人教版高中物理必修第一册第2章素养提升课1匀变速直线运动推论的应用学案

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素养提升课(一)　匀变速直线运动推论的应用　匀变速直线运动的平均速度公式1．三个平均速度公式及适用条件(1)v＝st，适用于所有运动。(2)v＝v0+v2，适用于匀变速直线运动。(3)v＝vt2，即一段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动。2．公式v＝vt2＝v0+v2的推导设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v由x＝v0t＋12at2得，平均速度v＝xt＝v0＋12at①由v＝v0＋at知，当t′＝t2时有vt2＝v0＋a·t2②由①②得v＝vt2又v＝vt2＋a·t2③由②③解得vt2＝v0+v2综上所述有v＝vt2＝v0+v2。【典例1】　(多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么(　　)A．这3 s内平均速度是1.2 m/sB．第3 s末瞬时速度是2.2 m/sC．质点的加速度是0.6 m/s2D．质点的加速度是0.8 m/s2AD　[第3 s内的平均速度即为2.5 s时的速度，即v2.5＝21 m/s＝2 m/s，所以加速度a＝v2.5t2.5＝22.5 m/s2＝0.8 m/s2，所以C错误，D正确；第3 s末瞬时速度是v＝at3＝0.8×3 m/s＝2.4 m/s，B错误；这3 s内平均速度是v＝v2＝2.42 m/s＝1.2 m/s，A正确。][跟进训练]1．一质点做匀变速直线运动，经直线上的A、B、C三点，已知AB＝BC＝4 m，质点在AB间运动的平均速度为6 m/s，在BC间运动的平均速度为3 m/s，则质点的加速度大小为(　　)A．1.5 m/s2　　B．4 m/s2　　C．3 m/s2　　D．－2 m/s2C　[根据匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，可得a＝v2-v1x2v1+x2v1＝－3 m/s2，即质点的加速度大小为3 m/s2，C正确。]2．某物体做直线运动，其v-t图像如图所示，则0～t1时间内物体的平均速度(　　)A．等于v0+v12B．大于v0+v12C．小于v0+v12D．条件不足，无法比较B　[若物体在0～t1时间内做匀加速直线运动，作出其v-t图线如图所示，由v-t图线与时间轴围成的面积表示位移可知，物体实际运动的位移大小大于物体做匀加速直线运动的位移大小，运动时间相同，则物体实际运动的平均速度大于物体做匀加速直线运动的平均速度，即v2＞v1＝v0+v12，故选项B正确。]　中点位置的瞬时速度公式的理解及应用1．中点位置的瞬时速度公式：vx2＝v02+v22，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。2．推导：如图所示，前一段位移vx2 2-v02＝2a·x2，后一段位移v2-vx2 2＝2a·x2，所以有vx2 2＝12·(v02＋v2)，即有vx2＝v02+v22。3．两点说明(1)公式vx2＝ v02+v22只适用于匀变速直线运动。(2)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即vx2＞vt2。【典例2】　(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有(　　)A．物体经过AB位移中点的速度大小为v1+v22B．物体经过AB位移中点的速度大小为 v12+v222C．若为匀减速直线运动，则v3＜v2＝v1D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5BD　[由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ v12+v222，时间中点的速度为v4＝v1+v22，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝v1+v22，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，若物体做匀加速直线运动，则v1v2，故D正确，C错误。][跟进训练]3．物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为(　　)A．2 m/s　　　B．22 m/s　　　C．2 m/s　　　D．22 m/sB　[已知v0＝0，v＝4 m/s，根据vx2＝ v02+v22，解得物体经过斜面中点时的速度为22 m/s，故B正确。]4．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过位移x时的速度是v，那么经过位移2x时的速度是(　　)A．v　　　B．2v　　　C．2v　　　D．4vB　[由中点位置的瞬时速度公式可知v＝ 0+v'22，解得v′＝2v，B正确。]　逐差相等公式的理解及应用1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。2．推导：x1＝v0T＋12aT 2，x2＝v0·2T＋42a·T 2，x3＝v0·3T＋92a·T 2…所以xⅠ＝x1＝v0T＋12aT 2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋32aT 2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋52aT 2…故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2，…所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2。3．拓展公式：匀变速直线运动中对于不相邻的任意两段位移：xm－xn＝(m－n)aT 2。4．应用：(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT 2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。(2)求加速度利用Δx＝aT 2，可求得a＝ΔxT2。【典例3】　一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，求这个物体的加速度和初速度各是多大？[解析]　由位移差公式Δx＝aT 2得：a＝ΔxT2＝60-2442 m/s2＝2.25 m/s2，由于v4＝24+608 m/s＝10.5 m/s，而v4＝v0＋4a，得v0＝1.5 m/s。[答案]　2.25 m/s2　1.5 m/s[跟进训练]5．