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浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷
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这是一份浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）抛物线y＝3x2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣3C．直线x＝0D．直线y＝0
2．（3分）“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．不确定事件D．随机事件
3．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
4．（3分）已知线段m，n，p，q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移3个单位长度
6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80）B．w＝x（﹣2x+80）
C．w＝30（﹣2x+80）D．w＝x（﹣2x+50）
8．（3分）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，4）C．D．（﹣4，6）
9．（3分）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3（x+2）2B．y＝3（x﹣2）2
C．y＝﹣3（x+2）2D．y＝﹣3（x﹣2）2
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 ．
12．（4分）若，则＝ ．
13．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ ．
15．（4分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，该宣传栏后DE处共有 棵树．（不计宣传栏的厚度）．
16．（4分）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．跳起来最高可达1.7米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）如图，在⊙O中，＝，求证：
（1）；
（2）∠B＝∠C．
18．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
19．（6分）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上．
（1）在图1中作出满足△CBF与△ABC相似的所有格点F．
（2）在图2中作出△ABC的重心．
20．（8分）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 .（精确到0.1）
（2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
21．（8分）已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H，CD＝24，BH＝8，点E在弧AD上，射线AE与射线CD相交于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，若时，求AE的长．
22．（10分）根据素材解决问题．
23．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c（a为常数，a≠0）．
（1）它的图象过点（2，1），（1，1），求b的值；
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2．
①当x1+x2＝4时，y1＜y2，求b的取值范围．
②若抛物线与x轴只有一个交点且x2＝x1+4，y1＝y2＝m时，求m的值；
24．（12分）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
（1）【图特殊化】如图1，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于点G，则＝ （填比值）；
（2）【探究证明】如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；
乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
（3）【结论应用】如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝3，BC＝4．求折痕EF的长；
（4）【拓展运用】如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区弘益中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）抛物线y＝3x2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣3C．直线x＝0D．直线y＝0
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为y轴．
【解答】解：抛物线y＝3x2的对称轴是y轴，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（3分）“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．不确定事件D．随机事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．
【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．
故选：A．
【点评】用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
3．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵r＝5，d＝4.5，
∴d＜r，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．（3分）已知线段m，n，p，q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mq＝pn，与原式不相等，错误，不符合题意；
B、两边同时乘以最简公分母mq得nq＝pm，与原式不相等，错误，不符合题意；
C、两边同时乘以最简公分母qm得mQ＝pm，与原式不相等，错误，不符合题意；
D、两边同时乘以最简公分母qn得mn＝pq，与原式相等，正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
5．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移3个单位长度
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标，平移后顶点左坐标轴上，分两种情况分析即可，结合点的平移规律可求解．
【解答】解：y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标为：（3，2），
当平移后其顶点在x轴上，则为（3，0），
