正确。]
[跟进训练]
1．(多选)下列关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．相对静止的两个物体都处于平衡状态
B．物体做自由落体运动时处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反
CD [两个物体相对静止可能以相同的速度做变速运动，A错误；物体做自由落体运动时具有加速度，不是平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，满足F合＝0的条件，又因要F合＝0，必须要Fx、Fy同时为零，故物体沿任意方向的合力都必为零，C正确；如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，要满足F合＝0的条件，则任意两个力的合力必与第三个力大小相等，方向相反，D正确。]
2．(2022·哈尔滨六中高一检测)如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向 D．F4的方向
B [对梯子受力分析知，梯子受竖直向下的重力G，墙施加的水平向右的弹力FN，另外地面施加的作用力F，此三力不平行，故三力应共点，如图所示，F应与G、FN交于一点，所以可能的方向是沿F2的方向。]
解答共点力平衡问题的三种常用方法
在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
问题1 有风时金属球受哪几个力的作用？
提示：有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT。
问题2 小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是什么关系？
提示：是平衡力，满足大小相等，方向相反且共线。
问题3 重力产生的作用效果是什么？
提示：一是沿着金属丝向左下方拉金属丝，二是沿着水平方向向右拉小球。
问题4 如何计算风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(试画出受力分析图)
提示：可以用合成法、分解法、正交分解法(如图所示)。
1．处理静态平衡问题的常用方法
2．应用共点力静态平衡条件解题的步骤
【典例2】 (多选)如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小分别是( )
A．F1＝mg cs θ B．F1＝mgtanθ
C．F2＝mg sin θ D．F2＝mgsinθ
BD [解法一：合成法
由力的平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图所示，又考虑到F12＝mg，由几何关系得F1＝mgtanθ，F2＝mgsinθ。
解法二：正交分解法
将O点受的力沿水平方向、竖直方向正交分解，如图(a)所示。由力的平衡条件得F2cs θ－F1＝0，F2sin θ－mg＝0，解得F2＝mgsinθ，F1＝mgtanθ。
(也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试)
解法三：(矢量三角形法)
O点受到mg、F1和F2的作用处于平衡状态，画出受力分析图，如图(b)所示。再将三个力的矢量平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭的三角形，如图(c)所示。则由几何关系可知F1＝mgtanθ，F2＝mgsinθ。]
[跟进训练]
3．用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。
[解析] 以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，受力分析如图所示。
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝F cs 30°＝19.6×32 N≈17.0 N
F2＝F sin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N
所以，绳子OA对结点O的拉力大小是17.0 N，方向沿绳由O指向A；OB对结点O的拉力大小是9.8 N，方向沿绳由O指向B。
[答案] 见解析
4．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )
A．F＝mgtanθ B．F＝mg tan θ
C．FN＝mgtanθ D．FN＝mg tan θ
A [对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程。水平方向有FNcs θ＝F，竖直方向有FNsin θ＝mg，联立解得F＝mgtanθ，FN＝mgsinθ
]
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。
(2)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：即杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，一绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体所受的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和2所示，根据平衡规律求解。
(1)图1中细绳AD跨过轻质光滑定滑轮悬挂质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g
所以FTACFTEG＝M12M2。
(2)图1中，FTAC、FNC、M1g三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向与水平方向成30°，指向右上方。
(3)图2中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcs 30°＝FNG，所以FNG＝M2g1tan30°＝3M2g，方向水平向右。
[答案] (1)M12M2 (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)3M2g，方向水平向右
[跟进训练]
5．如图所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在三图中的受力Fa、Fb、Fc的关系是( )
A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb
C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc
C [分别对三种形式的结点进行受力分析，设杆的作用力分别为F1、F2、F3，各图中FT＝mg。
在图(a)中，F1＝2G cs 30°＝3G。
