人教A版高中数学选择性必修第二册第5章微专题3导数构造法解决函数问题课时学案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第二册第5章微专题3导数构造法解决函数问题课时学案，共8页。

微专题3　导数构造法解决函数问题在考试中经常见到一类试题，即不给出解析式，而是给出函数f (x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型的处理方法：1．关系式为“加”型：(1)f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x) 构造[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)(2)xf ′(x)＋f (x)≥0构造[xf (x)]′＝xf ′(x)＋f (x)(3)f ′(x)＋f (x)≥0构造[exf (x)]′＝ex[f ′(x)＋f (x)]2．关系式为“减”型(4)f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)构造fxgx′＝f'xgx-fxg'xgx2(5)xf ′(x)－f (x)≥0构造fxx′＝xf'x-fxx2(6)f ′(x)－f (x)≥0构造fxex′＝f'xex-fxexex2＝f'x-fxex 类型1　关系式为“加”型【例1】　(1)已知函数f (x)的定义域为R，且对任意的x∈R，f ′(x)＋f (x)>0．则对任意正数a必有(　　)A．f (a)>eaf (0)　 B．f (a)f0ea(2)设f ′(x)是定义域为R的函数f (x)的导函数，f ′(x)<3，f (－3)＝－2，则f (x)>3x＋7的解集为(　　)A．(－∞，－1) B．(－∞，－3)C．(－3，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)(3)已知y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式xf ′(x)＋f (x)<0成立，若a＝30.3·f (30.3)，b＝logπ3·f (logπ3)，c＝log319·f (log319)，则a，b，c的大小关系是________．(4)设f (x)，g(x)是R上的可导函数，f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)<0，g(－3)＝0，求不等式f (x)g(x)<0的解集．(1)D　(2)B　(3)c>b>a　[(1)构造函数F (x)＝exf (x)，则F ′(x)＝ex[f ′(x)＋f (x)]>0，故F (x)在R上单调递增，又a>0，所以F (a)>F (0)，即eaf (a)>e0f (0)，所以f (a)>f0ea，故选D．(2)因为f ′(x)<3，即f ′(x)－3<0，设函数g(x)＝f (x)－3x，g′(x)＝f ′(x)－3<0，则g(x)在R上单调递减，又f (－3)＝－2，所以g(－3)＝f (－3)－3×(－3)＝7，不等式f (x)>3x＋7转化为：f (x)－3x>7，即g(x)>g(－3)，所以x<－3．(3)令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)．由条件知，x>0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f (x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减．又log319b>a．](4)[解]　因为f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)的原函数为f (x)g(x)，构造新函数h(x)＝f (x)g(x)可知h′(x)<0，h(x)单调递减，又因为g(－3)＝0，即h(－3)＝0，所以f (x)g(x)<0的解集是(－3，＋∞)． 类型2　关系式为“减”型【例2】　(1)设f (x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，则当af (b)g(b)B．f (x)g(b)>f (b)g(x)C．f (x)g(a)>f (a)g(x)D．f (x)g(x)>f (a)g(x)(2)设函数f ′(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)(3)若可导函数f (x)(x∈R)满足f ′(x)－f (x)>0，比较f (1)与ef (0)的大小为f (1)________ef (0)．(1)B　(2)A　(3)>　[(1)设F (x)＝fxgx，则F ′(x)＝f'xgx-fxg'xgx2，由f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)<0，得F ′(x)<0，所以F (x)为减函数．因为af (b)g(x)．(2)构造函数g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf'x-fxx2，因为当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为f (x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0．当00，则f (x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f (x)>0，综上所述，使得f (x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．(3)构造F (x)＝fxex，则F ′(x)＝f'xex-exfxex2＝f'x-fxex>0，所以F (x)是R上的单调递增函数，因此F (1)>F (0)，即f1e>f0e0，f (1)>ef (0)．]微专题强化练(三)　导数构造法解决函数问题一、选择题1．函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f (x)>2x＋4的解集为(　　)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)B　[f (x)>2x＋4⇒f (x)－2x>4，令g(x)＝f (x)－2x，g′(x)＝f ′(x)－2>0，所以g(x)为R的单调递增函数，又因为g(－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．]2．已知f ′(x)是定义在R上的函数f (x)的导函数，且满足xf ′(x)＋f (x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是(　　)A．f (1)>f22 B．f12>f (2)C．f (1)0，故F (x)为R上的增函数，所以F (2)>F (1)，即2f (2)>f (1)．]3．已知f (x)是R上的可导函数，且任意x∈R，均有f (x)>f ′(x)，则有(　　)A．e2 023f (－2 023)e2 023f (0)B．e2 023f (－2 023)f (0)，f (2 023)>e2 023f (0)D．e2 023f (－2 023)>f (0)，f (2 023)h(0)，即f-2 023e-2 023>f0e0，e2 023f (－2 023)>f (0)；同理，h(2 023)0，则关于x的不等式x3-13f (x－3)－f (3)<0的解集为(　　)A．(3，6) B．(0，3)C．(0，6) D．(6，＋∞)A　[令g(x)＝x3f (x)，则g′(x)＝x2[3f (x)＋xf ′(x)]>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，x3-13f (x－3)－f (3)<0，即(x－3)3f (x－3)－27f (3)<0，所以g(x－3)0，所以31，f (0)＝4则不等式exf (x)>ex＋3的解集为________．(0，＋∞)　[因为f (x)＋f ′(x)>1，设h(x)＝exf (x)，则h′(x)＝ex[f (x)＋f ′(x)]．不等式exf (x)>ex＋3⇒exf (x)－ex－3>0，设函数g(x)＝exf (x)－ex－3，则g′(x)＝h′(x)－ex．因为f (x)＋f ′(x)>1，所以h′(x)>ex，所以g′(x)>0，又因为f (0)＝4，所以g(0)＝f (0)－1－3＝0，综上可判断出g(x)在定义域内单调递增且g(0)＝0，因此原不等式的解集为(0，＋∞)．]8．设f (x)是定义在R上的偶函数，f ′(x)为其导函数，f (2)＝0，当x>0时，有xf ′(x)>f (x)恒成立，则不等式xf (x)<0的解集为________．(－∞，－2)∪(0，2)　[设g(x)＝fxx，x≠0，则g′(x)＝xf'x-fxx2，∵当x>0时，有xf ′(x)>f (x)恒成立，∴当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x)是定义在R上的偶函数，∴g(－x)＝f-x-x＝fx-x＝－g(x)，即g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，∴g(x)在(－∞，0)上也单调递增．又f (2)＝0，∴g(2)＝f22＝0，∴g(－2)＝0．不等式xf (x)<0的解可等价于即g(x)<0的解，∴00时，对xf ′(x)＋2f (x)<0(f ′(x)为f (x)的导函数)，求使得fxx2-2>0成立的x的取值范围．[解]　令g(x)＝x2f (x)，由题可知f (x)为奇函数，∴g(x)也为奇函数，g′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)，∵当x>0时，xf ′(x)＋2f (x)<0，即x2f ′(x)＋2xf (x)<0．当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵g(x)在R上为奇函数，∴g(x)在R上单调递减，且g(0)＝0，当x<0时，g(x)＝x2f (x)>0，即f (x)>0，当x＝0时，f (0)＝0，当x>0时，f (x)<0，∵fxx2-2>0，∴①当x<0时，由f (x)>0，得x2－2>0，解得的解集为{x|x<－2}；②当x＝0时，f (0)＝0，则fxx2-2>0的解集为空集；③当x>0时，由f (x)<0，得x2－2<0，解得的解集为{x|0