平移方式为：向下平移2个单位；
当平移后其顶点在y轴上，则为（0，2），
平移方式为：向左平移3个单位；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换；根据顶点坐标的变化发现平移方式是解题的关键．
6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，
A．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B．因为，对应边，又∠A＝∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C．因为，对应边，
即：，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
7．（3分）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80）B．w＝x（﹣2x+80）
C．w＝30（﹣2x+80）D．w＝x（﹣2x+50）
【分析】利用这种产品每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出w与x之间的函数表达式．
【解答】解：根据题意得：w＝（x﹣30）y，
即w＝（x﹣30）（﹣2x+80）．
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．
8．（3分）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，4）C．D．（﹣4，6）
【分析】根据位似变换的性质计算，将Q点的横、纵坐标乘以2，即可求解．
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为（﹣2，3）
∴点P的坐标为（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6），
故选：D．
【点评】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
9．（3分）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3（x+2）2B．y＝3（x﹣2）2
C．y＝﹣3（x+2）2D．y＝﹣3（x﹣2）2
【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大．
当1＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0，
∴x2﹣x1＞0．
∴y2＞y1．
∴当x＞2时，y随x的增大而增大．
当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，
∴x2﹣x1＞0．
∴y2＜y1．
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝36°，从而可得∠A＝∠ABD＝36°，进而可得DA＝DB，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，从而可得BD＝BC，进而可得AD＝BD＝BC，最后利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形，
∴△ABC是黄金三角形，
∴＝，
∵AC＝AB＝2，
∴BC＝﹣1，
∴AD＝BC＝﹣1，
∴CD＝AC﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，作图﹣复杂作图，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 1：4 ．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
12．（4分）若，则＝ ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解答】解：＝，可设y＝2k，x＝7k，k是非零数，
则＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
13．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ 40° ．
【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．
【解答】解：由题意得：
AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°；
由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC＝AC′，∠BAC＝∠ACC′＝70°是解题关键．
15．（4分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，该宣传栏后DE处共有 26 棵树．（不计宣传栏的厚度）．
【分析】根据题意得出，△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段DE的长度，从而求得树的棵数．
【解答】解：如图，设AF的延长线交DE于点G，
∵BC∥ED，AF⊥BC，
∴△ABC∽△ADE，AG⊥DE，
∴＝，
又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，
∴AG＝AF+FG＝15米，
∴＝，
∴DE＝50（米），
∵50÷2＝25，
∴25+1＝26，
即DE处共有26棵树，
故答案为：26．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程来解决问题．
16．（4分）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．跳起来最高可达1.7米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 2＜m＜4 .
【分析】以AO所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点C（3，1.8），A（0，0.9），代入抛物线解析式，求得y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，然后令y＝1.7即可求得m的取值范围．
【解答】解：如图，
由题意可知C（3，1.8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1.8，
把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得：
a＝﹣0.1，
∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，
当y＝1.7时，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.7，
解得x1＝2，x2＝4，
∴则m的取值范围是2＜m＜4．
故答案为：2＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）如图，在⊙O中，＝，求证：
（1）；
（2）∠B＝∠C．
【分析】（1）由＝，可知﹣＝﹣，得到；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到∠AOB＝∠COD，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴﹣＝﹣，
