浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 函数的图象大致为， 已知，且，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定义求解.
【详解】集合，则.
故选：C.
2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】利用同一函数的概念判断即可.
【详解】与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故A正确；
与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故B错误；
与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故C错误；
由解得或，则的定义域为或，
由且得，则的定义域，
∴与定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂及对数的运算性质计算.
【详解】∵，∴，
∴，
∴.
故选：D.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据根式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】当为奇数时，，，
当为偶数时，，若，则，
则“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及特值排除错误选项即可.
【详解】的定义域为，
∵，
∴奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；
∵，故B错误，
∴D正确.
故选：D.
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】因为，所以，
则
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
7. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得在上单调递增，在上单调递减，，，当或时，；当时，，由条件列出不等式组，求解即可.
【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且，
∴在上单调递减，且，
∴当或时，；当时，，
∵，∴或，
∴或，
∴或，即，
则不等式的解集是.
故选：A.
8. 取整函数最早出现在著名科学家阿兰•图灵（AlanTuring）在20世纪30年代提出的图灵机理论中.图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断.由于图灵机需要进行整数计算，因此取整函数成为了必需的工具之一.现代数学中，常用符号表示为不超过的最大整数，如，现有函数在区间上恰好有三个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可知时函数与恰有三个不同的交点，利用数形结合即得
【详解】作出函数与的大致图像
时，，从图像可知，
当，即时，两个函数的图像在上恰有三个不同的交点．
∴所求范围为．
故选：B
二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 我们常拿背诵圆周率来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（ ）
A. 是一个函数
B. 当时，
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义以及函数性质判断各选项，即可得答案.
【详解】由题意可知，圆周率小数点后第位数字是唯一确定的，
即任取一个正整数都有唯一确定的与之对应，
因此是一个函数，故A正确；
当时，，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知定义在上的函数是奇函数，且时，则下列叙述正确的是（ ）
A. 当时
B.
C. 在区间上单调递减
D. 函数在区间上的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D.
【详解】由题知，是奇函数，
令，则，
所以，
故此时，A错；
因为是上的奇函数，
所以，B正确；
由上述可知时，，
，
则
，
因为，
所以，，，
所以，即，
所以在区间上单调递减，C正确；
当时，，
当且仅当，即时取等，D正确.
故选：BCD
11. 下列命题叙述正确的是（ ）
A. 且时，当时，
B. 且时，当时，
C. 且时，当时，
D. 且时，当时，
【答案】CD
【解析】
【分析】利用特值法及作差法进行判断.
【详解】对于A，因为且时，当时，取，
所以，则，故A错误；
对于B，因为且时，当时，取，
所以，则，故B错误；
对于C，因为且时，当时，则，
所以，则，故C正确；
对于D，存在，，满足，故D正确.
故选：CD.
12. 若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数，则存在使是“强增函数”
B. 若函数，则为定义在上“强增函数”
C. 若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”
D. 若函数在区间上是“强增函数”，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对勾函数的单调性结合“强增函数”的定义即可判断A；根据“强增函数”的定义举出反例即可判断B；根据“强增函数”的定义结合指数函数的单调性举例即可判断C；根据“强增函数”的定义结合二次函数和对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，
而函数在上为增函数，
所以存在使是“强增函数”，如，故A正确；
对于B，因为，所以函数在上不增函数，
所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；
对于C，函数在上单调递增，
令，因为，
所以函数在上不是增函数，
故存在区间，使在上不是“强增函数”，如，故C正确；
对于D，若函数在区间上是“强增函数，
则函数在上都是增函数，
由函数在区间上是增函数，
得，解得，
因为函数在区间上是增函数，
当时，在区间上是增函数，符合题意，
当时，因为函数在上都是增函数，
所以函数在区间上是增函数，符合题意，
当时，，
由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增，
所以，所以，
综上所述，，
因为函数在上都是增函数，
所以，所以，故D正确
故选：ACD
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
非选择题部分
三､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据根式及指数幂的运算求解.
