2023-2024学年湖南省郴州市第一中学高一上学期10月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市第一中学高一上学期10月月考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x-1≤0}，B={0,1,2}，则A∩B=( )
A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}
2.已知命题p：∀x∈R，-x2+4x+3>0，则命题p的否定为
( )
A. ∀x∈R，-x2+4x+3≤0B. ∀x∈R，-x2+4x+3<0
C. ∃x∈R，-x2+4x+3≤0D. ∃x∈R，-x2+4x+3<0
3.“a>b”是“a-1>b+1”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图所示的Venn图中，集合A=x∈Zx2+x-2<0，B=x∈Z-1( )
A. 0B. -1,0C. 0,1,2,3,4D. -1,1,2,3,4
5.若a>b，d>c，且c-ac-b<0，d-ad-b>0，则
( )
A. b6.某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润y(单位：千万元)与运行年数xx∈N*满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行
年时，其产出的年平均利润yx最大．( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
7.已知函数fx=x2+ax+b的最小值为2，且图象关于直线x=1对称，若当m≤x≤n时，fx的最大值为6，则n-m的最大值为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知x>0，y>0且x+y=1，若1x+16y>a2+24a恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A. aa≥12B. aa≤-3C. a-25二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知非空集合A,B,C都是R的子集，满足B⊆A，A∩C=⌀，则
( )
A. A∪B=AB. A∩∁RC=AC. B∩C=BD. B∩∁RC=B
10.若a>b>0，c∈R，则
( )
A. 0b-abC. 1a+c<1b+cD. a+b>2a
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{xx≤-4或x≥3}，则
( )
A. a>0
B. a+b+c>0
C. 不等式bx+c>0的解集为xx<12
D. 不等式cx2-bx+a<0的解集为x-1412.已知x>0，y>0，且9x+y-xy=0，则
( )
A. 9x+y9y+1x>xy
B. x9+y的取值可以为10
C. 当且仅当x=4，y=12时，x+y取得最小值16
D. 当且仅当x=2，y=18时，xy取得最小值36
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.抛物线y=x2-2x+5的顶点坐标为_____．
14.给出一个能够说明命题“∀x∈R，x2-4x+3≥0”为假命题的实数x= ．
15.已知p:116.已知集合A=1,2,3,4,6，B=xyx,y∈A，则集合B中的元素个数为_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
设集合A={x|(x-2)(x-a)=0,a∈R}，B={x|x(x-1)=0}．
(1)若a=1，求A∩B，A∪B；
(2)设C=A∪B，若集合C有8个子集，求a的取值集合．
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式x ​2-ax-x+b<0．
(Ⅰ)若此不等式的解集为{x|-1(Ⅱ)若a=b，求不等式的解集．
19.(本小题12分)
已知一个二次函数当x=-1时取得最小值-4，且其图象过点0,-3．
(1)求此函数的图象与x轴的交点坐标；
(2)当-2≤x≤2时，求此函数的最大值．
20.(本小题12分)
(1)设a，b，c，d均为正数，ab=cd且a+b>c+d，证明： a+ b> c+ d；
(2)已知a>0，b>0且a≠b，比较b2a+a2b和a+b的大小．
21.(本小题12分)
LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本Wx万元，在年产量不足6万件时，Wx=12x2+x，在年产量不小于6万件时，Wx=7x+100x-39.每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润Lx(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本)