∴；
（2）证明：∵，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
即∠B＝∠C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等．
18．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
【分析】（1）由y＝（x﹣1）2+2利用完全平方公式展开为y＝x2﹣2x+3，则abc即可确定；
（2）当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值，即可求解．
【解答】解：（1）由y＝（x﹣1）2+2，
则y＝x2﹣2x+3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3；
（2）∵y＝（x﹣1）2+2．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），
∵x＝1时，y＝2；x＝﹣1时，y＝（x﹣1）2+2＝6，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是2≤y≤6．
【点评】本题考查二次函数的三种形式，二次函数的最值，掌握完全平方公式以及二次函数的性质是解决问题的关键．
19．（6分）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上．
（1）在图1中作出满足△CBF与△ABC相似的所有格点F．
（2）在图2中作出△ABC的重心．
【分析】（1）利用网格特点可判断△ABC为直角三角形，则过C点作AB的垂线得到格点F1、过B点作过C的水平格线得到格点F2；
（2）利用三角形重心的定义，利用网格特点得到AC的中点E，BC的中点D，则AD和BE的交点为△ABC的重心．
【解答】解：（1）如图1，点F1、点F2为所作；
（2）如图2，点O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据，判断△ABC为直角三角形是解决问题的关键．也考查了三角形的重心．
20．（8分）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）这种花卉成活的频率稳定在 0.9 附近，估计成活概率为 0.9 .（精确到0.1）
（2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；
（2）①用10000乘以成活的概率即可；
②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．
【解答】解：（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9；
故答案为：0.9，0.9；
（2）①10000×0.9＝9000（棵），
答：估计这种花卉成活9000棵；
②99000÷0.9﹣10000＝100000（棵），
答：估计还要移植100000棵．
【点评】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
21．（8分）已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H，CD＝24，BH＝8，点E在弧AD上，射线AE与射线CD相交于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，若时，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理求出DH＝CD＝12，根据勾股定理求解即可；
（2）过点O作OG⊥AE，根据垂径定理求出AG＝AE，根据勾股定理求出AF＝18，根据学生三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，CD＝24，
∴DH＝CD＝12，
设⊙O的半径为r，
∵BH＝8，
∴OH＝r﹣8，
在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，
∴r＝13，
即⊙O的半径为13；
（2）如图，过点O作OG⊥AE，
∴AG＝AE，
∵DF＝HD，
∴DF＝6，DH＝12，
∴FH＝DF+DH＝18，
∵OH＝13﹣8＝5，
∴AH＝OA+OH＝18，
∴AF＝＝18，
∵∠GAO＝∠HAF，∠AGO＝∠AHF＝90°，
∴△AGO∽△AHF，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝，
∴AE＝13．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出半径是解题的关键．
22．（10分）根据素材解决问题．
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，由勾股定理，垂径定理，列出关于线段CD的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
∵桥拱的半径为r10m，则OD＝（10﹣CD）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（10﹣CD）2+82＝102，
∴CD＝4，
∴圆形拱桥CD的长为4m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴EM＝EH＝6，
∴OM＝＝＝8，
∵OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6m，
∴DM＝8﹣6＜3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度y＝3﹣2＝1m
∵y＝，
∴x2＝100×1＝100，
∴x＝10（舍去负值），
∴至少要增加10吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
23．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c（a为常数，a≠0）．
（1）它的图象过点（2，1），（1，1），求b的值；
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2．
①当x1+x2＝4时，y1＜y2，求b的取值范围．
②若抛物线与x轴只有一个交点且x2＝x1+4，y1＝y2＝m时，求m的值；
【分析】（1）y＝x2+bx+c过点（2，1），（1，1），根据对称轴公式解决；
（2）①M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，则y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2），由于x1+x2＝4，y1﹣y2＜0可得（x1﹣x2）（4+b）＜0，而x1＜x2，所以4+b＞0即可解决；
②y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则c＝，根据x2、x1是x2+bx+﹣m＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣m，因为x2﹣x1＝4，利用x2﹣x1＝即可解决．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c过点（2，1），（1，1），
∴对称轴为：x＝，
解得：b＝﹣3，
∴b＝﹣3；