在图(b)中，F2＝G tan 60°＝3G。
在图(c)中，F3＝G cs 30°＝32G。
可知a＝b＞c，故C正确，A、B、D错误。]
1．若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体( )
A．一定是静止的
B．一定做匀速直线运动
C．所受各共点力的合力可能不为零
D．所受各共点力的合力为零
D [物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运动，选项A、B错误；此时所受各共点力的合力一定为零，选项C错误，D正确。]
2．(2022·广东卷)如图所示是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是( )
A．F＝F1 B．F＝2F1 C．F＝3F1 D．F＝3F1
D [以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ＝30°，由平衡条件可得F1sin 30°＝F2sin 30°，F1cs 30°＋F2cs 30°＝F，联立可得F＝3F1，故D正确，A、B、C错误。]
3．如图所示质量为m的物体悬挂在A点，OA为可绕O点转动的轻杆，与竖直墙面的夹角θ＝30°，AB为轻绳，与竖直墙面的夹角α＝60°，轻绳AB和轻杆OA的弹力分别是( )
A．12mg，32mg B．32mg，12mg
C．mg、mg D．mg，3mg
A [对节点O受力分析如图所示，根据平衡条件可得，轻杆OA中的弹力F＝mg cs θ＝mg cs 30°＝32mg，轻绳AB的拉力T＝mg sin 30°＝12mg，故选项A正确。
]
4．(2022·江西吉安高一期末)如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝l2，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为54l，则两重物的质量的比值m1m2为( )
A．52 B．2 C．54 D．35
C [法一：合成法
因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反，如图甲所示，根据平行四边形定则将力F与m1g合成，则sin θ＝m2gm1g，而sin θ＝ll2+3l42＝45，所以m1m2＝54，选项C正确。
法二：分解法
因c点处于平衡状态，所以可在F、m1g方向上分解m2g，如图乙所示，则同样有sin θ＝m2gm1g，所以m1m2＝54，选项C正确。
法三：正交分解法
将倾斜绳拉力m1g沿竖直方向和水平方向分解，如图丙所示，则m1g·sin θ＝m2g，同样可得m1m2＝54，选项C正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是物体的平衡状态？共点力作用下物体处于平衡状态的条件是什么？
提示：静止或匀速直线运动状态；合外力为0即F合＝0。
2．解决平衡问题的常用方法有哪些？
提示：合成法、分解法、正交分解法、矢量三角形法。
课时分层作业(十三) 共点力的平衡
◎题组一 共点力平衡条件的理解及应用
1．人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，如图所示，以下说法正确的是( )
A．人受到重力和支持力的作用
B．人受到重力、支持力和摩擦力的作用
C．人受到的合外力不为零
D．人受到的合外力方向与速度方向相同
A [人匀速运动，合力为零，人只受到重力和支持力的作用，故A正确；假设人受到摩擦力的作用，则人在水平方向合力不为零，这与人合力为零相矛盾，说明人不受摩擦力作用，故B错误；人匀速运动，合外力一定为零，故C错误；人受到的合外力为零，没有方向，故D错误。]
2．一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是( )
A．1 N 4 N 7 N B．2 N 6 N 9 N
C．2 N 5 N 8 N D．6 N 8 N 6 N
D [能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是就可能。因为两个力的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若F3在此范围内，就可能与F平衡，故D正确。]
3．某物体受到四个力的作用而处于静止状态，保持其中三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力方向逆时针转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上力的大小为( )
A．F B．2F C．2F D．3F
B [物体受到四个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另三个力的合力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另三个力的合力大小为2F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再加一个大小为2F 的力，故B项正确。]
4．(2022·湖南湘东五校高一联考)如图所示，一只质量为m的萤火虫停在倾角为θ的枝条上，枝条对萤火虫的作用力大小为( )
A．mg sin θ B．mg cs θ
C．mg tan θ D．mg
D [萤火虫是静止的，所以处于平衡状态，它受到的重力竖直向下，大小为mg，以及枝条的作用力，说明枝条对它的力与重力的大小相等方向相反，所以枝条对萤火虫的作用力大小为mg，方向竖直向上。故D正确。]
◎题组二 物体的静态平衡
5．如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角均为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，则( )
A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于2 G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小均为22 G
D．两绳的拉力大小均为G2
C [对日光灯受力分析如图所示，由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，故A错误；两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，故B错误；由于两个拉力的夹角为直角，且都与竖直方向成45°角，由力的平行四边形定则可知G＝F12+F22，F1＝F2 ，解得F1＝F2＝22G，故C正确，D错误。]
6．如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对档板的压力大小是( )
A．mg cs α B．mg
