人教A版高中数学选择性必修第二册要点速记

第四章　数列 要点一　数列的概念1．在数列{an}中，an＋1＞an⇔{an}是递增数列；an＋1＜an⇔{an}是递减数列；an＋1＝an⇔{an}为常数列．2．一般规律数列(1)数列1，2，3，4，…的通项公式是an＝n(n∈N*)；(2)数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1(n∈N*)；(3)数列2，4，6，8，…的通项公式是an＝2n(n∈N*)；(4)数列1，2，4，8，…的通项公式是an＝2n-1(n∈N*)；　(5)数列1，4，9，16，…的通项公式是an＝n2(n∈N*)；　(6)数列1，12，13，14，…的通项公式是an＝1n(n∈N*)．　 要点二　等差数列1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2．等差中项a，A，b成等差数列⇔A是a，b的等差中项⇔2A＝a＋b．3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．4．等差数列的前n项和公式首项为a1，公差为d，末项为an，项数为n的等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1+an2＝na1＋nn-1d2．5．等差数列的性质数列{an}是公差为d的等差数列，则：(1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝an-amn-m(n≠m)．(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，①若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)；②有穷等差数列中，与首末两项等“距离”的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…．(3)下标成等差数列的项ak，ak＋m，ak＋2m，…组成以md为公差的等差数列．(4)数列{tan＋λ}(t，λ是常数)是公差为td的等差数列．(5)若数列{bn}为等差数列，则数列{tan±λbn}(t，λ是常数)仍为等差数列．6．等差数列前n项和的性质(1)项数的“等和”性质：Sn＝na1+an2＝nam+an-m+12．(2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝2n-1an；若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)．(3)与项数有关的“奇偶”性质(S奇，S偶分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和)：①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan+1；②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn-1(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n-1T2n-1，ambn＝2n-12m-1·S2m-1T2n-1．　(5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列．(6)数列Snn是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．7．等差数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列． 要点三　等比数列1．等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．2．等比中项a，G，b成等比数列⇔G是a，b的等比中项⇔G2＝ab(ab≠0)．3．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝a1qn-1(a1，q≠0)．4．等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和公式为Sn＝na1，q=1，a11-qn1-q=a1-anq1-q，q≠1．5．等比数列的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝amqn－m(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则aman＝apaq．特别地：①若m＋n＝2r，则aman＝ar2(m，n，r∈N*)；②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i(n∈N*，n≥2，i＝1，2，…，n)．(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．(4)数列{λan}(λ≠0)仍是公比为q的等比数列；数列1an是公比为1q的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列．(5)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk+1．(6)已知b>0且b≠1，如果数列{an}是以d为公差的等差数列，那么数列{ban}是以bd为公比的等比数列．如果数列{an}是各项均为正且公比为q的等比数列，那么数列{logban}是以logbq为公差的等差数列．6．等比数列前n项和的性质(1)当q＝1时，SnSm＝nm；当q≠±1时，SnSm＝1-qn1-qm．(2)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇-a1S偶＝q．(4)当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m-Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2)．7．等比数列的判断方法(1)定义法：如果数列{an}满足关系式an+1an＝q(q≠0，n∈N*)，那么数列就是一个以q为公比的等比数列．