人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-1-1变化率问题课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章5-1-1变化率问题课时学案，共16页。

一元函数的导数及其应用5.1　导数的概念及其意义5.1.1　变化率问题1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝-4.9t2＋6.5t＋10．那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？知识点1　平均变化率对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1．(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．(3)平均变化率ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1＝fx1+Δx-fx1Δx．Δy，Δx可正，可负，但Δx≠0．知识点2　瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．知识点3　割线斜率与切线斜率(1)割线与切线的关系如图所示，当点Pn(xn，f (xn))沿着曲线无限接近点P(x0，f (x0))时，割线PPn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线．(1)　　　　　　　　(2)(3)　　　　　　　(4)(2)割线与切线的斜率①设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率fx-fx0x-x0＝fx0+Δx-fx0Δx为割线P0P的斜率．②当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．(1)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？(2)如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？[提示]　(1)不一定．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，其他曲线与其切线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．如图．(2)当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s(t)＝5t2，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为20 m/s．　 (　　)(2)汽车在行驶时的平均速度与瞬时速度一定不相等． (　　)[答案]　(1)√　(2)×[提示]　(2)当汽车匀速行驶时，平均速度与瞬时速度相等．2．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2．那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s．2　[ΔhΔt＝0.9t0+Δt2-0.9t02Δt＝1.8Δtt0+0.9Δt2Δt＝0.9Δt＋1.8t0．当Δt→0时ΔhΔt→1.8 t0．即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2．]3．过曲线y＝f (x)＝x2图象上一点(2，4)及邻近一点(2＋Δx，4＋Δy)作割线，则当Δx＝12时割线的斜率为________，在点(2，4)处的切线斜率为________．92　4　[当Δx＝12时，割线的斜率k1＝2+122-412＝92，在(2，4)处切线斜率k2＝limΔx→02+Δx2-22Δx＝limΔx→04+Δx＝4．] 类型1　求平均变化率【例1】　(1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为(　　)A．12 B．－12C．2 D．－2(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．(1)B　(2)－4－2Δx　[(1)ΔyΔx＝f5-f15-1＝1-35-1＝－12．故选B．(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，所以平均变化率为ΔyΔx＝-2Δx2+ΔxΔx＝－4－2Δx．]　1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1．2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0+Δx-fx0Δx的形式．[跟进训练]1．(源于人教B版教材)已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t＝0.1时，x＝0.25；t＝0.5时，x＝2.25．(1)求这个物体在时间段[0.1，0.5]内的平均速度；(2)估计出t＝0.2时物体的位移．[解]　(1)所求平均速度为2.25-0.250.5-0.1＝20.4＝5(m/s)．(2)将x在[0.1，0.5]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为5，且直线经过点(0.1，0.25)，因此，x与t的关系可近似地表示为x－0.25＝5(t－0.1)．在上式中令t＝0.2，可求得x＝0.75，即t＝0.2时物体的位移可以估计为0.75 m． 类型2　求瞬时速度【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．[思路引导]　计算物体在[解]　∵ΔsΔt＝s1+Δt-s1Δt＝1+Δt2+1+Δt+1-12+1+1Δt＝3＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→03+Δt＝3．∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s．[母题探究]1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵ΔsΔt＝s0+Δt-s0Δt＝0+Δt2+0+Δt+1-1Δt＝1＋Δt，∴limΔt→01+Δt＝1．即物体的初速度为1 m/s．2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s．[解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s．又ΔsΔt＝st0+Δt-st0Δt＝2t0＋1＋Δt．limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→02t0+1+Δt＝2t0＋1．则2t0＋1＝9，∴t0＝4．则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s．　求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))．(2)求平均速度：v＝ΔsΔt．(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，ΔsΔt→v(常数)．[跟进训练]2．(1)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)A．－3 B．3C．6 D．－6(2)质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是(　　)A．2 m/s B．6 m/sC．4 m/s D．8 m/s(1)D　(2)D　[(1)v＝limΔt→0-3Δt-6＝－6．(2)v＝limΔy→022+Δt2+3-2×22+3Δt＝limΔt→08Δt+2Δt2Δt＝limΔt→08+2Δt＝8(m/s)．] 类型3　求函数在某点的切线斜率或方程【例3】　(1)已知函数y＝x－1x，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．[思路引导]　求切线斜率及方程可按下列顺序进行：求平均变化率→求瞬时变化率即斜率→求出切线方程．(1)2　[∵Δy＝(1＋Δx)－11+Δx－1-11＝Δx＋1－11+Δx＝Δx＋Δx1+Δx，∴ΔyΔx＝Δx+Δx1+ΔxΔx＝1＋11+Δx，∴斜率k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01+11+Δx＝1＋1＝2．](2)[解]　显然点P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率为k＝limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝limΔx→01+Δx2+1-12+1Δx＝limΔx→0Δx2+2ΔxΔx＝limΔx→0Δx+2＝2．故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．　求函数y＝f (x)在点x0处的切线斜率的三个步骤[跟进训练]3．求曲线y＝x2－2x＋2在点(2，2)处的切线方程．[解]　∵Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx，k＝limΔx→02+Δx＝2．即曲线在点(2，2)处的切线斜率为2．∴切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0．1．函数f (x)＝x在区间[0，1]上的平均变化率为(　　)A．－1 B．1C．2 D．－2B　[f1-f01-0＝1-01＝1．故选B．]2．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为 (　　)A．6 B．18C．54 D．81B　[由题可得limΔt→033+Δt2-3×32Δt＝limΔt→018Δt+3Δt2Δt＝limΔt→018+3Δt＝18．故选B．]3．设函数f (x)在x＝1处切线斜率为2，则limΔx→0f1+Δx-f13Δx＝________．23　[根据条件知k＝limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝2，∴limΔx→0f1+Δx-f13Δx＝13limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝23．]4．过曲线y＝f (x)＝x1-x图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________，在点(2，－2)处的切线斜率为________．23　1　[割线的斜率k＝ΔyΔx＝f2+Δx-f2Δx＝f2.5-f20.5＝22.51-2.5-21-2＝23．limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f2+Δx-f2Δx＝limΔx→02+Δx1-2+Δx--2Δx＝limΔx→011+Δx＝1，故切线斜率为1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？[提示]　区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？[提示]　函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．(3)求函数y＝f (x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？[提示]　①求斜率：k＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx；②写方程：用点斜式y－f (x0)＝k(x－x0)写出切线方程；③变形式：将点斜式变为一般式．课时分层作业(十二)　变化率问题一、选择题1．某物体的运动方程为S＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为(　　)A．－6 B．2C．－2 D．6A　[平均速度为v＝5-2×22-5-2×122-1＝－6．故选A．]2．表示(　　)A．曲线y＝x2切线的斜率B．曲线y＝x2在点(1，1)处切线的斜率C．曲线y＝－x2切线的斜率D．曲线y＝－x2在(1，－1)处切线的斜率B　[当y＝f (x)＝x2时，limΔx→01+Δx2-1Δx＝limΔx→0f1+Δx-f1Δx，可知limΔx→01+Δx2-1Δx表示y＝f (x)＝x2在点(1，1)处的切线的斜率．故选B．]3．函数f (x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　)A．3 B．2C．1 D．4B　[由已知得：m2-1-12-1m-1＝3，∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2．]4．函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　)A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定A　[∵函数y＝f (x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为Δy1＝f(x0＋Δx)－f (x0)＝x0+Δx2-x02＝Δx(2x0＋Δx)，∴k1＝Δy1Δx＝2x0＋Δx．