C．mgcsα D．mg tan α
D [对小球进行受力分析，如图所示，
小球受重力mg，挡板对球的弹力FN1，斜面对球的弹力FN2，将FN1和FN2合成，合力为F，根据共点力平衡条件得出F＝mg，利用三角函数关系得出FN1＝mg tan α，则小球对挡板的压力大小为mg tan α。故选项D正确。]
7． (2022·上海黄浦区高一期末)如图所示，一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上，一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起，使绳与竖直方向的夹角为θ＝30°，且绳绷紧，则练功队员对沙袋施加的作用力大小为( )
A．mg2 B．32mg C．33mg D．3mg
A [如图所示，
建立直角坐标系并对沙袋进行受力分析，由平衡条件有：F cs 30°－FTsin 30°＝0，FTcs 30°＋F sin 30°－mg＝0，联立可解得F＝mg2，故A正确。]
8．(2022·浙江6月选考)如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°。一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的( )
A．作用力为33G B．作用力为36G
C．摩擦力为34G D．摩擦力为38G
B [设斜杆的弹力大小为F，以水平横杆和重物为整体，竖直方向根据受力平衡可得4F cs 30°＝G，解得F＝36G，以其中一斜杆为研究对象，其受力如图所示，可知每根斜杆受到地面的作用力应与F平衡，即大小为36G，每根斜杆受到地面的摩擦力为Ff＝F sin 30°＝312G，B正确，A、C、D错误。
]
9．倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上。下列结论正确的是( )
A．木块受到的摩擦力大小是mg cs α
B．木块对斜面体的压力大小是mg sin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mg sin αcs α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
D [以木块为研究对象，如图甲所示，有Ff＝mg sin α，FN＝mg cs α，故选项A、B均错误；以木块与斜面体所组成的整体为研究对象，如图乙所示，有Ff桌＝0，FN桌＝(M＋m)g，故选项C错误，D正确。
]
10．叠罗汉是一种两人以上层层叠成各种造型的游戏娱乐形式，也是一种高难度的杂技。如图所示为六人叠成的三层静态造型，假设每个人的重量均为G，下面五人的背部均呈水平状态，则最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为( )
A．34G B．78G C．54G D．32G
C [最上面人的重力为G，所以每条腿上的力均为G2；中间层左边的人，受到竖直向下的力为G＋G2＝3G2，所以每条腿上的力均为3G4，由对称性，中间层右边的人每条腿上的力也均为34G；最底层中间的人，受到竖直向下的力为G＋3G4＋3G4＝5G2，所以其每条腿上的力均为5G4。即最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为54G，故选项C正确。]
11．如图所示，倾角为θ、质量为M的斜面体C置于水平地面上，质量为m的小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与质量也为m的物块A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，物块B与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，A、B、C都处于静止状态。求：
(1)斜面对B的摩擦力；
(2)地面对斜面体的支持力和摩擦力。
[解析] (1)设斜面对B的摩擦力大小为fB，物块B受力如图
由平衡条件有mgsinθ+fB＝T
T＝mg
解得fB＝mg(1－sin θ)
方向沿斜面向下。
(2)以B、C整体为研究对象，受到重力、拉力T、地面的支持力N和地面的摩擦力f作用，由平衡条件，在竖直方向上有T sin θ＋N＝(M＋m)g
解得N＝Mg＋mg(1－sin θ)，方向竖直向上
在水平方向上有f＝T cs θ＝mg cs θ，方向水平向左。
[答案] (1)mg(1－sin θ)，方向沿斜面向下
(2)Mg＋mg(1－sin θ)，方向竖直向上 mg cs θ，方向水平向左
12．(2022·山东淄博高一期末)同学们都有过擦黑板的经历。如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板。(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6)
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
(2)若作用力F方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务？
(3)比较以上两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，并说明理由。
[解析] (1)在黑板擦缓慢向上擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析如图甲所示，则
水平方向F sin 53°＝FN
竖直方向F cs 53°＝mg＋Ff
Ff＝μFN
解得Ff＝4 N，μ＝0.5。
(2)在黑板擦缓慢向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析如图乙所示，则
水平方向F′sin 53°＝FN′
竖直方向F′cs 53°＋Ff′＝mg
Ff′＝μFN′
解得F′＝2 N，Ff′＝0.8 N。
(3)缓慢向上比缓慢向下擦得更干净。
因为缓慢向上擦时黑板擦与黑板间的摩擦力更大，擦得更干净。
[答案] (1)0.5 (2)2 N (3)见解析
学习任务
1．知道什么是共点力及共点力作用下物体平衡状态的概念。
2．掌握共点力平衡的条件。
3．会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
合成法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交
分解法
物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fn x＝0，
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fn y＝0
矢量三
角形法
如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题