人教A版高中数学选择性必修第一册第3章微专题4破解圆锥曲线的离心率问题学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册第3章微专题4破解圆锥曲线的离心率问题学案，共10页。
微专题4　破解圆锥曲线的离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；(2)由a，b的关系求离心率e＝1-b2a2(椭圆)或e＝1+b2a2(双曲线)；(3)由已知条件得关于a，b的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；(4)通过特殊值或特殊位置求离心率； (5)在焦点三角形内求离心率． 类型1　定义法【例1】　(1)(2022·山东省聊城市模拟)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．(2)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为________．(1)3－1　(2)53　[(1)设椭圆左、右焦点分别为F1，F，点A在第一象限，如图所示．由题意知，|OA|＝12|F1F|，所以△F1AF是直角三角形，|AF|＝c，所以|AF1|＝3c，2a＝3c＋c，所以ca＝23+1＝3－1.(2)由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，由|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则有(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝9b2－9ab＝4a2，即有(3b－4a)(3b＋a)＝0.所以3b＝4a，所以ba＝43，则e＝ca＝1+ba2＝1+169＝53．] 类型2　几何法【例2】　设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)A．33 　　　B．36　　　C．13 　　　D．16A　[如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝3|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝3PF22，2c＝|F1F2|＝3|PF2|，即c＝3PF22，则e＝ca＝3PF22·23PF2＝33．] 类型3　寻求齐次方程求离心率【例3】　(1)(2022·江西省上饶市模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是(　　)A．3 B．2C．2或3 D．1＋3(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．(1)D　(2)5-12　[(1)由题意易知F(－c，0)，A(a，0)，设B(0，b)，则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2.由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|，即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得c2－2a2－2ac＝0，又e＝ca，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±3，又双曲线中e>1，所以e＝1＋3.(2)在△ABF中，|AB|＝a2+b2，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝-1±52.因为00)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．22，1　[法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|≤a，由F1(－c，0)，F2(c，0)知MF1＝(－c－x0，－y0)，MF2＝(c－x0，－y0)，∵∠F1MF2＝90°，∴MF1·MF2＝-c+x0c-x0+y02＝0，即x02+y02＝c2.又点M在椭圆上，即y02＝b2－b2a2x02，∴x02+y02＝b2＋c2a2x02∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2≥12，又012，又e2＝c2a2＝c2c2+4＝1－4c2+4，则e2>34，又01，∴1b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．3－1　[如图所示，连接F1N，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N.法一：∵|NF2|＝|OF2|＝c，∴|NF1|＝F1F22-NF22＝4c2-c2＝3c，由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，∴3c＋c＝2a，则a＝3+1c2，∴e＝ca＝23+1＝3－1.法二：注意到在焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由正弦定理可得2csin ∠F1NF2＝F1Nsin ∠F1F2N＝F2Nsin ∠NF1F2，即2csin90°＝F1Nsin60°＝F2Nsin30°，∴2csin90°＝F1N+F2Nsin30°+sin60°＝2asin30°+sin60°，故e＝ca＝sin90°sin30°+sin60°＝112+32＝3－1．]6．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的内接△ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点为F，线段AB的中点为K，且CF＝2FK，则椭圆离心率的取值范围是________．0，33　[由题意可设B(0，b)，F(c，0)，线段AB的中点为K，且CF＝2FK，可得F为△ABC的重心，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由重心坐标公式可得，x1＋x2＋0＝3c，y1＋y2＋b＝0，设AC的中点为M(x，y)，可得x＝x1+x22＝3c2，y＝y1+y22＝－b2，即M3c2，-b2，由题意可得点M在椭圆内，可得9c24a2＋14