(2)等比中项法：如果数列{an}满足关系式an2＝an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，那么数列{an}就是一个等比数列．(3)通项公式法：如果数列{an}满足关系式an＝k·qn-1(k≠0，q≠0，n∈N*)，那么该数列{an}是以k为首项，以q为公比的等比数列．(4)前n项和法：如果数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0)，那么数列{an}是一个等比数列．8．求数列{an}通项公式的方法(1)公式法：若{an}为等差数列，则an＝a1＋(n－1)d；若{an}为等比数列，则an＝a1qn-1．(2)累加法：an＋1－an＝f (n)型．(3)累积法：an+1an＝f (n)型．(4)构造法：即构造等差数列或等比数列求通项．9．数列求和的方法(1)裂项相消法：常见的裂项类型与方法如下：①an＝1nn+t＝1t1n-1n+t(t≠0)；②an＝1n+1+n＝n+1-n；③an＝logan+1n＝loga(n＋1)－logan；④an＝1nn+1n+2＝12[1nn+1－1n+1n+2]；⑤an＝2n2n-12n+1-1＝12n-1－12n+1-1．(2)错位相减法设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为Tn．则Tn的求解步骤如下．①列出和式Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn．②两边同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1．③两式相减(错位相减)并求和：(1－q)Tn＝a1b1＋(a2b2－a1b2)＋(a3b3－a2b3)＋…＋(anbn－an－1bn)－anbn＋1＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d×b21-qn-11-q－anbn＋1．④两边同除以(1－q)即得数列{anbn}的前n项和Tn．(3)分组求和法分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成cn＝an＋bn的形式的数列求和问题，其中数列{an}与{bn}是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列．基本的解题步骤为：①准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；②分组求和，分别求出各个数列的和；③得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题．第五章　一元函数的导数及其应用 要点一　导数的几何意义1．导数的几何意义函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f (x)在点(x0，f ′(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f ′(x0)＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．2．切线方程的求法(1)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y＝f ′(x0)(x－x0)＋y0．(2)求曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：①设切点为A(xA，f (xA))，求切线的斜率k＝f ′(xA)，写出切线方程(含参)；②把点P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而求出切线方程． 要点二　导数的运算1．基本初等函数的导数公式2．导数的四则运算及复合函数的导数 要点三　导数的应用1．函数单调性与其导函数的关系一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递增；在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递减．2．函数极值的概念若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，则我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．“f ′(x0)＝0”是“x0为极值点”的必要不充分条件．3．利用导数判断函数单调性的一般步骤—般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f (x)的单调性：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f ′(x)的零点；第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．4．求函数极值的方法一般地，可按如下方法求函数y＝f (x)的极值：解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值．5．求函数最值的方法一般地，求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6．不等式恒成立问题(1)不等式f (x)≥0在定义域内恒成立，等价于fxmin≥0；(2)不等式f (x)≤0在定义域内恒成立，等价于fxmax≤0；(3)不等式f (x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F (x)＝f (x)－g(x)>0，x∈(a，b)恒成立．模块综合测评(一)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，则该数列的公差为(　　)A．12 B．1C．32 D．2A　[因为等差数列{an}中，a2＝1，a3＋a5＝4，所以a1+d=1，2a1+6d=4，解得d＝12，a1＝12，所以该数列的公差为12．]2．