2022-2023学年贵州省卓越发展计划高二下学期6月测试数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省卓越发展计划高二下学期6月测试数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=−1,0,1,2,4，B=xx−1≤1，则A∩B=( )
A. −1,2B. 1,2C. 0,1,2D. −1,0,1,2
2.已知a,b∈R，a+2i=b+ii，(i为虚数单位)，则
( )
A. a=1，b=−2B. a=−1，b=2
C. a=−1，b=−2D. a=1，b=2
3.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A. y=sin(2x+π2)B. y=cs(2x+π2)
C. y=sin2x+cs2xD. y=sinx+csx
4.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N100,σ2，若P(80≤ξ≤100)=0.45，则P(ξ≥120)的值
( )
A. 0.1B. 0.9C. 0.45D. 0.05
5.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多−斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列an为“斐波那契数列”且满足：an=an−1+an−2n≥3,n∈N*，则a4+a8=( )
A. 12B. 16C. 24D. 39
6.在▵ABC中，E为AC上一点，AC=3AE，P为线段BE上任一点，若AP=xAB+yAC，则1x+1y的最小值是
( )
A. 3+2 2B. 4+2 3C. 6D. 8
7.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.有4名大学生参加了冬奥会新闻中心志愿者服务，下列说法正确的是( )
A. 将4名志愿者每人都安排一项工作(一共4项不同的工作)的不同方法数为24种
B. 将4名志愿者分配到3个采访场馆，每个采访场馆至少分配一名志愿者，所有分配方案共有72种
C. 将4名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，不同的安排方法有140种
D. 将4名志愿者分配到记者招待会、集体采访2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，不同的分配方案共有14种
8.已知函数fx是定义在R上的可导函数，且满足f−x+fx=0，f′x>1，f−1=−2，则不等式fx−1>x的解集是
( )
A. −1,+∞B. 1,+∞C. 2,+∞D. 3,+∞
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知fx是定义在R上的奇函数，图像关于直线x=1对称，且fx在区间−1,3内的图像如图所示，下列说法正确的是
( )
A. f−40)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为13，则C的离心率为 ．
16.已知数列an满足a1=4，nan+1=2n+1an，则数列an的通项公式为 ，若数列{an(n+1)(n+2)}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
请在下列三个条件中选择一个作为条件补充在题目的横线上，并解决问题．
①bsinA+sinC=a−csinB+csinA+sinC．
②2acsB=2c−b．
③a2−b2=accsB−12bc．
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________________
(1)求A；
(2)若a=2，点D在线段BC上，且AD⋅BC=0，求AD的最大值．
18.(本小题12分)
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．
19.(本小题12分)
2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为20n(n∈N∗)，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．
附表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
(1)求n的值；
(2)现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名男生被第二次调查的概率．
20.(本小题12分)
如图1，已知ABFE是直角梯形，EF/​/AB，∠ABF=90∘，∠BAE=60∘，C、D分别为BF、AE的中点，AB=5，EF=1，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角F−DC−B的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点．
(1)证明：FN⊥AD；
