人教A版高中数学选择性必修第一册第2章微专题2与圆有关的最值问题学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第2章微专题2与圆有关的最值问题学案，共9页。
微专题2　与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：(1)借助几何性质求最值①形如μ＝y-bx-a的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养． 类型1　与距离有关的最值问题【例1】　(1)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为(　　)A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　)A．－9，1 B．－10，1C．－9，2 D．－10，2(1)A　(2)A　[(1)计算得圆心(0，0)到直线l：x－y－2＝0的距离为22＝2>1，如图．直线l与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.(2)y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时2×2+b1+22＝5，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9．] 类型2　与面积有关的最值问题【例2】　在△ABO中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．[解]　以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，则r＝OA+OB-AB2＝1.∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝2x－1.①又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25，②∴将①代入②，得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为πPA22＋πPB22＋πPO22＝π4(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112π，最小值为92π. 类型3　由数学式的几何意义求解最值问题【例3】　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；(3)求x＋y的最大值与最小值．[解]　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.(1)yx表示圆上的点P与原点连线的斜率，如图1，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径长，可得3k-3k2+1＝2，解得k＝9±2145，所以yx的最大值为9+2145，最小值为9-2145.(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．如图2，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.又|CE|＝3+12+32＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图3，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则3+3-b12+12＝2，即|6－b|＝22，解得b＝6±22，所以x＋y的最大值为6＋22，最小值为6－22.微专题强化练(二)　与圆有关的最值问题一、选择题1．(2022·安徽省池州一中期中)若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为(　　)A．36π5 B．185π5C．125π5 D．65π5D　[由题意知，圆C的半径r＝m2+2m2-4m-22＝5m-252+3652≥12×655＝355，当且仅当m＝25时等号成立，则圆C的最小周长为2πrmin＝65π5．]2．(2022·重庆市巴蜀中学月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　)A．0 　　　B．2　　　C．22 　　　D．4C　[根据题意，圆C：x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4，圆心C的坐标为(2，0)，半径r＝2，直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0，即m(x－y)＋(－2x＋y＋1)＝0，由x-y=0， -2x+y+1=0，解得x=1，y=1，则直线l恒过定点M(1，1)，又(1－2)2＋12＝20，n>0)，则mn3m+n的最大值为________．－1　316　[圆C的方程可化为[x＋(a－1)]2＋(y－6)2＝－a2－2a＋37.当a＝－1时，－a2－2a＋37＝－(a＋1)2＋38取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大，此时，圆心坐标为(2，6)，且圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，故点(2，6)在直线l上，所以2m＋6n－6＝0，即m＋3n＝3，又mn3m+n＝11m+3n，1m＋3n＝13(m＋3n)1m+3n＝1310+3nm+3mn≥1310+23nm×3mn＝163，当且仅当3nm＝3mn，即m＝n＝34时取等号，所以mn3m+n＝11m+3n≤316，故mn3m+n的最大值为316．]三、解答题9．已知P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．[解]　如图所示，设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)．线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，则点R的坐标为(－y，x)，则|QR|＝18-x+y2+-y-x2＝2·x-92+y+92.∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2上的点，∴x-92+y+92的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离．连接PM，当|PM|最小时，|QR|也最小；当|PM|最大时，|QR|也最大．连接MC，则|PM|min＝||MC|－r|＝|9-52+-9-52－r|＝|253－r|，|PM|max＝|MC|＋r＝253＋r.∴|QR|min＝2|253－r|，|QR|max＝2(253＋r)．