已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a5＝4，则a3的值为(　　)A．±22 B．22C．±2 D．2B　[因为数列{an}为等比数列，a1＝2，a5＝4，则a32＝a1·a5＝8，所以a3＝±22．又a1，a3，a5的符号相同，故a3＝22．]3．已知f (x)＝ex－e－x，f ′(x)是f (x)的导函数，则f ′(2)＝(　　)A．0 B．e2＋e-2C．e2－e-2 D．1B　[函数f (x)的导函数为f ′(x)＝ex＋e－x，则f ′(2)＝e2＋e-2．]4．对任意的00，不满足题意；当00，所以xf ′(x)>0，不满足题意；当x>2时，f ′(x)<0，所以xf ′(x)<0，满足题意．]7．函数y＝x3－x的导函数的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)C．-33，33 D．(－1，＋∞)A　[由y＝x3－x，得y′＝3x2－1．令f (x)＝y′＝3x2－1，则f ′(x)＝6x，由f ′(x)＝6x>0，得x>0．所以函数f (x)＝y′＝3x2－1的单调递增区间为(0，＋∞)．]8．已知可导函数f (x)的导函数为f ′(x)，若对任意的x∈R，都有f (x)>f ′(x)＋1，且函数y＝f (x)－2 021为奇函数，则不等式f (x)－2 020ex<1的解集为(　　)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．-∞，1e D．1e，+∞A　[构造函数g(x)＝fx-1ex，则g′(x)＝f'x-fx+1ex<0，所以函数g(x)＝fx-1ex在R上单调递减．由于函数y＝f (x)－2 021为R上的奇函数，则f (0)－2 021＝0，则f (0)＝2 021，所以g(0)＝f0-1e0＝2 020．由f (x)－2 020ex<1，得f (x)－1<2 020ex，即fx-1ex<2 020，所以g(x)0，故选A．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且2a3＋3a7＝6，则a5的值可能是(　　)A．2 B．4C．85 D．83ABD　[∵a3>0，a7>0，∴6＝2a3＋3a7≥22a3·3a7＝26a52，当且仅当3a3＝2a7时，等号成立．又a5>0，∴上式可化为a5≥2，当且仅当3a3＝2a7时，等号成立．故选ABD．]10．下列函数存在极值点的是(　　)A．y＝x－1x B．y＝2|x|C．y＝－2x3－x D．y＝x ln xBD　[对于A，求导得y′＝1＋1x2>0，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，所以函数无极值点；对于B，x＝0是函数的极小值点；对于C，求导得y′＝－6x2－1<0恒成立，函数在R上单调递减，所以函数无极值点；对于D，求导得y′＝1＋ln x，当x∈0，1e时，y′<0，当x∈1e，+∞时，y′>0，当x＝1e时，y′＝0，所以x＝1e是函数的极小值点．]11．已知{an}是等比数列，下列结论错误是(　　)A．若a1＜a2，则a4＜a5B．若a1＜a2，则a3＜a4C．若S3＞S2，则a1＜a2D．若S3＞S2，则a1＞a2ACD　[∵等比数列{an}中，q2＞0，∴当a1＜a2时，可得a1q2＜a2q2，即a3＜a4，故B正确；但a4＝a1q3和a5＝a2q3不能判断大小(q3正负不确定)，故A错误；当S3＞S2时，则a1＋a2＋a3＞a1＋a2，可得a3＞0，即a1q2＞0，可得a1＞0，由于q不确定，不能确定a1，a2的大小，故CD错误．]12．过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a可能的值是(　　)A．0 B．2C．－ln e5 D．eBCD　[设切点坐标为(x0，x0ex0)，因为y′＝(x＋1)ex，所以＝x0+1ex0，所以切线方程为y-x0ex0＝x0+1·ex0(x－x0)，将点A(a，0)代入可得-x0ex0＝x0+1ex0(a－x0)，化简得x02－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x02－ax0－a＝0有两个不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得：a>0或a<－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．－ln e5＝－5ln e＝－5，所以由选项判断可知BCD正确．故选BCD．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．已知4，a，b，25成等差数列，4，c，d，25成等比数列，则a＋b＝________，cd＝________．29　100　[a＋b＝4＋25＝29，cd＝4×25＝100．]14．已知函数f (x)＝x－kx－2ln x在(0，＋∞)上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．[1，＋∞)　[根据题意得f ′(x)＝1＋kx2－2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以k≥－x2＋2x，当x>0时，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1．]15．在正项等比数列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{an}的公比为________．　2　[正项等比数列{an}的公比设为q，q>0，a6，3a5，a7依次成等差数列，可得6a5＝a6＋a7，即有6a1q4＝a1q5＋a1q6，化简为q2＋q－6＝0，解得q＝2(q＝－3舍去)，则{an}的公比为2，故答案为：2．]16．设函数f (x)＝x3＋(a＋3)x2＋ax，若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为________；函数f (x)的极大值点为________．