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c∈R．
(1)若a>b>c且a+b+c=0，设此函数图象与x轴的两个交点间的距离为l，求l的取值范围；
(2)若a答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
先求出集合A，再根据交集运算求解即可．
【解答】
解：因为A={x|x-1⩽0}={x|x⩽1}，B=0,1,2，
所以A∩B=0,1．
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求得结果．
解：根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，
则命题 p 的否定为“ ∃x∈R ， -x2+4x+3≤0 ”．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】举反例说明充分性不成立，再说明必要性成立，即可判断．
解：由 a>b 不能推出 a-1>b+1 ，比如 2>1 ，但 2-1<1+1 ，所以充分性不成立；
反过来，由 a-1>b+1 可得 a>b+2>b ，所以必要性成立．
所以“ a>b ”是“ a-1>b+1 ”必要不充分条件．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查韦恩图的理解，为基础题．
根据A集合与B集合的并集，除去A与B集合的交集范围即可解答．
【解答】
解：由已知得，B=0,1,2,3,4，
令U=A∪B=-1,0,1,2,3,4，A∩B=0，
则阴影部分表示的集合是∁U(A∩B)={-1,1,2,3,4}．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】解一元二次不等式，求出 ba 或 dc ，得到正确答案．
解：因为 a>b ， c-ac-b<0 ，所以 b又因为 d-ad-b>0 ，所以 d>a 或 d因为 d>c ，所以 da ，
综上： b故选：B
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．
根据图象可求得二次函数解析式，由此可得yx=-x+36x+20，根据基本不等式取等条件可求得结果．
【解答】
解：由一元二次函数图象可知，当x=2与x=18时，函数值y=0．
则可设：y=a(x-2)(x-18)，
由图象可知：当x=10时，y=-64a=64，
解得：a=-1，
∴y=-x-2x-18=-x2+20x-36，
∴yx=-x+36x+20≤-2 x⋅36x+20=8，
当且仅当x=36x，即x=6时取等号，
∴当车间运行6年时，其产出的年平均利润yx最大．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式以及顶点坐标求解 fx ，再令 fx=6 进行求解即可．
解：由 fx 的图象关于直线 x=1 对称，可得 -a2=1 ， a=-2 ，所以 fx=x2-2x+b ．
因为 fx 的最小值为2，所以 1-2+b=2 ，可得 b=3 ，故 fx=x2-2x+3 ．
令 x2-2x+3=6 ，解得 x=3 或 -1 ．
所以 m 最小为 -1 ， n 最大为3，则 n-m 的最大值为4．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式解决存在性或恒成立问题，属于中档题．
根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的妙用求得结果．
【解答】
解：已知x>0，y>0，x+y=1，
则1x+16y=(x+y)(1x+16y)
=17+yx+16xy
⩾17+2 yx⋅16xy=25，
当且仅当yx=16xy且x+y=1，即x=15，y=45时取等号，
所以1x+16ymin=25，
由1x+16y>a2+24a恒成立可得a2+24a<25，
即a2+24a-25<0，
解得-25故实数a的取值范围为a|-25故选：C．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由 B⊆A 可得 A∪B=A ，故A正确；
对于B，由 A∩C=⌀ ，可得 A⊆∁RC ，从而 A∩∁RC=A ，故B正确；
对于C、D，结合 B⊆A 与 A∩C=⌀ ，可知 B∩C=⌀ ，又 B⊆A⊆∁RC ，所以 B∩∁RC=B ，故C错误，D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】根据不等式的性质，作差与0比较大小即可得出结果．
解：对于A，因为 a>b>0 ，所以 ab-1=a-bb>0 ，则 ab>1 ，则故选项A错误；
对于B，因为 a>b>0 ，所以 a-ba-(b-ab)=a-b+a2-b2ab=(a-b)(1+a+bab)>0 ，
则 a-ba>b-ab ，则选项B正确；
