专题16 指数、对数、幂函数小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
根式的性质
（1）当为奇数时，；
当为偶数时，.
有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
对数的性质与运算法则
①两个基本对数：①，②
②对数恒等式：①，②。
③换底公式：；
推广1：对数的倒数式
推广2：。
④积的对数：；
⑤商的对数：；
⑥幂的对数：❶，❷，
❸，❹
幂函数
恒过定点
幂函数的单调性
幂函数的奇偶性
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，
∴，
∴，
即，所以选项A正确，选项B错误，
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，所以选项C错误，
∵指数函数在R上单调递减，且，
∴，所以选项D错误，
故选：A．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若且，且，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】根据题意写出，并利用对数换底公式进行化简计算，再计算即可.
【详解】由题意得，
所以.
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出函数与图象，利用图象交点个数作答.
【详解】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象有唯一公共点，
所以函数的零点个数为1.
故选：B
4．（2023·吉林白山·统考二模）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，分与讨论，即可得到结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，由，得．综上所述，．
故选：A
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数所过的点求出解析式，分别构造、，结合其单调性判断各项正误.
【详解】设幂函数，图象过，则，即，
所以且，
为增函数，，故有.
为增函数，，故有.
所以A、B、C错，D对.
故选：D
6．（2023·云南·校联考模拟预测）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A．20B．27C．32D．40
【答案】B
【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
【详解】依题意得，解得，，
则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
7．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，可得，即，
所以，可得，
解得.
故选：C.
8．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
【答案】B
【分析】根据题意列出方程解出未知量即可.
【详解】设原始量为，每年衰变率为，
，
，
，
，
.
故选：B.
9．（2023·福建三明·统考三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ）
A．17.1B．8.4C．6.6D．3.6
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由已知可得.
故选：D
10．（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由已知可得，构造函数，通过导数研究单调性，得，结合对数的运算规则求的值.
【详解】由，得，
由，有，可得.
令，，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，，当时，，
由，则有，所以，
因为，所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：
由已知，，得，找到共同特征，通过构造函数，利用导数研究函数性质，即可得到，可求的值.
二、多选题
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．
B．在定义域上单调递增
C．的导函数
D．
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解,
【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，
对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，
对于C，当且仅当时取等号，
而，所以C错误，
对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确，
故选：BD
12．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据题意，设，其中，则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，
当时，；当时，；当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况.
故选：BCD.

13．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，方程有两个解
【答案】AC
【分析】结合在定义域内单调性，判断A；利用导数判断函数在单调性，由此判断B；判断函数，在上的单调性，由此判断C；，举反例判断D.
【详解】在定义域内单调递增，
所以当时，，
即当时，，
所以，故A正确；
当时，要证明，
只需证明，
故考虑构造函数，则，
当时，，函数在单调递增，
所以当时，，即，所以B错误；
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，即，C正确；
取可得，方程等价于，解得，
即时，方程只有一个解，D错误.
故选：AC.
14．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知三个互不相等的正数a，b，c满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意，构造，由其单调性即可判断AB，然后分别讨论
与，由的单调性即可判断CD.
【详解】因为，构造，
则，易得在上递减，在上单增，
，所以a，c一个比2大，一个比2小，
所以，B选项正确.
①当时，，设，易知单减，且，所以，所以，故，
又因为，故，即，所以；
②当时，，所以，故，
又因为，故，即，所以.
综上C选项正确.
故选：BC
【点睛】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性，从而证出不等关系，其中构造函数是关键.
15．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知，，，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．
【详解】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，
由的图象关于对称，
则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，
所以的图象也关于对称，
又，两个函数的图象关于直线对称，
故两交点，关于直线对称，
所以，，故A正确；
对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；
对于C，结合选项A得，令，则，
所以在上单调递减，则，故C错误；
对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．
故选：ABD．
16．（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即，解得或，
所以或，故A错误；
对于选项B：，
因为a＞b＞0，则，即，且，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且，
可得同号，则有：
若同正，可得，
则，可得；
若同负，可得，
则，可得；
综上所述：，
又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则，
可得在内单调递增，可得，
且，所以，故D正确；
故选：BCD.