（2）①设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，
∴y1＝+bx1+c，
y2＝+bx2+c，
∴y1﹣y2＝+bx1+c﹣﹣bx2﹣c
＝﹣﹣bx2+bx1
＝（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2），
∵当x1+x2＝4时，y1＜y2，
∴此时y1﹣y2＜0，即4（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＜0，
（x1﹣x2）（4+b）＜0，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴4+b＞0，
∴b＞﹣4；
②∵y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4×1×c＝0，
则c＝，
∴y＝x2+bx+，
当y1＝y2＝m时，
∴m＝+bx1+，
m＝+bx2+，
∴x2、x1是x2+bx+﹣m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣m，
∵x2＝x1+4，
∴x2﹣x1＝4，
∵x2﹣x1＝
∴＝4
∴＝4，
解得：m＝4，
∴m的值为4．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24．（12分）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
（1）【图特殊化】如图1，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于点G，则＝ 1：1 （填比值）；
（2）【探究证明】如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；
乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
（3）【结论应用】如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝3，BC＝4．求折痕EF的长；
（4）【拓展运用】如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．
【分析】（1）由题意知AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，∠ADE＝∠BAF，证明△ADE≌△BAF（ASA），则DE＝AF，进而可得的比值；
（2）甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；由矩形的性质得到，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，则四边形AEFM、DHGN均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BN＝GH，AM＝EF，根据直角三角形的性质可得∠BAM＝∠NBC，则△BAM∽△CBN，根据相似三角形的性质求解即可；
乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N；根据矩形的判定与性质得出AB＝EM，GN＝BC＝AD，结合直角三角形的性质推出∠MEF＝∠HGN，结合∠EMF＝∠GNH＝90°，即可判定△EFM∽△GHN，根据相似三角形的性质即可得解：
（3）由矩形的性质可得AD＝BC＝4，由勾股定理求得BD＝5，由（2）可知，＝，据此计算求解即可；
（4）过点D作MN⊥BC，交BC的延长线于M，过点A作AN⊥MN交EF于点N，连接AC，连接AC，由“SSS”可证△ACD≌△ACB，可得∠ADC＝∠ABC＝90°，通过证明△ADN∽△DCM，可得AN＝2DM，DN＝2CM，由勾股定理可求CM、BM、AN的长，结合（2）证明△DEG∽△AFH，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
又∵AF⊥DE，
∴∠AED+∠ADE＝90°＝∠AED+∠BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴DE＝AF，
∴＝，
故答案为：1：1；
（2）证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，
∴四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB＝90°，
∴BN＝GH，AM＝EF，
∵EF⊥GH，
∴AM⊥BN，
∴∠NBC+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠NBC，
又∵∠ABM＝∠BCN＝90°，
∴△BAM∽△CBN，
∴＝，
∴＝；
乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N，EM交GH于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AD＝BC，AB∥CD，
∴四边形AEMB、GBCN均为矩形，
∴AB＝EM，GN＝BC＝AD，
∵EF⊥GH，EM⊥GN，
∴∠MEF+∠EOH＝90°，∠GOM+∠HGN＝90°，
∵∠EOH＝∠GOM，
∴∠MEF＝∠HGN，
又∠EMF＝∠GNH＝90°，
∴△EFM∽△GHN，
∴＝，
∴＝；
（3）解：由矩形的性质可得AD＝BC＝4，∠A＝90°，
由勾股定理得BD＝＝＝5，
由（2）可知，＝，
即＝，
解得EF＝，
∴EF的长为；
（4）解：如图4，过点D作MN⊥BC，交BC的延长线于M，过点A作AN⊥MN交EF于点N，连接AC，过点F作FH⊥AN于点H，过点E作EG⊥MN于点G，
∵∠ABC＝90°，AN⊥MN，MN⊥BC，
∴四边形ABMN是矩形，
∴∠N＝∠M＝90°，AN＝BM，MN＝AB＝10，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADN+∠CDM＝90°，
∵∠ADN+∠NAD＝90°，
∴∠NAD＝∠CDM，
又∠N＝∠M＝90°，
∴△ADN∽△DCM，
∴＝＝＝＝，
∴AN＝2DM，DN＝2CM，
∵DC2＝CM2+DM2，
∴52＝CM2+（10﹣2CM）2，
∴CM＝5（不合题意舍去），CM＝3，
∴BM＝BC+CM＝5+3＝8＝AN，
由（2）知，∠AFH＝∠DEG，
又∵∠AHF＝∠EGD＝90°，
∴△DEG∽△AFH，
∴＝，
∵EG＝AN＝8，HF＝AB＝10，
∴＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为10m，测得水面宽AB＝16m.
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得 EF＝3m，EH＝12m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材2
问题解决
任务1
确定拱顶离水面的距离CD（C，D分别是弧AB和弦AB的中点）
求CD的长.
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为10m，测得水面宽AB＝16m.
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得 EF＝3m，EH＝12m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材2
问题解决
任务1
确定拱顶离水面的距离CD（C，D分别是弧AB和弦AB的中点）
求CD的长.
