辽宁省葫芦岛市建昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省葫芦岛市建昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）方程x2﹣3x＝0根是（ ）
A．x＝﹣3B．x1＝0，x2＝﹣3
C．x＝3D．x1＝0，x2＝3
2．（2分）点（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（2，﹣5）C．（﹣2，﹣5）D．（5，﹣2）
3．（2分）一元二次方程x2﹣x+＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
4．（2分）等边三角形、平行四边形、直角三角形、五边形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形
C．直角三角形D．五边形
5．（2分）关于抛物线y＝﹣x2﹣2x的叙述，正确的是（ ）
A．开口向下，对称轴是直线x＝﹣1
B．开口向下，对称轴是直线x＝1
C．开口向上，对称轴是直线x＝﹣1
D．开口向上，对称轴是直线x＝1
6．（2分）抛物线y＝﹣x2+4与y轴的交点坐标为（ ）
A．（4，0）B．（﹣4，0）C．（0，4）D．（0，﹣4）
7．（2分）关于中心对称的描述不正确的是（ ）
A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称
B．关于中心对称的两个图形是全等的
C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心
D．如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA＝OA′
8．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2
9．（2分）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5mB．7mC．10mD．13m
10．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过5分钟，分针旋转了 °．
12．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+4的顶点坐标是 ．
13．（3分）如图，∠AOB＝60°，把∠AOB绕点O按逆时针方向旋转得到∠COD，若∠AOD＝32°，则∠AOC＝ ．
14．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图所示，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为 ．
16．（3分）如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB，AP为边在∠ABC的内部作等边△ABD和等边△APE，连接ED并延长交BP于点F，下列结论：①BP＝DE；②EP⊥BF；③△BFD是等腰三角形；④∠BDF＝30°；⑤PE2＝BP2+AD2．正确的有 （填序号）．
三、解答题（第17题6分，第18题6分，19题8分，共20分.）
17．（6分）解方程x2﹣2x﹣1＝0．
18．（6分）已知抛物线的顶点是（1，﹣3），与y轴交于点（0，﹣1），求该抛物线的解析式．
19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，以O为原点建立平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A（3，1），B（1，4）．
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中画出△A1OB1，则点A1的坐标是 ．
（2）△A2OB2与△AOB关于点O成中心对称，请画出△A2OB2．
（3）连接A1A2，则△A1OA2的面积是 ．
四、解答题（第20题10分，第21题10分，共20分.）
20．（10分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件．
（1）求该快递点这三天揽件日平均增长率．
（2）按这个增长率计算，第四天揽件数约为 （取整数）．
（3）按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长 （填“能”或“不能”）．
21．（10分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）求这条抛物线与x轴交点的坐标．
（2）在平面直角坐标系中画出这条抛物线的草图．
根据图象回答：
（3）当y＞0时，x取值范围是 ．
（4）当x取值满足 时，y随x的增大而减小．
五、解答题（满分10分）
22．（10分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，C是AB边上一点（点C与A，B不重合），连结OC，将线段OC绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OD，连结CD交OB于点E，连结BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）当BE＝AC时，求∠BDE的度数．
六、解答题（满分10分）
23．（10分）疫情结束后，实体经济复苏．某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售，一个月可售500件，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10件．
（1）求月销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元/件）之间的函数解析式．
（2）求当销售单价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为多少元？
七、解答题（满分10分）
24．（10分）已知正方形ABCD和△ABE（点C，D，E在直线AB同侧），把△ABE绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADF，由旋转的性质，可知△ADF≌△ABE，延长BE交DF于点G．
（1）如图1，若点E在正方形ABCD边AD上（∠BAE＝90°），则BE与DF的位置关系是 ．
（2）如图2，若点E在正方形ABCD内部（∠BAE＜90°，∠BEA＜90°）．
①（1）的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②若BG＝6，DG＝2，请直接写出线段AG的长．
八、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）．
①用含m的式子表示：PD＝ ，DE＝ ．
直接用①的结论求解②③：
②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标．
③若PE＝2DE，求点P的坐标．
（3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
2023-2024学年辽宁省葫芦岛市建昌县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【解答】解：∵x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
2．【解答】解：点（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
3．【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝﹣2＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
4．【解答】解：等边三角形、直角三角形、五边形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
平行四边形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
5．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x中，a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
故选项A正确．
故选：A．
6．【解答】解：令x＝0时，y＝4，
∴抛物线y＝﹣x2+4与y轴的交点坐标为 （0，4），
故选：C．
7．【解答】解：A、一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故本选项错误；
B、关于中心对称的两个图形是全等的，故本选项正确；
C、关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故本选项正确；
D、根据中心对称的性质可得此说法正确，故本选项正确．
故选：A．
8．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：B．
9．【解答】解：观察图象，当t＝3时，h＝13，
∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．
10．【解答】解：如图：
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵图象交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣，
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错；
∵b＝﹣2a，
∴b+2a＝0，故②对；