17．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则的取值范围是
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．已知函数，则函数的值域为
【答案】ABD
【分析】由奇函数的定义判断A，函数的值域满足判断B，根据抽象函数的定义域判断C，由对数函数的运算性质结合换元法判断D.
【详解】选项A：函数在定义域上为奇函数，
则，即，即，
即，整理得，即，
所以，解得，
当时，，该函数定义域为，满足，符合题意，
当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意，
综上所述，选项A说法错误；
选项B：因为的值域为，
所以函数的值域满足，
所以，解得，所以B说法错误；
选项C：由得，所以的定义域为，选项C说法正确；
选项D：因为函数，
所以，，
当时，，
令，，则，
即函数的值域为，选项D说法错误；
故选：ABD
18．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或.对于ABC，分、，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由两边取自然对数得到，即，构造函数（且），通过导数判断单调性即可判断.
【详解】因为，为单调递增函数，故，
由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；，；
对于ABC，A正确，BC均错误；
对于D，，两边取自然对数，，
因为不管，还是，均有，
所以，故只需证即可，
设（且），则，
令（且），则，
当时，，当时，，
所以，所以在且上恒成立，
故（且）单调递减，
因为，所以，结论得证，D正确．
故选：AD．
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
19．（2023·福建宁德·校考二模）已知函数，则（ ）
A．
B．若有两个不相等的实根，，则
C．
D．若，，均为正数，则
【答案】BCD
【分析】A：代入、直接计算比较大小；B：求的导函数，分析单调性，可得当有两个不相等实根时、的范围，不妨设，则有，比较的大小关系，因为，可构造，求导求单调性，计算可得成立，可证；C：用在上单调递增，构造可证明；D：令，解出，，做差可证明.
【详解】对于A：，，又，，
所以，所以，则，故A错误；
对于B：函数，定义域为，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则且时，有，所以若有两个不相等的实根、，有，
不妨设，有，要证，只需证，且，
又，所以只需证，
令，
则有，
当时，，，所以有，
即在上单调递增，且，所以恒成立，
即，即，即，故B正确.
对于C：由B可知，在上单调递增，则有，
即，则有，故C正确；
对于D：令，则，，，
，
，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.
20．（2023·海南·校考模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D.
【详解】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可.
三、填空题
21．（2023·河北·校联考一模）若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质根据，即可求解.
【详解】依题意，，即,所以，解得，当时，，定义域不关于原点对称，故舍去，
当时，，定义域为，符合要求，故，
故答案为：
22．（2023·上海松江·校考模拟预测）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答.
【详解】函数中，，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
23．（2023·广东·校联考模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为 .（参考数据：）
【答案】12
【分析】根据题意求出第n次操作后去掉的各区间长度之和,列不等式结合对数运算法则，即可求解.
【详解】由题意可知，每次操作剩下的区间长度为都是原来的，
第n次操作后剩下的区间长度为，则所有去掉的区间长度之和为，
由题意知，，得，
两边取对数得，解得，
又n为整数，∴n的最小值为12．
故答案为：12．
24．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）若函数,则 ．
【答案】/
【分析】根据解析式分别求出和，再相加可得结果.
【详解】,
,
所以.
故答案为：
25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则 .
【答案】2
【分析】根据奇偶性推出周期，再利用周期性可求出结果.
【详解】∵，∴，即4为函数的周期，
∴.
故答案为：2
26．（2023·江苏常州·校考一模）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意函数有意义，
需满足，解得且，
故函数定义域为：.
故答案为：.
27．（2023·河南·统考三模）设函数 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
28．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】确定函数是偶函数，运用导数判断函数的单调性，将不等式，化简为，即，解得即可得到的取值范围．
【详解】由，
函数是定义在上的偶函数，又，
令且，则，故在上递增，
所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上递增，则上递减，
，则，
，即，即，
在上单调递增，
，即，解得．
故答案为：．
29．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分为两种情况，当时，，只需，当即，令，对求导求出的最大值，即可求出答案.
【详解】当时，，

由图可知，，此时若对任意，
只需，即，即．
当，此时若对任意，
即，所以只需．
令，则，
当单调递增，当单调递减，
．
综上，．
故答案为：.
30．（2023·云南·校联考模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 .
【答案】8
【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值.
【详解】，
由得，即的定义域为，
令，因为，所以，
所以在上为增函数，
所以时，.
故答案为：.