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
1．（3分）抛物线y＝3x2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣3C．直线x＝0D．直线y＝0
2．（3分）“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．不确定事件D．随机事件
3．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
4．（3分）已知线段m，n，p，q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移3个单位长度
6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80）B．w＝x（﹣2x+80）
C．w＝30（﹣2x+80）D．w＝x（﹣2x+50）
8．（3分）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，4）C．D．（﹣4，6）
9．（3分）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3（x+2）2B．y＝3（x﹣2）2
C．y＝﹣3（x+2）2D．y＝﹣3（x﹣2）2
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 ．
12．（4分）若，则＝ ．
13．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ ．
15．（4分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，该宣传栏后DE处共有 棵树．（不计宣传栏的厚度）．
16．（4分）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．跳起来最高可达1.7米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）如图，在⊙O中，＝，求证：
（1）；
（2）∠B＝∠C．
18．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
19．（6分）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上．
（1）在图1中作出满足△CBF与△ABC相似的所有格点F．
（2）在图2中作出△ABC的重心．
20．（8分）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 .（精确到0.1）
（2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
21．（8分）已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H，CD＝24，BH＝8，点E在弧AD上，射线AE与射线CD相交于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，若时，求AE的长．
22．（10分）根据素材解决问题．
23．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c（a为常数，a≠0）．
（1）它的图象过点（2，1），（1，1），求b的值；
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2．
①当x1+x2＝4时，y1＜y2，求b的取值范围．
②若抛物线与x轴只有一个交点且x2＝x1+4，y1＝y2＝m时，求m的值；
24．（12分）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
（1）【图特殊化】如图1，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于点G，则＝ （填比值）；
（2）【探究证明】如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；
乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
（3）【结论应用】如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝3，BC＝4．求折痕EF的长；
（4）【拓展运用】如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区弘益中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）抛物线y＝3x2的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣3C．直线x＝0D．直线y＝0
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为y轴．
【解答】解：抛物线y＝3x2的对称轴是y轴，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（3分）“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．不确定事件D．随机事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．
【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，
因为a是实数，
所以|a|≥0．
故选：A．
【点评】用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
3．（3分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4.5，则点P在（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定
【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵r＝5，d＝4.5，
∴d＜r，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．（3分）已知线段m，n，p，q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mq＝pn，与原式不相等，错误，不符合题意；
B、两边同时乘以最简公分母mq得nq＝pm，与原式不相等，错误，不符合题意；
C、两边同时乘以最简公分母qm得mQ＝pm，与原式不相等，错误，不符合题意；
D、两边同时乘以最简公分母qn得mn＝pq，与原式相等，正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．
5．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移3个单位长度
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标，平移后顶点左坐标轴上，分两种情况分析即可，结合点的平移规律可求解．
【解答】解：y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标为：（3，2），
当平移后其顶点在x轴上，则为（3，0），
平移方式为：向下平移2个单位；
当平移后其顶点在y轴上，则为（0，2），
平移方式为：向左平移3个单位；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换；根据顶点坐标的变化发现平移方式是解题的关键．