3x＋y＝0　－1　[因为函数f (x)＝x3＋(a＋3)x2＋ax是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，从而得到a＋3＝0，即a＝－3，所以f (x)＝x3－3x，因为f ′(x)＝3x2－3，所以f ′(0)＝－3，所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x，f ′(x)＝3x2－3＜0，则－10)，令f ′(x)>0，则032，所以f (x)在0，32上单调递增，在32，+∞上单调递减，f (x)极大值为f 32＝－34＋3ln 32，无极小值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝ex(2x2－3x)．(1)求不等式f (x)>0的解集；(2)求函数f (x)在区间[0，2]上的最大值和最小值．[解]　(1)因为ex＞0，由f (x)＝ex(2x2－3x)＞0，得2x2－3x＞0．所以x＜0或x＞32．所以不等式f (x)＞0的解集为xx＜0或x＞32．(2)由f (x)＝ex(2x2－3x)得：f ′(x)＝ex(2x2＋x－3)＝ex(2x＋3)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝1，或x＝－32(舍)．f (x)与f ′(x)在区间[0，2]上的情况如表所示：所以当x＝1时，f (x)取得最小值f (1)＝－e；当x＝2时，f (x)取得最大值f (2)＝2e2．20．(本小题满分12分)设n∈N*，正项数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，________．请在①a1，a2，a5成等比数列；②4a3－1，2a4＋3，a8成等差数列；③a32＝S1S5这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝1anan+1，记数列{bn}前n项和为Tn，求T6．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解]　选①，(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋2，得an＋1－an＝2(n∈N*)，∴数列{an}是以a1为首项，2为公差的等差数列．由a1，a2，a5成等比数列，可得a22＝a1a5，即(a1＋2)2＝(a_1 (a_1 ) ＋8)，解得a1＝1．∴an＝2n－1(n∈N*)．选②，(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋2，得an＋1－an＝2(n∈N*)，∴数列{an}是以a1为首项，2为公差的等差数列．由4a3－1，2a4＋3，a8成等差数列，得(4a3－1)＋a8＝2(2a4＋3)，解得a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．选③，(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋2，得an＋1－an＝2(n∈N*)，∴数列{an}是以a1为首项，2为公差的等差数列，由a32＝S1S5，得(a1＋4)2＝a1(5a1＋20)，a12＋3a1－4＝0解得a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得an＝2n－1，则bn＝12n-12n+1＝1212n-1-12n+1，数列{bn}前n项和为Tn＝121-13+13-15+…+12n-1-12n+1＝121-12n+1，故T6＝121-113＝613．21．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝-x3＋(a＋2)x＋b，g(x)＝－x3＋x2＋a ln x．(1)当a＝1时，若f (x)在x∈[－3，2)上的最大值为10，求实数b的值；(2)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)＋b≥f (x)恒成立，求实数a的取值范围．[解]　(1)当a＝1时，由f (x)＝－x3＋3x＋b，得f ′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1．当x变化时，f ′(x)，f (x)在x∈[－3，2)的变化情况如表：所以f (x)在x∈[－3，2)上的最大值为f (－3)＝18＋b＝10，得b＝－8．(2)由g(x)＋b≥f (x)，得(x－ln x)a≤x2－2x，因为x∈[1，e]，ln x≤1≤x且等号不能同时取得，所以ln x＜x，即x－ln x＞0，所以a≤x2-2xx-lnx恒成立，即a≤x2-2xx-lnxmin．令h(x)＝x2-2xx-lnx，x∈[1，e]，则h′(x)＝x-1x+2-2lnxx-lnx2，当x∈[1，e]时，0≤ln x≤1，x＋2－2ln x＞0且x－1≥0，从而h′(x)≥0，所以h(x)在[1，e]上为增函数，所以h(x)min＝h(1)＝－1，所以a≤－1．22．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝a ln x＋12x2－(1＋a)x，a∈R．(1)当a＝1时，求函数y＝f (x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x)的单调性；(3)若对任意的x∈(e，＋∞)都有f (x)＞0成立，求a的取值范围．[解]　(1)f ′(x)＝x2-2x+1x，f ′(1)＝0，f (1)＝－32，所以所求切线方程为y＝－32．(2)f ′(x)＝x2-a+1x+ax＝x-1x-ax，x＞0．当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)单调递增；当a≤0时，f (x)在(0，1)单调递减，(1，＋∞)单调递增；当0＜a＜1时，f (x)在(0，a)单调递增，(a，1)单调递减，(1，＋∞)单调递增；当a＞1时，f (x)在(0，1)单调递增，(1，a)单调递减，(a，＋∞)单调递增．(3)由f (x)＞0，得(x－ln x)a＜12x2－x．