∵图象与x轴两个交点，
∴Δb2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对；
根据图像可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0），
故图象与x轴交点在﹣1和3之间，且开口向下，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对；
由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤对；共四个对，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
∴时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，
∴经过5分钟，分针旋转了5×6°＝30°．
故答案为：30．
12．【解答】解：抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+4的顶点坐标是（1，4）．
故答案为：（1，4）．
13．【解答】解：∵∠AOB＝60°，把∠AOB绕点O按逆时针方向旋转得到∠COD，
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
又∵∠AOD＝32°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝60°﹣32°＝28°，
故答案为：28°．
14．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0
解得：m＜1，
故答案为：m＜1．
15．【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+（）2＝x2，
故答案为：（x﹣1）2+（）2＝x2．
16．【解答】解：∵△ABD和△APE是等边三角形，
∴AB＝AD，AP＝AE，∠BAD＝∠PAE＝∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠BAD﹣∠PAD＝∠PAE﹣∠PAD，
∴∠BAP＝∠DAE，
在△ABP和△ADE中，
，
∴△ABP≌△ADE（SAS），
∴BP＝DE，故①正确；
∵△ABP≌△ADE，
∴∠ABP＝∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴∠ABP＝∠ADF＝90°，
∴∠ABP﹣∠ABD＝∠ADF﹣∠ADB，
∴∠DBF＝∠BDF＝30°，故④正确；
∴BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，故③正确；
∵∠ADE＝90°，
∴AE2＝DE2+AD2，
∵DE＝BP，PE＝AE，
∴PE2＝BP2+AD2，故⑤正确；
∵∠APE＝60°，∠APB不一定等于30°，
∴∠BPE不一定等于90°，
∴EP⊥BF不一定成立，故②不一定正确，
综上所述：正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
三、解答题（第17题6分，第18题6分，19题8分，共20分.）
17．【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
移项，得x2﹣2x＝1，
配方，得x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
，
∴，．
18．【解答】解：设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点（0，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2﹣3 得：
（0﹣1）2a﹣3＝﹣1，
a﹣3＝﹣1，
a＝2，
∴该抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣3．
19．【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求．
点A1的坐标为（﹣1，3）．
（2）如图，△A2OB2即为所求．
（3）△A1OA2的面积为＝5．
故答案为：5．
四、解答题（第20题10分，第21题10分，共20分.）
20．【解答】解：（1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2＝242，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：该快递点这三天揽件日平均增长率为10%；
（2）根据题意得：242×（1+10%）＝266.2（件）≈266（件）．
∴按这个增长率计算，第四天揽件数约为266件．
故答案为：266；
（3）根据题意得：这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长．
故答案为：不能．
21．【解答】解：（1）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
则抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）；
（2）列表：
；
（3）当y＞0时，x取值范围是x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3；
（4）当x＜2时，y随x的增大而减小．
故答案为：x＜2．
五、解答题（满分10分）
22．【解答】（1）证明：由旋转得OC＝OD，∠COD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣∠BOC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
（2）解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠OBA＝45°，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OBD＝∠A＝45°，
∵BE＝AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED＝×（180°﹣∠OBD）＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BDE的度数是67.5°．
六、解答题（满分10分）
23．【解答】解：（1）由题意，得：
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000．
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）∵y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，y有最大值，最大值为9000，
∴当销售单价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元；
（3）由题意，得8000＝﹣10x2+1400x﹣40000，
解得：x1＝60，x2＝80．
答：销售单价应定为60元或80元．
七、解答题（满分10分）
24．【解答】解：（1）∵△ABE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD＝90°，
∴∠ABE+∠AFD＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴BE⊥DF．
故答案为：BE⊥DF；
（2）①（1）的结论还成立．
证明：如图，BE与AD交于点O，
∵把△ABE绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵∠BOA＝∠DOG，
∴∠BAD＝∠DGO＝90°，
∴BG⊥DF；
②连接BD，
∵BG＝6，DG＝2，∠BGD＝90°，
∴BD＝＝＝2，
∴AB＝BD＝2，
过点A作AM⊥BG于点G，AN⊥DF于点N，
∵∠ABM＝∠ADN，∠AMB＝∠AND，AB＝AD，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴MA＝AN，
∴∠AGN＝∠AGM，
∴∠AGM＝45°，
∴∠AGM＝∠GAM，
∴AM＝MG，
设AM＝x，则BM＝6﹣x，
∵BM2+AM2＝AB2，
∴，
∴x＝4或x＝2，
∴AM＝4或2，
∴AG＝4或2．
八、解答题（满分12分）
25．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则点E（m，﹣m+3），
则PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m；
①则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3；
故答案为：﹣m2+2m+3，﹣m+3；
②若PE＝DE，则﹣m2+3m＝﹣m+3，
解得：m＝3（舍去）或1，
即点P（1，4）；
③若PE＝2DE，则﹣m2+3m＝﹣2m+6，
解得：m＝3（舍去）或2，
即点P（2，3）；
（3）设点F（m，﹣m2+2m+3），点G（x，0），
当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3，
解得：m＝0（舍去）或2，
即点F（2，3）；
当BF或BG为对角线时，同理可得：
3＝﹣m2+2m+3或0＝﹣m2+2m+3+3，
解得：m＝0（舍去）或2或1，
故点F的坐标为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．
综上，点F的坐标为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．