人教A版高中数学必修第一册第3章微专题2函数性质的综合问题课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章微专题2函数性质的综合问题课时学案，共12页。
微专题2　函数性质的综合问题函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用． 类型1　函数的奇偶性与对称性性质：函数的对称轴与对称中心(1)若函数f (x)的定义域为D，对∀x∈D都有f (a＋x)＝f (a－x)(a为常数)，则x＝a是f (x)的对称轴．(2)若函数f (x)的定义域为D，对∀x∈D都有f (a＋x)＋f (a－x)＝2b(a，b为常数)，则点(a，b)是f (x)的对称中心．【例1】　(1)定义在R上的偶函数y＝f (x)，其图象关于点12，0对称，且x∈[0，1]时，f (x)＝－x＋12，则f 32等于(　　)A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．32(2)(多选)(2022·浙江杭州学军中学月考)已知y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，且y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则(　　)A．y＝f (x)是奇函数B．y＝g(x)是偶函数C．y＝f (x)关于直线x＝2对称D．y＝g(x)关于点(4，0)对称(1)B　(2)ACD　[(1)∵y＝f (x)的图象关于点12，0对称，∴f 12+x＋f 12-x＝0，即f (1＋x)＋f (－x)＝0．又∵y＝f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，∴f (1＋x)＋f (x)＝0，即f (1＋x)＝－f (x)，∴f 32＝－f 12＝0．(2)由于y＝f (x＋4)是定义域为R的奇函数，则y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，则y＝g(x)的图象关于x＝－2对称，因为y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则y＝f (x)的图象关于x＝2对称，又y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，则y＝f (x)的图象关于点(0，0)成中心对称，故y＝f (x)为奇函数，A正确；因为y＝f (x)为奇函数，故f (－x)＝－f (x)，由y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，可得f (x)＝g(－x)，g(x)＝f (－x)，故g(－x)＝f (x)＝－f (－x)＝－g(x) ，故y＝g(x)为奇函数，B错误；由A的分析可知y＝f (x)的图象关于x＝2对称，故C正确；由A的分析可知y＝f (x)的图象关于点(4，0)成中心对称，y＝f (x)为奇函数，则y＝f (x)的图象也关于点(－4，0)成中心对称，而y＝f (x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则y＝g(x)的图象关于点(4，0)成中心对称，故D正确，故选ACD．] 类型2　函数的奇偶性、单调性与最值性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则f (x)max＋f (x)min＝0，且若0∈D，则f (0)＝0．【例2】　(1)设函数f (x)＝x3+x+12x2+1在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 024的值为________．(2)奇函数f (x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．(1)1　(2)－7　[(1)f (x)＝x3+x+12x2+1＝x3+2xx2+1＋1，设g(x)＝x3+2xx2+1，则g(－x)＝-x3-2xx2+1＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数，g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2 024＝(2－1)2 024＝1．(2)由题意，函数f (x)在[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为4，最小值为－1，故f (3)＝－1，f (6)＝4．∵f (x)是奇函数，∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．] 类型3　函数的奇偶性、单调性与不等式性质：具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．【例3】　(1)设定义在R上的奇函数f (x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有fx2-fx1x2-x1b>0，则下列不等式中成立的为(　　)A．f (b)－f (－a)g(a)－g(－b)C．f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a)(1)C　(2)AC　[(1)由题意可得，函数的图象关于原点对称，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有fx2-fx1x2-x1b>0，得f (a)0，∴F(x)为定义在R上的增函数．综上所述，F(x)必为增函数且为奇函数．故选A．]3．若f (x)是定义在R上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2-fx1x2-x1