6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，
A．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
B．因为，对应边，又∠A＝∠A，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，
故此选项符合题意；
C．因为，对应边，
即：，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
D．因为，对应边，，
所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，
故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
7．（3分）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w＝（x﹣30）（﹣2x+80）B．w＝x（﹣2x+80）
C．w＝30（﹣2x+80）D．w＝x（﹣2x+50）
【分析】利用这种产品每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出w与x之间的函数表达式．
【解答】解：根据题意得：w＝（x﹣30）y，
即w＝（x﹣30）（﹣2x+80）．
故选：A．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．
8．（3分）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1．点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为（﹣2，3），则点P的坐标为（ ）
A．B．（﹣6，4）C．D．（﹣4，6）
【分析】根据位似变换的性质计算，将Q点的横、纵坐标乘以2，即可求解．
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为（﹣2，3）
∴点P的坐标为（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6），
故选：D．
【点评】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
9．（3分）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3（x+2）2B．y＝3（x﹣2）2
C．y＝﹣3（x+2）2D．y＝﹣3（x﹣2）2
【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大．
当1＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0，
∴x2﹣x1＞0．
∴y2＞y1．
∴当x＞2时，y随x的增大而增大．
当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，
∴x2﹣x1＞0．
∴y2＜y1．
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝36°，从而可得∠A＝∠ABD＝36°，进而可得DA＝DB，然后利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠C＝72°，从而可得BD＝BC，进而可得AD＝BD＝BC，最后利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，
由题意得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形，
∴△ABC是黄金三角形，
∴＝，
∵AC＝AB＝2，
∴BC＝﹣1，
∴AD＝BC＝﹣1，
∴CD＝AC﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，作图﹣复杂作图，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及黄金分割的定义是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为 1：4 ．
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
12．（4分）若，则＝ ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解答】解：＝，可设y＝2k，x＝7k，k是非零数，
则＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
13．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝ 40° ．
【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．
【解答】解：由题意得：
AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°；
由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC＝AC′，∠BAC＝∠ACC′＝70°是解题关键．
15．（4分）如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，该宣传栏后DE处共有 26 棵树．（不计宣传栏的厚度）．
【分析】根据题意得出，△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段DE的长度，从而求得树的棵数．
【解答】解：如图，设AF的延长线交DE于点G，
∵BC∥ED，AF⊥BC，
∴△ABC∽△ADE，AG⊥DE，
∴＝，
又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，
∴AG＝AF+FG＝15米，
∴＝，
∴DE＝50（米），
∵50÷2＝25，
∴25+1＝26，
即DE处共有26棵树，
故答案为：26．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程来解决问题．
16．（4分）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．跳起来最高可达1.7米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 2＜m＜4 .
【分析】以AO所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点C（3，1.8），A（0，0.9），代入抛物线解析式，求得y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，然后令y＝1.7即可求得m的取值范围．
【解答】解：如图，
由题意可知C（3，1.8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1.8，
把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得：
a＝﹣0.1，
∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，
当y＝1.7时，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.7，
解得x1＝2，x2＝4，
∴则m的取值范围是2＜m＜4．