对于C，因为 a>b>0 ，所以 1a+c-(1b+c)=b-aab<0 ，则 1a+c<1b+c ，
故选项C正确；
对于D，因为 a>b>0 ，所以 a+b-2a=b-a<0 ，则 a+b<2a ，故选项D错误，
故选：BC．
11.【答案】BC
【解析】【分析】根据已知条件得 -4 和 3 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根，且 a<0 ，根据韦达定理可得 b=a,c=-12a ，根据 b=a,c=-12a 且 a<0 ，对四个选项逐个求解或判断即可．
解：因为关于 x 的不等式 ax2+bx+c≤0 解集为 {xx≤-4 或 x≥3} ，
所以 -4 和 3 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根，对应的二次函数图像开口向下且 a<0 ，故A错误；
所以 -4+3=-ba ， -4×3=ca ，所以 b=a,c=-12a ，
因为 a+b+c=a+a-12a=-10a ，又 a<0 ，所以 a+b+c>0 ，故B正确；
不等式 bx+c>0 可化为 ax-12a>0 ，因为 a<0 ，所以 x<12 ，故C正确；
不等式 cx2-bx+a<0 可化为 -12ax2-ax+a<0 ，又 a<0 ，
所以 12x2+x-1<0 ，即 4x-13x+1<0 ，解得 -13故选：BC．
12.【答案】CD
【解析】【分析】将 9x+y-xy=0 两边同时除以xy可得 9y+1x=1 ，由此可判断A； x9+y=x9+y9y+1x ，结合基本不等式可判断B； x+y=x+y9y+1x ，结合基本不等式可判断C； 9x+y=xy ，结合基本不等式得到关于 xy 的不等式，由此即可判断D．
解：9x+y-xy=0⇒9x+y=xy⇒9y+1x=1 ．
故 9x+y9y+1x=9x+y=xy ，故A错误；
x9+y=x9+y9y+1x=xy+yx+829≥2 xy⋅yx+19+9=11+19>10 ，
当且仅当 xy=yx ，即x=y=10时等号成立，故B错误；
x+y=x+y9y+1x=9xy+yx+10≥2 9xy⋅yx+10=16 ，
当且仅当 9xy=yx ，即 x=4 ， y=12 时，等号成立，故C正确；
9x+y=xy⇒xy≥2 9x⋅y⇒( xy)2-6 xy≥0⇒ xy-6 xy≥0
⇒ xy-6≥0⇒xy≥36 ，当且仅当 9x=y ，即 x=2 ， y=18 时等号成立，故D正确．
故选：CD．
13.【答案】1,4
【解析】【分析】利用配方法得出二次函数的顶点坐标．
解：因为 y=x2-2x+5=x-12+4 ，
故抛物线的顶点坐标为 1,4 ．
故答案为： 1,4 ．
14.【答案】2(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查命题的概念与真假，属于基础题．
根据不等式x2-4x+3≥0写出一个答案即可．
【解答】
解：当x=2时，x2-4x+3=-1，不满足x2-4x+3≥0，
故答案为：2(答案不唯一)
15.【答案】(6,+∞)
【解析】【分析】由题意可得 x1解：因为q是p的必要不充分条件，所以 x1所以 m-2>4 ，因此 m>6 ．
故答案为： (6,+∞)
16.【答案】13
【解析】【分析】由题列举出集合B，即得．
解：将x，y及 xy 的值列表如下，去掉重复的值，可知集合 B=xyx,y∈A 中的元素个数为13．
故答案为：13
17.【答案】解：(1)由题设 A={1,2} ， B={0,1} ，
所以 A∩B={1} ， A∪B={0,1,2} ．
(2)由 C=A∪B ，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素，
当 a≠2 时 A={a,2} ，此时 a=0 或 a=1 满足题设；
当 a=2 时 A={2} ，满足题设；
综上， a∈{0,1,2} ．
【解析】【分析】(1)解方程得 A={1,2} 、 B={0,1} ，应用集合的交并运算求结果；
(2)由题设集合C有3个元素，讨论 a≠2 、 a=2 满足题设情况下 a 的取值，即可得结果．
18.【答案】解：(Ⅰ)由不等式的解集为{x|-1可知方程x2-ax-x+b=0的两根为-1和1，
则根据韦达定理可得a+1=-1+1=0,b=-1,解得a=-1，b=-1．
(Ⅱ)由b=a，原不等式可化为x2-(a+1)x+a<0，
因此(x-a)(x-1)<0．
当a<1时，不等式的解集为{x|a当a=1时，原不等式即为(x-1)2<0，不等式的解集为⌀;
当a>1时，不等式的解集为x1【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的解的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．
(Ⅰ)由一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数关系，即可求出a、b的值；
(Ⅱ)分别讨论a与1的大小关系，即可求出对应不等式的解集．
