人教A版高中数学选择性必修第一册第3章微专题3轨迹问题学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第3章微专题3轨迹问题学案，共7页。

微专题3　轨迹问题求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程． 类型1　直接法求轨迹方程【例1】　已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－35，则顶点C的轨迹方程为________．x225＋y215＝1(y≠0)　[设点C(x，y)，则kAC·kBC＝yx+5×yx-5＝y2x2-25(y≠0)，所以y2x2-25＝－35(y≠0)，化简得x225＋y215＝1(y≠0)．] 类型2　定义法求轨迹方程【例2】　已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．[解]　如图，设圆P的半径为r，又因为圆P过点B，所以|PB|＝r.又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)，所以圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．所以2a＝10，2c＝|AB|＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.所以圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1. 类型3　相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】　已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－3，0)的距离与它到定直线l：x＝－433的距离之比为常数32.(1)求动点M的轨迹Γ的方程；(2)设点A1，12，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．[解]　(1)设动点M(x，y)，由已知可得x+32+y2＝32x+433，即x2＋23x＋3＋y2＝34x2+833x+163，化简得x24＋y2＝1，即所求动点M的轨迹Γ的方程为x24＋y2＝1.(2)设点B(x，y)，点P(x0，y0)，由x=x0+12，y=y0+122，得x0=2x-1，y0=2y-12 ，由点P在轨迹Γ上，得2x-124＋2y-122＝1，整理得x-122＋4y-142＝1，∴线段PA的中点B的轨迹方程是x-122＋4y-142＝1.微专题强化练(三)　轨迹问题一、选择题1．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝15，则动点M的轨迹是(　　)A．直线 　　　B．圆　　　C．椭圆 　　　D．线段C　[因为|MF1|＋|MF2|＝15>8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．故选C．]2．曲线方程x2+y+42＋x2+y-42＝10的化简结果为(　　)A．x225＋y216＝1 B．y225＋x216＝1C．x225＋y29＝1 D．y225＋x29＝1D　[曲线方程x2+y+42＋x2+y-42＝10，其几何意义是动点(x，y)到定点(0，－4)和定点(0，4)的距离之和等于10，符合椭圆的定义．定点(0，－4)和定点(0，4)是椭圆的两个焦点．因此可得椭圆标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，其中2a＝10，所以a＝5，又c＝4，所以b＝a2-c2＝3，所以曲线方程的化简结果为y225＋x29＝1.故选D．]3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)A．x236＋y220＝1(x≠0)B．x220＋y236＝1(x≠0)C．x26＋y220＝1(x≠0)D．x220＋y26＝1(x≠0)B　[由|AB|＋|AC|＝12>|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆．设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)，则c＝4，a＝6，所以b2＝a2－c2＝20，所以椭圆方程为x220＋y236＝1.又因为A，B，C三点要构成三角形，所以点A的轨迹方程为x220＋y236＝1(x≠0)．故选B．]4．已知在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan ∠CAB·tan ∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为(　　)A．x24＋y28＝1 B．x24＋y28＝1(x≠±2)C．x24－y28＝1 D．x28＋y24＝1(x≠±2)B　[设C(x，y)，由斜率公式可得kCA＝yx+2，kCB＝yx-2.由斜率与倾斜角的关系，结合tan ∠CAB·tan ∠CBA＝2可得yx+2×-yx-2＝2，即x24＋y28＝1.当x＝±2时，tan ∠CAB或tan ∠CBA不存在，不合题意，所以点C的轨迹方程为x24＋y28＝1(x≠±2)．故选B．]5．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，O为坐标原点，且|AB|＝5，OM＝35OA＋25OB，则点M的轨迹方程为(　　)A．x29＋y24＝1 B．y29＋x24＝1C．x225＋y29＝1 D．y225＋x29＝1A　[设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由OM＝35OA＋25OB，可得(x，y)＝35(x0，0)＋25(0，y0)，则x=35x0，y=25 y0，解得x0=53 x，y0=52 y，因为|AB|＝5，所以53x2＋52 y2＝25，即x29＋y24＝1.故选A．]二、填空题6．已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．x2＋y22＝1　[设Q(x，y)，由于Q是OP中点，故P(2x，2y)，代入椭圆方程得2x24＋2y28＝1，化简得x2＋y22＝1.即Q点的轨迹方程为x2＋y22＝1．]7．如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，则动圆圆心P的轨迹方程为________．x216＋y27＝1　[设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，所以其轨迹方程为x216＋y27＝1．]8．已知P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足OQ＝PF1+PF2，则动点Q的轨迹方程是________．x24a2＋y24b2＝1　[设Q(x，y)，∵OQ＝PF1+PF2，∴OP＝－12OQ＝-x2，-y2，∵P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，∴x24a2＋y24b2＝1，∴x24a2＋y24b2＝1．]三、解答题9．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求曲线C的标准方程；(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?[解]　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝23.所以曲线C的标准方程为x216＋y212＝1.(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，∴x-22+y2＝3，∴x-22+y2 =9，x216+y212=1， -4≤x≤4， ∴x＝2，y＝±3.∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．