令y＝x－ln x，y′＝x-1x，于是y＝x－ln x在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为y(1)＝1，所以∀x∈(e，＋∞)，x－ln x＞0．于是只要考虑∀x∈(e，＋∞)，a＜12x2-xx-lnx．设g(x)＝12x2-xx-lnx，g′(x)＝12x-1x+2-2lnxx-lnx2，令h(x)＝x＋2－2ln x，则h′(x)＝x-2x，于是h(x)＝x＋2－2ln x在(e，＋∞)上单调递增，h(x)＞h(e)＝e＞0，所以g(x)在(e，＋∞)上单调递增，于是a≤g(e)＝e2-2e2e-1．模块综合测评(二)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x)＝ln x＋x3，则limΔx→0f1+2Δx-f1Δx＝(　　)A．1 B．2C．4 D．8D　[由题意f ′(x)＝1x＋3x2，所以f ′(1)＝1＋3＝4，所以limΔx→0f1+2Δx-f1Δx＝2limΔx→0f1+2Δx-f12Δx＝2f ′(1)＝8．故选D．]2．在等比数列{an}中，a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，则a7＝(　　)A．3 B．－3C．±3 D．无法确定C　[∵a4，a10是方程x2－11x＋9＝0的两根，∴a4a10＝9，由等比数列的性质可知a4a10＝a72＝9，∴a7＝±3．故选C．]3．已知函数f (x)＝(x＋a)ex的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝(　　)A．－1 B．0C．1 D．2A　[因为f ′(x)＝(x＋a＋1)ex，所以f ′(1)＝(a＋2)e，f ′(－1)＝ae-1＝ae，由题意有f ′(1)·f ′(－1)＝－1，所以a＝－1，故选A．]4．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有(　　)A．300个 B．320个C．340个 D．360个B　[由题意，此商家参展的苹果构成等差数列{an}，其中n＝16，a8＋a9＝40，所以S16＝16a1+a162＝16a8+a92＝16×402＝320．故选B．]5．在数列{an}中，a1＝2，对任意的m，n∈N*，am＋n＝am·an，若a1＋a2＋…＋an＝62，则n＝(　　)A．3 B．4C．5 D．6C　[因为对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am·an，所以令m＝1，则an＋1＝a1·an＝2an，因为a1≠0，所以an≠0，即an+1an＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以21-2n1-2＝62，解得n＝5，故选C．]6．已知函数f (x)＝ex－3x－1(e为自然对数的底数)，则以下结论正确的为(　　)A．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在区间(－∞，＋∞)上单调递增B．函数y＝f (x)仅有一个零点，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增C．函数y＝f (x)有两个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数D．函数y＝f (x)有两个零点，且当x＝ln 3时，y＝f (x)取得最小值为2－3ln 3D　[f ′(x)＝ex－3是增函数，∴x＜ln 3时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，x＞ln 3时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，显然f (0)＝0，∴f (ln 3)＝2－3ln 3＜0，又x→＋∞时，f (x)→＋∞，∴f (x)在(ln 3，＋∞)上也有一个零点，因此共有两个零点．故选D．]7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋an·an＋1，则Tn＝(　　)A．16×1-14n B．16×1-12nC．323×1-14n D．223×1-12nC　[设数列{an}的公比为q，由题意可知，当n≥2时，an·an+1an-1·an＝q2，即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝14得q＝12，所以a1＝4，a1·a2＝8，所以Tn＝8×1-14n1-14＝323×1-14n．]8．若函数f (x)＝x2－4x＋a ln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪{2}C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪{2}C　[由f (x)＝x2－4x＋a ln x可知，f ′(x)＝2x－4＋ax＝2x2-4x+ax(x>0)，令g(x)＝2x2－4x＋a＝2(x－1)2＋a－2，由f (x)有唯一的极值点，可得g(0)≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为(－∞，0]．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)A．a3＝13B．数列{an＋3}是等比数列C．an＝4n－3D．Sn＝2n+1－n－2AB　[an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是等比数列，又因为a1＝1，所以an＋3＝(a1＋3)2n-1＝2n+1，所以an＝2n+1－3，所以a3＝13，所以Sn＝41-2n1-2－3n＝2n+2－3n－4．]10．已知函数f (x)＝ln (ex＋e－x)，则下列说法正确的有(　　)A．f (ln 2)＝ln 52B．f (x)是奇函数C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增D．