山西省运城市2023-2024学年高三上学期11月期中调研数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省运城市2023-2024学年高三上学期11月期中调研数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了11，答题时使用0，保持卡面清洁，不折叠，不破损， 已知，若，则， 定义在上的函数满足，，若，则， 已知向量，，则， 已知，，且，则等内容，欢迎下载使用。

2023.11
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据的性质、复数的除法运算可得答案.
【详解】，
所以的虚部为.
故选：C.
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，进而根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
3. 已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，结合向量夹角的运算，求解即可.
【详解】依题意，在方向上的投影向量为：
，
又因为，，代入上式，
所以在方向上的投影向量为：.
故选：A.
4. 已知一个正四棱台的上下底面边长为、，侧棱长为，则棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积.
【详解】
如图所示，
由正四棱台可知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以，
所以，
故选：D.
5. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可解题.
【详解】，
若，则，
所以，
又因为，则，所以.
故选：B.
6. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，求出导函数，可求得极值点分别为或，再分类讨论，确定原函数的单调区间，结合极小值的定义，从而可得实数的取值范围.
【详解】因为，则函数的定义域为，
则，
令，解得：或，
当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去；
当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；
当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意.
故选：C.
7. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的定义写出通项公式和前n项和，将问题化为恒成立，应用基本不等式求右侧最小值，注意取值条件，即可得参数范围.
【详解】由题设，是首项、公比都为2的等比数列，故，，
所以，即，，，
所以恒成立，而，当且仅当时等号成立，
又，当，时；当，时；
综上，即实数的取值范围为.
故选：D
8. 定义在上的函数满足，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得函数为奇函数、周期函数，计算出、、，再利用周期性可得答案.
【详解】因为，，
所以，即，所以的周期为，
且，可得，
再由可得，，
，，又，
所以，所以为奇函数，
所以，
因为，所以，，
，
所以
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由已知得出函数为奇函数、周期函数.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与夹角为锐角，则且
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据两向量垂直时，数量积为零判断即可；对于B，根据两向量平行时，由 判断即可；对于C，根据两向量夹角为锐角时，其数量积大于零判断即可；对于D，根据向量模的坐标运算求解即可.
【详解】对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得或，故B错误；
对于C，若与夹角为锐角，则，即，且，解得且，故C正确；
对于D，因为，故D正确.
故选：ACD
10. 已知，，且，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由可得，进而利用消元法结合不等式的性质判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用基本不等式结合对数运算、对数函数的性质即可判断C；利用消元法结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，由，得，即，
则，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；
对于C，由，即，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，故C正确；
对于D，，
由A知，，
所以当时，取得最小值，即，故D错误.
故选：BC.
11. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为等比数列
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用递推公式求出可判断A；由可判断B；由，利用等比数列的求和公式可判断C；由递推公式可得，再由由累加法可判断D.
【详解】对于A，因为，，则，
，则，，则，故A正确；
对于B，，所以，，所以，
，故不是等比数列，故B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D，由可得，
由，两式相减可得：，
所以，，，……，
，
上式相加可得：，
，
又因为，所以，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A. 直线平面
B.
C. 过，，三点的平面截正方体的截面面积为
D. 三棱锥的外接球半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据，利用线面平行的判定定理即可证明；对于B，通过平面，得到，同理得到，进而可得平面，再根据锥体得体积公式即可判断；对于C，首先得到截面图象，求出面积即可；对于D，由B选项可知，平面，且过外接圆的圆心，则三棱锥的外接球的球心在上，设球心为点，以点为原点建立空间直角坐标系，求出圆心坐标，即可得出半径.
【详解】对于A，如下图，连接,

因为点，分别是棱，的中点，则,
又，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，如下图：连接交平面于点，连接，

正方体中易知，平面，平面,
则，
又正方形中，平面，
所以平面，又平面，
所以，
同理可证：，又平面，
所以平面，
易得,
故四面体为正四面体，为的重心，
又棱长1，所以，
则
则，故B正确；
对于C，如图所示，由A选项可知等腰梯形即为所求截面，