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)A．物体的加速度为20 m/s2B．物体的加速度为25 m/s2C．CD＝4 mD．CD＝5 mBC　[由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT 2，可得：a＝BC-ABT2＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。]6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)A．1 m/s2　　　B．2.25 m/s2　　C．3 m/s2　　　D．4.25 m/s2B　[轿车车身总长为4.5 m，则题图中每一小格为1.5 m，由此可算出两段距离分别为x1＝12 m和x2＝21 m，又T＝2 s，则a＝x2-x1T2＝21-1222 m/s2＝2.25 m/s2，故选项B正确。]　初速度为零的匀加速直线运动的比例式1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2。(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。2．按位移等分(设相等的位移为s)的比例式(1)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(2)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶2∶3∶…∶n。(3)通过连续相同的位移所用时间之比t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n-1)。【典例4】　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s。求：(1)第6 s末的速度大小。(2)前6 s内的位移大小。(3)第6 s内的位移大小。[解析]　(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3故第6 s末的速度v6＝32v4＝6 m/s。(2)由v4＝at4得a＝v4t4＝1 m/s2所以第1 s内的位移x1＝12a×t12＝0.5 m第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m。(3)第1 s内与第6 s内的位移之比x′1∶x′6＝1∶(2×6－1)＝1∶11故第6 s内的位移x′6＝11x′1＝5.5 m。[答案]　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m　应用比例关系的三点注意(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例快速解题。(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例，如位移之比5∶7∶9∶11。[跟进训练]7．质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为(　　)A．1∶4∶9　　　 B．1∶3∶5C．1∶8∶27　　　 D．1∶2∶3C　[初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确。]8．(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1B．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3D．t1∶t2∶t3＝(3－2)∶(2－1)∶1BD　[因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动来研究。初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(2－1)∶(3－2)，故所求时间之比为(3－2)∶(2－1)∶1，选项C错误，D正确；由v2-v02＝2ax可得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1∶2∶3，则所求的速度之比为3∶2∶1，故选项A错误，B正确。]素养提升练(一)　匀变速直线运动推论的应用一、选择题1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为(　　)A．2 m/s　　　 B．10 m/sC．2.5 m/s　　　 D．5 m/sD　[根据平均速度公式可知v＝xt＝v0+vt2，解得v0＝5 m/s，所以D选项正确。]2．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是(　　)A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2B　[由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知x1∶x2＝1∶3，由x＝12at2知，走完1 m与走完2 m所用时间之比为t1∶t2＝1∶2，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶2，B正确。]3．(多选)(2022·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是(　　)A．第2 s内的位移是2.5 mB．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/sC．质点的加速度是0.125 m/s2D．质点的加速度是0.5 m/s2BD　[由Δx＝aT 2，得a＝x4-x3T2＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，A、C错误，D正确；第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，所以v3＝x3+x42T＝2.25 m/s，B正确。]4．(多选)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法正确的是(　　)A．平均速度等于xtB．平均速度等于v1+v22C．中间位置的瞬时速度等于xtD．中间时刻的瞬时速度等于v1+v22ABD　[根据平均速度的定义可得平均速度为v＝xt，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即v＝v1+v22，故B正确；设中间位置的瞬时速度为v，匀变速运动加速度为a，则v2-v12＝2a·x2①，v22－v2＝2a·x2②，联立①②式解得：v＝v12+v222，故C错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即vt2＝v＝v1+v22，故D正确。]