故答案为：2＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）如图，在⊙O中，＝，求证：
（1）；
（2）∠B＝∠C．
【分析】（1）由＝，可知﹣＝﹣，得到；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到∠AOB＝∠COD，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴﹣＝﹣，
∴；
（2）证明：∵，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
即∠B＝∠C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等．
18．（6分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
【分析】（1）由y＝（x﹣1）2+2利用完全平方公式展开为y＝x2﹣2x+3，则abc即可确定；
（2）当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值，即可求解．
【解答】解：（1）由y＝（x﹣1）2+2，
则y＝x2﹣2x+3，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3；
（2）∵y＝（x﹣1）2+2．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），
∵x＝1时，y＝2；x＝﹣1时，y＝（x﹣1）2+2＝6，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是2≤y≤6．
【点评】本题考查二次函数的三种形式，二次函数的最值，掌握完全平方公式以及二次函数的性质是解决问题的关键．
19．（6分）如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上．
（1）在图1中作出满足△CBF与△ABC相似的所有格点F．
（2）在图2中作出△ABC的重心．
【分析】（1）利用网格特点可判断△ABC为直角三角形，则过C点作AB的垂线得到格点F1、过B点作过C的水平格线得到格点F2；
（2）利用三角形重心的定义，利用网格特点得到AC的中点E，BC的中点D，则AD和BE的交点为△ABC的重心．
【解答】解：（1）如图1，点F1、点F2为所作；
（2）如图2，点O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据，判断△ABC为直角三角形是解决问题的关键．也考查了三角形的重心．
20．（8分）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）这种花卉成活的频率稳定在 0.9 附近，估计成活概率为 0.9 .（精确到0.1）
（2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；
（2）①用10000乘以成活的概率即可；
②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．
【解答】解：（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9；
故答案为：0.9，0.9；
（2）①10000×0.9＝9000（棵），
答：估计这种花卉成活9000棵；
②99000÷0.9﹣10000＝100000（棵），
答：估计还要移植100000棵．
【点评】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
21．（8分）已知AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为H，CD＝24，BH＝8，点E在弧AD上，射线AE与射线CD相交于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，若时，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理求出DH＝CD＝12，根据勾股定理求解即可；
（2）过点O作OG⊥AE，根据垂径定理求出AG＝AE，根据勾股定理求出AF＝18，根据学生三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，CD＝24，
∴DH＝CD＝12，
设⊙O的半径为r，
∵BH＝8，
∴OH＝r﹣8，
在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，
∴r＝13，
即⊙O的半径为13；
（2）如图，过点O作OG⊥AE，
∴AG＝AE，
∵DF＝HD，
∴DF＝6，DH＝12，
∴FH＝DF+DH＝18，
∵OH＝13﹣8＝5，
∴AH＝OA+OH＝18，
∴AF＝＝18，
∵∠GAO＝∠HAF，∠AGO＝∠AHF＝90°，
∴△AGO∽△AHF，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝，
∴AE＝13．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出半径是解题的关键．
22．（10分）根据素材解决问题．
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，由勾股定理，垂径定理，列出关于线段CD的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
∵桥拱的半径为r10m，则OD＝（10﹣CD）m，
∵OC⊥AB，
∴m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（10﹣CD）2+82＝102，
∴CD＝4，
∴圆形拱桥CD的长为4m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴EM＝EH＝6，
∴OM＝＝＝8，
∵OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6m，
∴DM＝8﹣6＜3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度y＝3﹣2＝1m
∵y＝，
∴x2＝100×1＝100，
∴x＝10（舍去负值），
∴至少要增加10吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
23．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c（a为常数，a≠0）．
（1）它的图象过点（2，1），（1，1），求b的值；
（2）设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，其中x1＜x2．
①当x1+x2＝4时，y1＜y2，求b的取值范围．
②若抛物线与x轴只有一个交点且x2＝x1+4，y1＝y2＝m时，求m的值；
【分析】（1）y＝x2+bx+c过点（2，1），（1，1），根据对称轴公式解决；
（2）①M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，则y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2），由于x1+x2＝4，y1﹣y2＜0可得（x1﹣x2）（4+b）＜0，而x1＜x2，所以4+b＞0即可解决；
②y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则c＝，根据x2、x1是x2+bx+﹣m＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣m，因为x2﹣x1＝4，利用x2﹣x1＝即可解决．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c过点（2，1），（1，1），