又，则高为,
所以，故C错误；
对于D，由B选项可知，平面，且过外接圆的圆心，
则三棱锥的外接球的球心在上，设球心为点，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
则，所以，
由，
得，解得，
所以三棱锥的外接球半径为，
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 等差数列的前项和为，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差中项的性质，以及等差数列的前项和公式，计算即可.
【详解】由等差中项的性质得：，所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知复数满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得复数表示以为圆心，1为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得到结果.
【详解】设，∵，
∴，表示以为圆心，1为半径的圆，
∴，表示圆上的点到点的距离，
∴的最小值为.
故答案为：.
15. 已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答.
【详解】因为，函数的单调区间为，
由，而，得，
因此函数在区间上单调，
因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调，
于是，则，解得，
由，且，解得，又，从而或，
当时，得，又，即有，当时，得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知函数有三个不同的零点，则实数的范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义、函数零点的定义分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，，，
当时，只有一个零点，不符合题意，故.
∵，
且当时有且只有一个零点，
∴函数有三个不同的零点等价于
函数有两个不同的零点，
即与有两个不同的交点.
如上图，当与相切时，设切点为，
则由解得：，则.
如上图，由与有两个不同的交点知
，解得：，
∴实数的范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数范围的方法：
1.利用零点的个数结合函数的单调性构建不等式求解.
2.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
3.分离参数（）后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，18-22各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的图象关于直线对称.
（1）求证：函数为奇函数.
（2）将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，求的单调递增区间.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数图象关于对称，求，进而得到函数解析式，从而证明；
（2）由函数图象的变换规律，得到的解析式，即可求出单调增区间.
【小问1详解】
因为的图象关于直线对称，
所以，
得，，因为，所以当时，，
所以，
所以，
因为，
所以为奇函数成立.
【小问2详解】
由（1）可得：，
将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，
则
由可得，
，
故函数的单调递增区间是
18. 已知递增的等差数列满足，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明数列的前项和.
【答案】18.
19. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的等比中项求解，得到 数列的通项公式.
（2）利用错位相减，计算数列的前项和，根据判断大小.
小问1详解】
设等差数列的公差为，由题可知，
因为，所以，
又是与的等比中项，所以，
即，得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
由（1）知：
所以数列的前项和
①
①得：②
两式相减得：
，
化简得：.
因为，所以，所以.
19. 在中，，，分别为角，，所对的边，为的面积，且．
（I）求角的大小；
（II）若，，为的中点，且，求的值．
【答案】（I）；（II）．
【解析】
【分析】（I）利用正余弦定理及面积公式，代入对应公式得，解得，（II）为的中点，利用向量，再根据余弦定理得，解得，，最后根据正弦定理可得解.
【详解】（I）由已知得，
∴.
即.
∴.
又∵，，
（II）由得：
，又∵为的中点，∴，，
∴，即
又∵，
∴.
又∵，∴，，
∴.
20. 如图①，在等腰梯形中，,分别为的中点，，为的中点．现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体．在图②中：

（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠前后垂直的关系不变可得，由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直性质可得；
（2）根据面面垂直性质可知以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可得平面与平面夹角的余弦值为.
【小问1详解】
由题意知在等腰梯形中，，
又分别为的中点，所以，
即折叠后，
，所以平面，
又平面，
所以．
【小问2详解】
∵平面平面，平面平面，且，
所以平面，平面,
，两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
易知，
所以，
则
设平面的法向量，
则，取，则，得；

设平面的法向量
则，取，则，可得，
，由图易知平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21. 已知函数在点处的切线为：，函数在点处的切线为：.
（1）若，均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系.
（2）当时，若，此时的最大值记为m，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数结合点斜式求解切线方程，根据切线经过原点即可求解；
（2）构造，求导确定单调性即可求解.
【小问1详解】
由题可得，，
：，：，
因为均过原点，所以，
因为均过原点，所以，
所以.
【小问2详解】
由题，，
记，
，记，
在单调递减，且，，
使得，即，
且在上单调递增，在上单调递减.
，∵，
又∵，
故得证.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】含参数的单调性讨论问题，求导后分情况讨论根的个数与大小即可.
指对同构问题，将所求不等式变形，构造新函数，再利用单调性求解.
【小问1详解】
的定义域是，
令
当时，∵，∴
∴，∴在单调递增
当时，，若，即时，，
∴，∴在单调递减
若，即时，令，
解得，，
易得在单调递减，在单调递增，在单调递减，
综上所述：当时，在单调递增
当时，在单调递减，在单调递增，
在单调递减，当时，在单调递减
【小问2详解】
解法一：
由题易得
令，有在为增函数
原式等价于，
即
即，令
由（1）知时，在为减函数，
∴，∴
解法二：
由题易得
令，有在为增函数
原式等价于，即
设对恒成立
首先，即，
下面证明时，恒成立
由（1）知，当时，，，此题的证
∴.
【点睛】本题第一问属于含参数的单调性讨论问题，先求导，再用参数讨论方程的根个数与大小，得出不等式的解集即为函数的单调区间；第二问属于指对同构类问题，一般指数和对数函数同时出现时考虑指对同构，再构造新函数，利用单调性求参数的范围即可.