19.【答案】解：(1)因为二次函数当 x=-1 时取得最小值 -4 ，
所以可设其解析式为 y=ax+12-4 ( a≠0 )，即 y=ax2+2ax+a-4 ( a≠0 )，
又因为函数图象过点 0,-3 ，所以 a-4=-3 ，得 a=1 ，
所以函数为 y=x2+2x-3 ．
令 y=0 ，得 x1=1 ， x2=-3 ，
所以此函数的图象与 x 轴的交点坐标为 1,0,-3,0 ．
(2)函数 y=x2+2x-3 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x=-1 ，
故当 -2≤x≤-1 时，函数为减函数，当 -1当 x=-2 时， y=4-4-3=-3 ，当 x=2 时， y=4+4-3=5 ，
故当 -2≤x≤2 时，函数的最大值5．
【解析】【分析】(1)设二次函数为顶点式，利用待定系数法求得解析式，再令 y=0 求得结果．
(2)根据二次函数的单调性求得结果．
20.【答案】解：(1) a+ b2=a+b+2 ab， c+ d2=c+d+2 cd，
由ab=cd，a+b>c+d，得 a+ b2> c+ d2，
所以 a+ b> c+ d．
(2)因为a>0，b>0且a≠b，
所以b2a+a2b-(a+b)
=b3+a3-ab(a+b)ab=b2(b-a)+a2(a-b)ab
=b-a2b+aab>0，
所以b2a+a2b>a+b．
【解析】本题考查利用不等式的基本性质证明不等关系，属于基础题．
(1)根据不等式的性质证明即可；
(2)利用作差法比较大小．
21.【答案】解：(1)∵每件产品售价为6元，∴x万件产品的销售收入为6x万元，
依题意得，当0当x≥6时，Lx=6x-7x+100x-39-4=35-x+100x．
∴Lx=-12x2+5x-4,0(2)当0当x=5时，Lx取得最大值172．
当x≥6时，Lx=35-x+100x≤35-2 x⋅100x=35-20=15，
当且仅当x=100x，即x=10时，Lx取得最大值15．
∵172<15，
∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．
【解析】本题考查利用分段函数模型解决实际问题，二次函数的最值，由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．
(1)根据“年利润=年销售收入-固定成本-变动成本”，分0(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在022.【答案】解：(1)由 a>b>c 且 a+b+c=0 ，得 3a>a+b+c>3c ，即 a>0 ， c<0 ，
显然 2a+c>a+b+c>a+2c ，即 2a+c>0>a+2c ，则 2+ca>0>1+2⋅ca ，即 -2由 a+b+c=0 ，得方程 ax2+bx+c=0 的一个根为1，则另一个实根 ca<0 ，
因此函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点间的距离 l=1-ca∈(32,3) ，
所以 l 的取值范围为 {l|32(2)因为 ax2+bx+c<0 的解集为 ⌀ ，显然 a≠0 ，否则 b>0 ，不等式 bx+c<0 的解集为 ⌀ ，矛盾，
于是 a>0 且 Δ=b2-4ac≤0 ，则 b>a>0 且 4c≥b2a ，
因此 2a+2b+8cb-a≥2a+2b+2b2ab-a=2+2⋅ba+2⋅(ba)2ba-1 ，令 ba-1=t>0 ，
则 2a+2b+8cb-a≥2+2(t+1)+2(t+1)2t=2t2+6t+6t=2t+6+6t≥6+2 2t⋅6t=6+4 3 ，
当且仅当 2t=6t ，即 t= 3 ，也即 ba=1+ 3 时取等号，
所以 2a+2b+8cb-a 的最小值为 6+4 3 ．
【解析】【分析】(1)由已知结合不等式性质可得 -20 ，再求出 y=0 时的方程二根即可得解．
(2)由已知结合一元二次不等式的解集规律可得 b>a>0 且 4c≥b2a ，再结合不等式性质消元，借助基本不等式求解即得．y/x
1
2
3
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6
1
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3
4
6
2
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3
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43
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4
14
12
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1
32
6
16
13
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1