(2)若M为AE上一点，且AMAE=λ，则当λ为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为5 714．
21.(本小题12分)
设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．
22.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+1．
(1)求函数fx在x=0处的切线方程；
(2)当a≥1时，证明：fx≤a2ex−a．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集运算，解绝对值不等式，属于基础题．
利用集合的运算即可求得结果．
【解答】
解：因为 B=x0≤x≤2 ，故 A∩B= 0,1,2 ．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，复数的运算以及复数相等的条件，属于简单题．
结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】
解：因为 a+2i=b+ii=−1+bi，所以 a=−1，b=2 ．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、正弦、余弦的图象与性质、诱导公式，属于基础题．
利用正弦、余弦的图象与性质，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：对于选项A，y=sin(2x+ π2 )=cs2x，是最小正周期为π的偶函数，符合题意；
对于选项B，y=cs(2x+ π2 )=−sin2x，虽然最小正周期为π，但属于奇函数，故排除；
对于选项C，y=sin2x+cs2x= 2sin2x+π4 ，虽然最小正周期为π，属于非奇非偶函数，故排除；
对于选项D，y=sinx+csx= 2sinx+π4 ，函数的最小正周期为2π，属于非奇非偶函数，故排除．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概念与正态密度函数，属于较易题．
由已知可得 μ=100 ，根据正态分布的对称性可推得 Pξ≥120=0.05 ，即可得出答案．
【解答】
解：由已知可得， μ=100 ，所以 Pξ≥100=0.5 ．
又 P80≤ξ≤100=0.45 ，根据正态分布的对称性可得 P100≤ξ≤120=0.45 ，
所以 Pξ≥120=Pξ≥100−P100≤ξ≤120=0.5−0.45=0.05 ．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的通项求解指定的项，属于基础题．
由题写出数列 an 的前8项，即可得答案．
【解答】
解：由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知 a4+a8=3+21=24 ．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的加减与数乘的混合运算，平面向量基本定理的应用，考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中等题．
由题可得 3y+x=1 ，后由基本不等式可得答案．
【解答】
解：由题可得B，P，E三点共线，
则 AP=λAE+1−λAB ，
又 AP=xAB+yAC ， AC=3AE ，则 AP=λ3AC+1−λAB⇒λ3=y1−λ=x ，⇒3y+x=1 ，则 1x+1y=x+3y1x+1y=4+3yx+xy≥4+2 3yx⋅xy=4+2 3 ．
当且仅当 3yx=xy ，即 y=3− 36,x= 3−12 时取等号．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题．
利用乘法原理求出不同方法数判断A；利用分组分配方法计算判断B；利用组合应用问题列式计算判断C；按两组人数情况分类计算判断D作答．
【解答】
解：对于A，每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为 44=256 (种)，A错误；
对于B，将4名同学按2，1，1分成3组有 C42 种方法，再将这3组分配到3个比赛场馆，
共有 A33 种，则所有分配方案共有 C42⋅A33=36 (种)，B错误；
对于C，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有 C72C53C21=420 (种)，C错误；
对于D，先将4名志愿者分成2组，每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有 C42=6 种分法，
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有 C43A22=8 (种)分法，
因此不同的分配方案共14种，D正确．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数解不等式，属于中等题．
构造新函数，通过已知条件，判断新函数的单调性，再由单调性解出不等式．
【解答】
解：构造函数 Fx=fx−x ，因为 f′x>1 ，所以 F′x=f′x−1>0 ，
可知函数 Fx 在 R 上单调递增， F1=f1−1=−f−1−1=1 ，