f (x)的最小值为ln 2ACD　[f (ln 2)＝ln (eln 2＋e－ln 2)＝ln 52，A正确；f (x)＝ln (ex＋e－x)的定义域为R，其中f (－x)＝ln (e－x＋ex)＝f (x)，故f (x)是偶函数，B错误；f ′(x)＝ex-e-xex+e-x，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＝ex-e-xex+e-x>0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；根据f (x)在(0，＋∞)上单调递增且f (x)是偶函数，则f (x)在(－∞，0)上单调递减，故f (x)的最小值为f (0)＝ln 2，故D正确．]11．如果函数y＝f (x)的导函数的图象如图所示，则下述结论正确的是(　　)A．函数y＝f (x)在区间(3，5)内单调递增B．当x＝－12时，函数y＝f (x)有极大值C．函数y＝f (x)在区间(1，2)内单调递增D．当x＝2时，函数y＝f (x)有极大值CD　[结合函数y＝f (x)的导函数的图象可知：当x<－2时，导函数值小于0，函数f (x)是减函数；当x＝－2时，导函数值等于0，函数f (x)取极小值；当－24时，导函数值大于0，函数f (x)是增函数，结合选项易知，A、B错误，C、D正确，故选CD．]12．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)A．数列{an2}是等比数列B．若a4＝3，a12＝27，则a8＝±9C．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n-1＋r，则r＝－1AC　[设等比数列{an}公比为q(q≠0)，则an+12an2＝an+1an2＝q2，即数列{an2}是等比数列，即A正确；因为等比数列{an}中a4，a8，a12同号，而a4＞0，所以a8>0，即B错误；若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，∴a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1，即数列{an}是递增数列，C正确；若数列{an}的前n项和Sn＝3n-1＋r，则a1＝S1＝31-1＋r＝1＋r，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，所以q＝a3a2＝3＝a2a1，∴2＝3(1＋r)，r＝－13，即D错误．故选AC．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．函数f (x)＝(x－1)ex-2的单调递增区间为________．(0，＋∞)　[∵f (x)＝(x－1)ex-2，∴f ′(x)＝ex-2＋(x－1)ex-2＝xex-2，由f ′(x)＝xex-2＞0得x＞0，所以f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]14．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为________．74　[设B型健身器材这6个月投放量为{bn}，则{bn}是以b1＝64为首项，q＝32的等比数列，∴其前6项和为S6＝641-3261-32＝1 330，∴5a＋300＋1 330≥2 000，解得a≥74，故a的最小值为74．故答案为74．]15．已知an＝|11－2n|，数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝650，则k＝________．30　[当n≤5时，an＝11－2n，∴Sn＝n9+11-2n2＝10n－n2，令Sk＝650＝10k－k2，无解．当n≥6时，an＝2n－11，Sn＝S5＋(a6＋a7＋…＋an)＝5×102＋1+2n-11n-52＝n2－10n＋50．令Sk＝650＝k2－10k＋50，解得k＝30或－20(舍)，故k＝30．]16．已知函数f (x)＝x－ln (x＋a)，若a＝2，则f ′(0)＝________；又若f (x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．12　1　[f (x)的定义域为(－a，＋∞)，f ′(x)＝1－1x+a＝x+a-1x+a．当a＝2时，f ′(x)＝1－1x+2，∴f ′(0)＝1－12＝12．又由f ′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a．当－a＜x＜1－a时，f ′(x)＜0，f (x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f ′(x)＞0，f (x)在(1－a，＋∞)上单调递增．因此，f (x)在x＝1－a处取得最小值，由题意知f (1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}满足a5＝9，a3＋a9＝22．(1)求{an}的通项公式；(2)等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足Sn<2 020的n的最大值．条件①：b3＝a1＋a2；条件②：S3＝7；条件③：bn＋1>bn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，因为a5＝9，a3＋a9＝22，所以a1+4d=9，2a1+10d=22，解得：a1=1，d=2，所以an＝2n－1．(2)(Ⅰ)选择①②设等比数列{bn}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，因为S3＝7，所以b2＝S3－b1－b3＝2，所以q＝b2b1＝2，所以Sn＝b11-qn1-q＝2n－1，因为Sn＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10，即n的最大值为10．(Ⅱ)选择①③设等比数列{bn}的公比为q，因为b1＝a1，b3＝a1＋a2，所以b1＝1，b3＝4，所以q2＝b3b1＝4，q＝±2，因为bn＋1＞bn，所以q＝2，所以Sn＝b11-qn1-q＝2n－1，因为Sn＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．