∴对称轴为：x＝，
解得：b＝﹣3，
∴b＝﹣3；
（2）①设M（x1，y1）、N（x2，y2）是抛物线上的两点，
∴y1＝+bx1+c，
y2＝+bx2+c，
∴y1﹣y2＝+bx1+c﹣﹣bx2﹣c
＝﹣﹣bx2+bx1
＝（x1﹣x2）（x1+x2）+b（x1﹣x2），
∵当x1+x2＝4时，y1＜y2，
∴此时y1﹣y2＜0，即4（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＜0，
（x1﹣x2）（4+b）＜0，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∴4+b＞0，
∴b＞﹣4；
②∵y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴Δ＝b2﹣4×1×c＝0，
则c＝，
∴y＝x2+bx+，
当y1＝y2＝m时，
∴m＝+bx1+，
m＝+bx2+，
∴x2、x1是x2+bx+﹣m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝﹣m，
∵x2＝x1+4，
∴x2﹣x1＝4，
∵x2﹣x1＝
∴＝4
∴＝4，
解得：m＝4，
∴m的值为4．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24．（12分）我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”．经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
（1）【图特殊化】如图1，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于点G，则＝ 1：1 （填比值）；
（2）【探究证明】如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；
乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
（3）【结论应用】如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝3，BC＝4．求折痕EF的长；
（4）【拓展运用】如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．
【分析】（1）由题意知AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，∠ADE＝∠BAF，证明△ADE≌△BAF（ASA），则DE＝AF，进而可得的比值；
（2）甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；由矩形的性质得到，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，则四边形AEFM、DHGN均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BN＝GH，AM＝EF，根据直角三角形的性质可得∠BAM＝∠NBC，则△BAM∽△CBN，根据相似三角形的性质求解即可；
乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N；根据矩形的判定与性质得出AB＝EM，GN＝BC＝AD，结合直角三角形的性质推出∠MEF＝∠HGN，结合∠EMF＝∠GNH＝90°，即可判定△EFM∽△GHN，根据相似三角形的性质即可得解：
（3）由矩形的性质可得AD＝BC＝4，由勾股定理求得BD＝5，由（2）可知，＝，据此计算求解即可；
（4）过点D作MN⊥BC，交BC的延长线于M，过点A作AN⊥MN交EF于点N，连接AC，连接AC，由“SSS”可证△ACD≌△ACB，可得∠ADC＝∠ABC＝90°，通过证明△ADN∽△DCM，可得AN＝2DM，DN＝2CM，由勾股定理可求CM、BM、AN的长，结合（2）证明△DEG∽△AFH，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
又∵AF⊥DE，
∴∠AED+∠ADE＝90°＝∠AED+∠BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴DE＝AF，
∴＝，
故答案为：1：1；
（2）证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M，过点B作BN∥HG交CD于点N；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，
∴四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB＝90°，
∴BN＝GH，AM＝EF，
∵EF⊥GH，
∴AM⊥BN，
∴∠NBC+∠AMB＝90°，
∴∠BAM＝∠NBC，
又∵∠ABM＝∠BCN＝90°，
∴△BAM∽△CBN，
∴＝，
∴＝；
乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M，过点G作GN⊥CD交CD于点N，EM交GH于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AD＝BC，AB∥CD，
∴四边形AEMB、GBCN均为矩形，
∴AB＝EM，GN＝BC＝AD，
∵EF⊥GH，EM⊥GN，
∴∠MEF+∠EOH＝90°，∠GOM+∠HGN＝90°，
∵∠EOH＝∠GOM，
∴∠MEF＝∠HGN，
又∠EMF＝∠GNH＝90°，
∴△EFM∽△GHN，
∴＝，
∴＝；
（3）解：由矩形的性质可得AD＝BC＝4，∠A＝90°，
由勾股定理得BD＝＝＝5，
由（2）可知，＝，
即＝，
解得EF＝，
∴EF的长为；
（4）解：如图4，过点D作MN⊥BC，交BC的延长线于M，过点A作AN⊥MN交EF于点N，连接AC，过点F作FH⊥AN于点H，过点E作EG⊥MN于点G，
∵∠ABC＝90°，AN⊥MN，MN⊥BC，
∴四边形ABMN是矩形，
∴∠N＝∠M＝90°，AN＝BM，MN＝AB＝10，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADN+∠CDM＝90°，
∵∠ADN+∠NAD＝90°，
∴∠NAD＝∠CDM，
又∠N＝∠M＝90°，
∴△ADN∽△DCM，
∴＝＝＝＝，
∴AN＝2DM，DN＝2CM，
∵DC2＝CM2+DM2，
∴52＝CM2+（10﹣2CM）2，
∴CM＝5（不合题意舍去），CM＝3，
∴BM＝BC+CM＝5+3＝8＝AN，
由（2）知，∠AFH＝∠DEG，
又∵∠AHF＝∠EGD＝90°，
∴△DEG∽△AFH，
∴＝，
∵EG＝AN＝8，HF＝AB＝10，
∴＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，查阅资料知道桥拱半径为10m，测得水面宽AB＝16m.
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得 EF＝3m，EH＝12m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材2
问题解决
任务1
确定拱顶离水面的距离CD（C，D分别是弧AB和弦AB的中点）
求CD的长.
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
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