不等式 fx−1>x 化为 fx−1−x−1>1 ，即 Fx−1>F1 ，
由单调递增可得 x−1>1 ，即 x>2 ．
故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查奇偶性，对称性所组成的周期函数的性质，属于一般题．
先求出 fx 的周期，再根据 fx 的周期性逐项分析．
【解答】
解：由题意， fx 的对称点是 0,0 ，对称轴是 x=1 ， ∴f−x=−fx,f2−x=fx,f2+x=f2−−x=f−x=−fx ，
f4+x=−f2+x=fx ，所以 fx 的周期 T=4×1−0=4 ；
∴f−4=f−4+4=f0=0,f5=f4+1=f1=1,f−4e>b>1 ，A选项，由指数函数单调性可判断选项；B选项，由基本不等式结合 lnalnb=1 ，可得 ln2ab4>1 ，即可判断选项；C选项，由 a>e>b>1 ，可得 ab+1>a+b ，即可判断选项；D选项，构造函数 fx=exxx>1 ，利用导数判断其单调性，结合 a>e>b>1 可判断选项．
【解答】
解：因为 01 ，
选项A：∵ a>e>b>1 ，函数 y=2x 在R上单调递增，∴ 2a>2b ，故A正确；
选项B：因为 1=lnalnb1 ，
解得 lnab>2 ，所以 ab>e2 ，故B正确；
选项C：因为 a>e>b>1 ，则 a−1b−1=ab+1−a+b>0 ，
可得 ab+1>a+b ，所以 lg2ab+1>lg2a+b ，故C错误；
选项D：构造函数 fx=exxx>1 ，则 f′x=exx−1x2>0 ，
所以函数 fx=exx 在 1,+∞ 上单调递增，又 a>e>b>1 ，
所以 eaa>ebb ，所以 eaeb>ab ，即 ea−b>ab ，故D正确．
故选：ABD
13.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查二项展开式及其通项，属于较易题．
求出给定二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答．
【解答】
解： (2x+1x)4 展开式的通项公式是 Tr+1=C4r(2x)4−r(1x)r=24−rC4rx4−2r,r∈N,r≤4 ，
由 4−2r=0 ，得 r=2 ，
所以 (2x+1x)4 展开式的常数项为 T3=22C42=4×6=24 ．
故答案为：24．
14.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念和计算，属于中档题．
根据题意列出所有事件的情况，记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，分别求出A、B的结果个数，问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式求解即可．
【解答】
解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个也是女孩”，
则A={(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
AB={(女，女)}．
于是可知P(A)= 34 ,P(AB)= 14，
在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，
得P(B|A)= P(AB) P(A) = 1434 = 13 ．
故答案为：13．
15.【答案】 63
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质，是中档题．
设P(x ​0，y ​0)，则Q(−x ​0，y ​0)，根据斜率公式结合题意可得：k AP⋅k AQ= 13，再结合 x2a2+y2b2=1，整理可得离心率．
【解答】
解：已知A(−a,0)，设P(x ​0，y ​0)，则Q(−x ​0，y ​0)，
k AP= y0x0+a，
k AQ= y0a−x0，
故k AP⋅k AQ= y0x0+a⋅ y0a−x0= y02a2−x02= 13①，
∵ x02a2+ y02b2=1，即 y02= b2(a2−x02)a2②，
②代入①整理得： b2a2= 13，
e= ca= 1−b2a2= 63．
故答案为： 63．
16.【答案】an=n⋅2n+1；6
【解析】【分析】
本题考查数列与不等式的结合，根据数列的递推公式求通项公式，裂项相消法求和，属于较难题．
根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出 Sn ，再借助数列单调性计算得解．
【解答】
解：在数列 an 中， a1=4 ，由 nan+1=2n+1an 得：
an+1n+1=2⋅ann ，而 a11=4 ，
于是得数列 {ann} 是以4为首项，2为公比的等比数列，
则 ann=4⋅2n−1 ，即 an=n⋅2n+1 ，
所以数列 an 的通项公式为 an=n⋅2n+1 ；
显然， an(n+1)(n+2)=n⋅2n+1(n+1)(n+2)=(n+1)⋅2n+2−(n+2)⋅2n+1(n+1)(n+2)=2n+2n+2−2n+1n+1 ，
则 Sn=(233−222)+(244−233)+(255−244)+⋯+(2n+1n+1−2nn)+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2 ，