(Ⅲ)选择②③设等比数列{bn}的公比为q，因为S3＝7，b1＝1，所以1＋q＋q2＝7．所以q＝2，或q＝－3．因为bn＋1＞bn，所以q＝2．所以Sn＝b11-qn1-q＝2n－1．因为Sn＜2 020，所以2n－1＜2 020，所以n≤10．即n的最大值为10．18．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝x3－9x．(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x)的单调区间与极值．[解]　(1)因为f (x)＝x3－9x，所以f ′(x)＝3x2－9，当x＝1时，f (1)＝－8，f ′(1)＝－6，所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线过点(1，－8)，斜率为k＝－6，所以切线方程为y＋8＝－6(x－1)，即6x＋y＋2＝0．(2)函数f (x)的定义域为R，令f ′(x)＝3x2－9＝0，得x＝±3，所以函数f (x)的单调增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)；减区间为(－3，3)，当x＝－3时，函数f (x)有极大值，f (－3)＝63，当x＝3时，函数f (x)有极小值，f (3)＝－63．19．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，满足a＝(Sn＋1－2Sn，Sn)，b＝(2，n)，a∥b．(1)求证：数列Snn为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．[解]　(1)证明：因为a∥b，可得n(Sn＋1－2Sn)＝2Sn，整理得Sn+1n+1＝2·Snn，又由a1＝1，可得S11＝1，所以数列Snn表示首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Snn＝2n-1，所以Sn＝n·2n-1，所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)·2n-2＋n·2n-1，2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n-1＋n·2n，两式相减，可得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝1×1-2n1-2－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以Tn＝(n－1)2n＋1．20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝(x2＋ax＋b)·ex(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f (x)在区间[－2，3]上的最大值．[解]　(1)因为f (x)＝(x2＋ax＋b)·ex在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋1，所以f (x)过(0，1)点，所以be0＝1，b＝1，所以f (x)＝(x2＋ax＋1)·ex．又f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]·ex，所以f ′(0)＝－2，即a＋1＝－2，a＝－3．(2)由(1)知f (x)＝(x2－3x＋1)·ex，f ′(x)＝(x2－x－2)·ex＝(x－2)(x＋1)·ex，由f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－1，又x∈[－2，3]，所以由f ′(x)>0得20，解得n>203．所以当n≤6时，an<0．故当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57．若选②，(1)设公差为d，则a8=a1+7d=4，S6-S5=a6=a1+5d=0，解得a1=-10，d=2．所以an＝2n－12．令2n－12＝2 022，解得n＝1 017，所以2 022是数列{an}的第1 017项．(2)令2n－12>0，得n>6．所以当n≤6时，an≤0．故当n＝6或n＝5时，Sn取得最小值，为S5＝S6＝－30．22．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝1x＋1＋a ln x(a∈R)．(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若f (x)≥1，求a的取值范围．[解]　(1)函数f (x)＝1x＋1＋a ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ax－1x2＝ax-1x2，当a≤0时，f ′(x)＝ax-1x2≤0，f (x)在定义域上单调递减；当a>0时，f ′(x)＝ax-1ax2，当x∈0，1a时f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈1a，+∞时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．综上所述，当a≤0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f (x)在0，1a上单调递减，在1a，+∞上单调递增．(2)当a＝0时，函数f (x)＝1x＋1＋0×ln x＝1x＋1，x∈(0，＋∞)，f (x)>1符合题意，由(1)可知，当a<0时，f (x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，所以fe-1a＝1e-1a<1，故不满足f (x)≥1．当a>0时，f (x)在0，1a上单调递减，在1a，+∞上单调递增，要想满足f (x)≥1，须满足f (x)min＝f 1a≥1即可．因为f 1a＝a＋1－a·ln a，所以f 1a≥1即a－a ln a≥0，化简得ln a≤1，即0