2022-2023学年甘肃省酒泉市高一下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省酒泉市高一下学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=( )
A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i
2.对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=a⋅c，则b=c
B. 若a+b=c，则|a|+|b|>|c|
C. 若(a⋅b)⋅c=0，则a⊥b
D. 若a⋅b>0，则a，b的夹角为锐角
3.求值：cs5π12− 3sin5π12=( )
A. 0B. − 2C. 2D. 2
4.关于数学建模的认识：①数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；②数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用；③数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一；④按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验.以上说法正确的是( )
A. ②B. ①②C. ①②③D. ①②③④
5.给出下列四个命题，其中正确的命题是
( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一平面的两条直线平行；
③平行于同一直线的两个平面平行；
④平行于同一平面的两个平面平行．
A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③
6.在△ABC中，若a=2bcsC，则△ABC一定是
( )
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形
7.“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是．( )
A. 25B. 35C. 27D. 37
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+b:b+c:c+a=5:6:7，则下列结论正确的是
( )
A. sinA:sinB:sinC=2:3:4
B. △ABC为锐角三角形
C. 若a=6，则△ABC的面积是6 15
D. 若△ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则Rr=165
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各对事件中，为相互独立事件的是
( )
A. 掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C. 袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
10.若过M作PQ的垂线，垂足为N，则称向量PM在PQ上的投影向量为PN.如图，已知四边形ABCD，BCFE 均为正方形，则下列结论正确的是
( )
A. AC在AF上的投影向量为35AFB. AC在AF上的投影向量为 53AF
C. AB+AC在AB上的投影向量为AED. AB+AC在AB上的投影向量为32AE
11.下列选项中，与cs−2023π3的值相等的是
( )
A. 2cs15∘cs75∘B. sin86∘cs56∘−cs86∘sin56∘
C. 11+tan3∘1+tan42∘D. cs16π5+cs8π5
12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M 、N 分别为棱C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是
( )
A. 直线BN 与MB1是异面直线
B. 直线AM 与BN 是平行直线
C. 三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球的表面积为3π
D. 平面BMN 截正方体所得的截面面积为92
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设x∈C，则方程x+x=1+3i的解为 ．
14.若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为64π，则此圆锥的高为 ．
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的一个顶点A在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，A1到平面α的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面α的距离的最大值为 ．
16.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF=2AF，点M为AB 的中点，点P是△DEF内(含边界)一点，且MP=λMD−MB，则λ的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，m=a+kb，(k∈R)
(1)若向量m与a垂直，求实数k 的值
(2)当k 为何值时，向量m与a+b平行．
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β 的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为35，−513．

(1)求csβ−α的值；
(2)求sin2α−cs2α1+cs2α的值．
19.(本小题12分)
在复平面内，正方形ABCD的两个顶点A、B对应的复数分别为1+i、2−3i，求另外两个顶点C 、D 对应的复数．
20.(本小题12分)
如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD ，AB=PA，M 、N 、Q 分别是AB 、PC 、PB 的中点．

(1)求证：MN//平面PAD ；
(2)求证：直线AQ⊥平面PBC ；
(3)求直线PB 与平面PAD 所成的角．
21.(本小题12分)
为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2020年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力，该同学分别进入“电影社”的概率和“心理社”的概率16和p ，假设至少进入一个社团的概率为38．
(1)求该同学进入心理社的概率p ；
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．
22.(本小题12分)
已知函数fx=csπ2−2x+2 3cs2x− 3．
(1)若x∈0,π2，求函数fx的值域；
(2)设三角形ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知b=2，且锐角B 满足fB=0，求a+c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．
利用复数运算即可解答．
【解答】
解：∵ (z−1)i=1+i ，
∴z= 1+2ii=(1+2i)(−i)−i2=2−i ，
故选C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题．
选项A：向量垂直数量积为0的性质即可判断；
选项B:根据公式 |a|+|b|≥|a+b| 可以进行判断；
选项C:因为c是非零向量，所以 a⋅b=0 ，可以依据这个进行判断；
选项D：根据数量积为正的定义即可判断．
【解答】
解：A：若a⋅b=a⋅c ，当b≠c，a⊥b，a⊥c时也满足a⋅b=0=a⋅c，故A错误；
B：若 a+b=c ，则 |a|+|b|≥|a+b|=|c| ，故B错误；
C：非零向量 a，b，c ， (a⋅b)⋅c=0⇒a⋅b=0⇒a⊥b ，故C正确；
D：若 a⋅b>0 ，则a，b的夹角为锐角或0，故D错误．
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
利用辅助角公式计算即可．
本题考查三角函数的叠加及应用，属于基础题．
【解答】
解： ∵cs5π12− 3sin5π12=2(12cs5π12− 32sin5π12)=2(csπ3cs5π12−sinπ3sin5π12)
=2cs(π3+5π12)=2cs3π4=− 2 ，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据数学建模的有关知识逐个分析判断即可
解：对于①，数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，正确，
对于②，数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用，正确，
对于③，数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一，正确，
对于④，按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验，正确，
故选：D
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查空间线线平行，面面平行的判断，属于基础题．
利用正方体模型可判断②③的正误，利用平行的传递性可判断①的正误，利用面面平行的传递性可判断④的正误．
【解答】
解：对于①，由平行的传递性可知，平行于同一直线的两条直线平行，①对；
对于②③，如下图所示：
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中， A1B1// 平面ABCD ， A1D1// 平面ABCD ，
但A1B1 与A1D1 相交，②错，
CD// 平面 AA1B1B ， CD// 平面 A1B1C1D1 ，
但平面 AA1B1B 与平面 A1B1C1D1 相交，③错；
对于④，平行于同一平面的两个平面平行，④对．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
由余弦定理化简计算即可．
本题考查余弦定理，属于基础题．
【解答】
解：由 a=2bcs C 及余弦定理得：
a=2b×a2+b2−c22ab⇒a2=a2+b2−c2⇒b2=c2 ，即b=c ．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
求出两个加数都大于2的情况，即两个加数都为素数的情况，即可得出概率．
本题主要考查古典概型的计算，注意例举法的应用，属于基础题．
【解答】
解：记“两个加数都大于2”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B，
在加数都大于2的条件下则事件A有 3,7,4,6,5,5,6,4,7,3, 这5种情况
事件B有 3,7,5,5,7,3, 这3种情况，故 P=35 ．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项 A，B 错误；对于C， 求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于D， 利用正弦定理和等面积法可求出 △ABC 外接圆半径R，内切圆半径r ，可判断D 正确．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．
【解答】
解：设 a+b=5t,b+c=6t,c+a=7t, t>0，则 a=3t,b=2t,c=4t,
对于A， sin A:sin B:sin C=a:b:c=3:2:4, 故 A 错误；
对于B， csC=a2+b2−c22ab=−14