5．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2，则物体运动的加速度为(　　)A．2Δxt1-t2t1t2t1+t2　　 B．Δxt1-t2t1t2t1+t2　　C．2Δxt1+t2t1t2t1-t2　　D．Δxt1+t2t1t2t1-t2A　[物体做匀加速直线运动通过前一段Δx所用的时间为t1，平均速度为v1＝Δxt1，物体通过后一段Δx所用的时间为t2，平均速度为v2＝Δxt2。速度由v1变化到v2的时间为Δt＝t1+t22，所以加速度a＝v2-v1Δt＝2Δxt1-t2t1t2t1+t2，A正确。]6．物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv。则关于物体的运动，下列说法正确的是(　　)A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2B．两段运动所用时间一定不相等C．物体运动的加速度为Δv2x2-x1D．通过两段位移的平均速度为x2+x1Δvx2-x1C　[两段过程中速度的变化量相等，根据t＝Δva知，两段过程中运动的时间相等，若做匀加速直线运动，第一段位移小于第二段位移，若做匀减速直线运动，第一段位移大于第二段位移，故A、B错误；两段过程的时间相等，设为Δt，则有x2－x1＝a(Δt)2，又Δv＝aΔt，解得物体的加速度a＝Δv2x2-x1，故C正确；运动的总时间t＝2×Δva＝2x2-x1Δv，则通过两段位移的平均速度v＝x1+x2t＝x1+x2Δv2x2-x1，故D错误。]7．(多选)如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点。下列说法正确的是(　　)A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶2B．通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶2∶3∶2C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶2∶3∶2D．下滑全程的平均速度v＝vBACD　[物体做初速度为零的匀加速直线运动。由v2＝2ax得v∝x，A正确；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)，B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的瞬时速度，故v＝vB，D正确。]8．一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点。已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为(　　)A．t0　　　 B．(2－1)t0C．2(2＋1)t0　　　 D．(22＋1)t0C　[由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(2－1)；即t∶t0＝1∶(2－1)，得t＝(2＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(2＋1)t0，故C正确。]9．物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为(　　)A．15 m/s　　　 B．30 m/sC．7.5 m/s　　　 D．无法求解B　[设最大速度为vm，匀加速直线运动过程v1＝12(0＋vm)＝12vm，匀减速直线运动过程：v2＝12(vm＋0)＝12vm，所以x＝v1t1＋v2t2＝vm2(t1＋t2)＝vm2t，解得vm＝30 m/s。]10．(多选)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m。且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是(　　)A．可以求出物体加速度的大小B．可以求得CD＝4 mC．可以求得OA之间的距离为1.125 mD．可以求得OB之间的距离为12.5 mBC　[由Δs＝at2可得物体的加速度a的大小为a＝Δst2＝3-2t2＝1t2，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据sCD－sBC＝sBC－sAB＝1 m，可知sCD＝(3＋1) m＝4 m，故B正确；物体经过B点时的瞬时速度为vB＝vAC＝52t，又 vB2＝2as可得O、B两点间的距离为sOB＝vB22a＝254t2·t22＝3.125 m，所以O与A间的距离为 sOA＝sOB－sAB＝(3.125－2) m＝1.125 m，故C正确，D错误。]二、非选择题11．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：(1)火车中点经过此路标时的速度大小v；(2)整列火车通过此路标所用的时间t。[解析]　火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过l2处的速度，其运动简图如图所示。(1)前一半位移l2，v2-v12＝2a·l2后一半位移l2，v22－v2＝2a·l2所以有v2-v12＝v22－v2，故v＝v12+v222。(2)火车的平均速度v＝v1+v22故所用时间t＝lv＝2lv1+v2。[答案]　(1)v12+v222　(2)2lv1+v212．从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：(1)小球的加速度；(2)拍摄时小球B的速度；(3)拍摄时xCD长度。[解析]　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。(1)由推论Δx＝aT 2可知，小球的加速度为a＝ΔxT2＝xBC-xABT2＝5 m/s2。(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即vB＝vAC＝xAC2T＝1.75 m/s。(3)由匀加速直线运动的特点知，连续相等时间内位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB所以xCD＝2xBC－xAB＝0.25 m。[答案]　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m学习任务1．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，并会进行有关计算。2．会推导初速度为零的匀变速直线运动的比例式。3．会推导位移差公式Δx＝aT 2并会用它解答相关问题。