∵函数y＝f (x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy2＝f (x0)－f (x0－Δx)＝x02－(x0－Δx)2＝(Δx(2x_0 ) －Δx)，∴k2＝Δy2Δx＝2x0－Δx．∵k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，∴k1＞k2．]5．(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s＝s(t)＝12gt2，当Δt无限趋近于0时，s1+Δt-s1Δt无限趋近于9.8 m/s，那么下列说法不正确的是(　　)A．9.8 m/s是在0～1 s这段时间内的平均速度B．9.8 m/s是在1～(1＋Δt)s这段时间内的速度C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度D．9.8 m/s是物体从1～(1＋Δt)s这段时间内的平均速度ABD　[当Δt无限趋近于0时，平均速度s1+Δt-s1Δt无限趋近于该时刻的瞬时速度．故选ABD．]二、填空题6．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．(由大到小排列)v3＞v2＞v1　[∵v1＝st1-st0t1-t0＝kOA，v2＝st2-st1t2-t1＝kAB，v3＝st3-st2t3-t2＝kBC．又由图象得kOA＜kAB＜kBC，∴v3＞v2＞v1．]7．已知曲线y＝1x2上一点P(1，1)，则曲线在点P处的切线的斜率为________．－2　[曲线y＝1x2上一点P(1，1)，在点P处的切线的斜率为limΔx→011+Δx2-112Δx＝limΔx→0-Δx2-2Δx1+Δx2Δx＝limΔx→0-Δx-21+Δx2＝－2，所以点P处的切线的斜率为－2．]8．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________．1　[由已知，得s3-s23-2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．]三、解答题9．若函数f (x)＝ax2＋c，且f (x)在x＝1处的切线斜率为2，求a的值．[解]　∵f (1＋Δx)－f (1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx．∴k＝limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝limΔx→0aΔx2+2aΔxΔx＝limΔx→0aΔx+2a＝2a，即2a＝2，∴a＝1．10．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝1x中，平均变化率最大的是(　　)A．④ B．③C．② D．①B　[Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11+Δx＝－1013．∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B．]11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)A．1 B．12C．－12 D．－1A　[因为limΔx→0a1+Δx2-a×12Δx＝limΔx→02aΔx+aΔx2Δx＝limΔx→02a+aΔx＝2a，所以2a＝2，所以a＝1．]12．(多选)在曲线y＝13x3－x＋1的所有切线中，斜率的可能取值为(　　)A．－2 B．－1C．1 D．2BCD　[因为y＝13x3－x＋1＝f (x)，所以k＝limΔx→013x+Δx3-x+Δx+1-13x3-x+1Δx＝x2－1．当x＝0时，k有最小值－1，故只要k≥－1即可，故选BCD．]13．一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________m/s，在t＝2时的瞬时速度是________m/s．7＋2Δt　7　[v＝ΔsΔt＝22+Δt2-2+Δt-2×22-2Δt＝2Δt2+7ΔtΔt＝7＋2Δt，v＝limΔt→07+2Δt＝7．]14．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解]　(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]，∵Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，∴ΔsΔt＝3Δt-Δt2Δt＝3－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→03-Δt＝3．∴物体的初速度为3．(2)取一时间段[2，2＋Δt]，∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，∴ΔsΔt＝-Δt-Δt2Δt＝－1－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0-1-Δt＝－1．∴此物体在t＝2时的瞬时速度为－1．15．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝π2附近的平均变化率哪一个大．[解]　当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝sinΔx-sin0Δx＝sinΔxΔx．当自变量从π2变到Δx＋π2时，函数的平均变化率为k2＝sinπ2+Δx-sinπ2Δx＝cosΔx-1Δx．由于是在x＝0和x＝π2附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2；当Δx＜0时，k1－k2＝sinΔxΔx－cosΔx-1Δx＝sinΔx-cosΔx+1Δx＝2sinΔx-π4+1Δx．∵Δx＜0，∴Δx－π4＜－π4，∴sin Δx-π4＜－22，从而有2sin Δx-π4＜－1，2sin Δx-π4＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2．综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝π2附近的平均变化率．学习任务1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象)2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算)3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象)