由 Sn≥30 得： 2n+2n+2−2≥30 ，即 2n+2n+2≥32 ，
令 bn=2n+2n+2 ，则 bn+1bn=2(n+2)n+3>1 ，即数列 {bn} 是递增数列，
由 2n+2n+2≥32 ，得 bn≥32 ，而 b6=32 ，
因此， bn≥b6 ，从而得 n≥6 ， nmin=6 ，
所以满足不等式 Sn≥30 的 n 的最小值为6．
故答案为： an=n⋅2n+1 ；6
17.【答案】解：(1)若选择①：由已知条件及正弦定理，得 ba+c=a−cb+ca+c ，
即 b−ca+c=a−cb .整理得 b2+c2−a2=bc ．
由余弦定理， csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12 ．
又因为 A∈0,π ，所以 A=π3 ；
若选择②：因为 2acsB=2c−b ，由正弦定理得 2sinAcsB=2sinC−sinB ，
所以 2sinAcsB=2sinA+B−sinB=2sinAcsB+csAsinB−sinB ，
所以 2csAsinB−sinB=0 ，又 sinB≠0 ，所以 csA=12 ，因为 00 ，则 tan (α−β)=tan α−tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k⩽12 1k⋅2k= 24 ，
当且仅当 1k=2k 即 k= 22 时，等号成立，
所以当 α−β 最大时， kAB= 22 ，设直线 AB:x= 2y+n ，
代入抛物线方程可得 y2−4 2y−4n=0 ， Δ>0,y3y4=−4n=4y1y2=−16 ，所以 n=4 ，所以直线 AB:x= 2y+4 ．
[方法三]：三点共线
设 My124,y1,Ny224,y2,Ay324,y3,By424,y4 ，
设 Pt,0 ，若 P、M、N三点共线，由 PM=y124−t,y1,PN=y224−t,y2，
所以 y124−ty2=y224−ty1 ，化简得 y1y2=−4t ，
反之，若 y1y2=−4t ，可得MN过定点 t,0，
因此，由M、N、F三点共线，得 y1y2=−4 ，
由M、D、A三点共线，得 y1y3=−8 ，
由N、D、B三点共线，得 y2y4=−8 ，
则 y3y4=4y1y2=−16 ，AB过定点(4,0)，
(下同方法一)可得kMN=2kAB，
若要使 α−β 最大，则 β∈0,π2 ，
设 kMN=2kAB=2k>0 ，则 tan (α−β)=tan α−tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k⩽12 1k⋅2k= 24 ，
当且仅当 1k=2k 即 k= 22 时，等号成立，
所以当 α−β 最大时， kAB= 22 ，所以直线 AB:x= 2y+4 ．

【解析】本题考查抛物线的定义和方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化化归思想和运算求解能力，属于难题．
(1)由抛物线的定义可得 MF=p+p2 ，即可得解；
(2)法一：设点的坐标及直线 MN:x=my+1 ，由根与系数的关系及斜率公式可得 kMN=2kAB ，再由两角差的正切公式及基本不等式可得 kAB= 22 ，设直线 AB:x= 2y+n ，结合根与系数的关系可解；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，找到直线 AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
22.【答案】解：(1)因为函数 fx=lnx+1x>−1 ，所以 f′x=1x+1 ，
∴ f′0=1 ，∴ f0=0，
所以函数 fx 在 x=0 处的切线方程 y=x ．
(2)设 gx=lnx+1−x x>−1 ，则 g′x=1x+1−1=−xx+1 ，
所以 gx 在 −1,0 单调递增，在 0,+∞ 单调递减，
又 g0=0 ，故 gx≤0 ，即当 x>−1 时， lnx+1≤x (*)．
令 hx=x−a2ex+a ， x>−1 ，
h′x=1−a2ex ，令 h′x=0 得 x=−2lna≤0 ，
当 −2lna≤−1 即 a≥ e 时， h′x0 ，
所以 φa 在 1, e 单调递增，有 φa≥φ1=0 ，所以 hx≤0 ，
故 a≥1 时， hx≤0 对 x∈−1,+∞ 恒成立，即 x≤a2ex−a 对 x∈−1,+∞ 恒成立，
由(*)可知 lnx+1≤x ，
因此，当 a≥1 时， lnx+1≤a2ex−a ．

【解析】本题考查利用导数解不等式，求曲线上一点的切线方程，属于较难题．
(1)利用导数的几何意义求出斜线的斜率，再求出切点坐标，利用点斜式写出斜线方程；
(2)先证明 lnx+1≤x ，再证明 x≤a2ex−a 即可．
牛排种类
菲力牛排
肉眼牛排
西冷牛排
T骨牛排
数量/盒
20
30
20
30
男生
女生
合计
了解
10n
不了解
5n
合计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
男生
女生
合计
了解
15n
10n
25n
不了解
5n
10n
15n
合计
20n
20n
40n