【详解】原式.
故答案为：.
14. 函数的单调递增区间是______.
【答案】（区间开闭都符合）
【解析】
【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定结果．
【详解】，
由，解得，
令，当时单调递增，当时单调递减，
又在时单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：.
15. 函数当时，实数______.
【答案】
【解析】
【分析】由所给的分段函数以及函数值，对其分类讨论即可.
【详解】令，则，
当时，有，解得或（舍去），
即，
当时，有即，
因为，此时无实数解，
当，有满足题意，
当时，，不满足题意，
故实数，
故答案为：8.
16. 已知函数与函数，满足，当和在区间上单调性不同，则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】两函数图象关于轴对称，分，，，四种情况，结合函数图象和单调性，得到不等式，求出答案.
【详解】，
若，在上单调递增，
在上单调递减，满足要求，
若，画出与的图象，如下：
可以看出两函数图象关于轴对称，
要想是函数的异动区间，
则，解得，满足，
当时，，，画出两函数图象，
可以看出两函数图象在上单调性相同，不合要求，舍去，
当时，画出两函数图象，可以看出两函数图象关于轴对称，
要想是函数的异动区间，
故，解得，满足，
综上，的取值范围为.
故答案为：
四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算可得解；
（2）由题意，对集合讨论，可得解.
【小问1详解】
当时，集合，
，
或，
.
【小问2详解】
，
，
当即时，，则，解得，
；
当即时，，符合题意；
当即时，，则，解得，
；
综上，实数的取值范围为.
18. 已知二次函数（为实数，且）
（1）若，方程有两个相等的实数根时，求函数的解析式；
（2）不等式的解集是，求函数的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得函数图象关于直线对称，结合条件“有两个相等的实数根”，列出关于的方程组，求解即可；
（2）由题意得方程有实数根，且，利用韦达定理求解.
【小问1详解】
，
的图象关于直线对称,
又根据条件“有两个相等的实数根”，列方程组如下：
,
【小问2详解】
不等式即的解集是，
即方程有实数根，且，
根据韦达定理：，
.
19. 已知函数，其中.
（1）当，求函数的值域；
（2），求区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式法求值域；
（2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值.
【小问1详解】
时，，即，整理得，
当时，，
当时，由，得，
解得，且，
综上，，则的值域是.
【小问2详解】
且，
当时，即时，
函数在区间上单调递增，此时；
当时，即时，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，
综上所述：
20. 已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数.
（1）求和的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的定义和奇函数定义及性质求解；
（2）根据是奇函数，得恒成立，根据在上单调递减，得恒成立，再利用判别式求解.
【小问1详解】
设且，
，，；
是定义在上的奇函数，
，
对恒成立，
.
【小问2详解】
恒成立，
恒成立，
又
可知在上单调递减，
恒成立，
恒成立，
，
.
21. 天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价45元并能全部销售完.
（1）求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式；
（2）当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本；
（3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）22472个 （3）30万个，利润最大为410万元
【解析】
【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解；
（2）时，取最小值即可，仅需，求解即可；
（3）利用一次函数，二次函数的性质以及基本不等式分段求解最值，比较大小可得答案.
【小问1详解】
总销售额：万元，总成本：固定成本万元，
∴利润
【小问2详解】
时，取最小值即可，
仅需万，取22472个.
【小问3详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，
综上，当万个时，利润最大为410万.
22. 定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：函数在上是减函数；
（3）若，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明；
（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明；
（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.
【小问1详解】
令，则有，
令，则有，
，
是奇函数.
【小问2详解】
设则
所以，
因为，所以，即，则，
又，所以，所以，
所以，即，
所以在上是减函数.
【小问3详解】
由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数，
所以当时，函数的最小值为，
所以恒成立，
等价于：恒成立，
即恒成立，
设，是关于的一次函数，
所以，即，则，