湖北省鄂西北六校(宜城市第一中学等)2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂西北六校(宜城市第一中学等)2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合，，则( )
A.B.C.D.
2、下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
3、“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4、设，，则有( )
A.B.C.D.
5、若，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6、已知是定义在上的偶函数，对任意的，满足且，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A.8B.10C.12D.14
8、已知函数的值域与函数的定义域相同，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9、图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
10、下列说法正确的是( )
A.命题“，”的否定是“，”
B.至少有一个整数n，使得为奇数
C.“”是“”的必要条件
D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
11、已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则( )
A.的对称轴为直线
B.的对称轴为直线
C.
D.不等式的解集为
12、下列说法正确的有( )
A.已知，则的最小值为
B.若正数x、y满足，则的最小值为9
C.若正数x、y满足，则的最小值为3
D.设x、y为实数，若，则的最大值为
三、填空题
13、已知集合，若，则实数a的值为________.
14、已知不等式的解集为，则不等式的解集为________.
15、正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围________.
四、双空题
16、若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”.已知定义在R上的奇函数，当时，.那么当时，________；求函数在上的“倒值区间”为________.
五、解答题
17、已知集合
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A.
18、已知集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若是的必要条件，且集合B不为空集，求实数m的取值范围.
19、已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）若函数，求的值域.
20、已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求m的值，并写出的解析式；
（2）解关于的不等式，其中.
21、中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?
（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
22、已知函数，定义域为.
（1）写出函数的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数在上的单调性；
（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）解不等式.
参考答案
1、答案：A
解析：令，可得，
又，可得，则，
可得.
故选：A.
2、答案：B
解析：A选项，因为的定义域为R，
的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B选项，因为的定义域为R，的定义域也为R，
且与对应关系一致，是同一函数，故B正确；
C选项，因为的定义域为，
的定义域为R，定义域不同，不是同一函数，故C错；
D选项，因为的定义域为，
的定义域为，定义域不同，
不是同一函数，故D错误.
故选：B.
3、答案：C
解析：由题意，不等式可化为，
即，解得，
即不等式的解集为，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
4、答案：A
解析：，
.
故选：A.
5、答案：B
解析：因为，所以，
对于A，因为，，即，故A错误；
对于B，因为，，即，故B正确；
对于C，因为，，，所以，
当且仅当，即时取等号，
又因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，，
即，故D错误.
故选：B.
6、答案：C
解析：因为对任意的，满足，
所以在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，且，
所以，所以，解得或.
故选：C.
7、答案：C
解析：因为，，所以，
故，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，则此三角形面积的最大值为12.
故选：C.
8、答案：B
解析：因为函数的定义域为R，所以的值域是R，
当时，，
故当时，的值域为，所以，
所以，解得，所以实数a的取值范围是.
故选：B.
9、答案：AD
解析：在阴影部分区域内任取一个元素x，则或，
故阴影部分所表示的集合为或.
故选：AD.
10、答案：AD
解析：对于A，命题“，”的否定为命题“，”.正确；
对于B，，若n为奇数，则为偶数，则为偶数，
若n为偶数，则为偶数，所以一定是偶数，错误；
对于C，不能推出，也不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，错误；
对于D，若关于x的方程有一正一负两个根，
则，解得，
所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，正确.
故选：AD.
11、答案：BD
解析：A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数的对称轴为直线，故A错误；
B：由选项A可知，B正确；
C：因为函数的对称轴为直线，所以，
又函数在上单调递增，所以，则，故C错误；
D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增，
所以函数在上单调递减，且，
由，得，即，解得，故D正确.
故选：BD.
12、答案：BCD
解析：对于A，因为，所以当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，
所以函数的值域为，故A错误；
对于B，若正数x、y满足，
可得，当且仅当时等号成立，
令，，
则，，即，，解得，即，
所以的最小值为9，故B正确；
对于C，若正数x、y满足，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故C正确；
对于D，，
所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
13、答案：或0.5
解析：因为，，
所以或，解得或.
当时，，不符合元素的互异性，舍；
当时，，符合题意.
综上，.
故答案为：.
14、答案：
解析：由不等式的解集为，则，
则，则，即为，
解得：.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为且x，y是正数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，解得.
故答案为：.
16、答案：①.
②.
解析：设，则，
，
由为奇函数，可得，
故当，，
对称轴方程为，
所以时，，
设是在上的“倒值区间”，则值域为，
所以，即，
所以在上单调递减，
，即，
解得，
所以函数在上的“倒值区间”为.
故答案为：；.
17、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为A是空集，所以，即解得，
所以a的取值范围为.
（2）当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，a的值为0或，
当时，集合，当时，集合.
18、答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时，由，得，符合题意；
当时，可得或，解得.
综上，实数m的取值范围是或.
（2）由题意可知且.
可得解得，
综上，实数m的取值范围是.
19、答案：（1），
（2）
解析：（1）设二次函数，
因为，所以.
由，得，
得，
所以，得，
故，.
（2）当时，，对称轴，
在上单调递增，；
当时，，
令，，则，
，对称轴，
该函数在上单调递增，所以当时，，
综上所述，的值域为.
20、答案：（1）3，
（2）答案见解析
解析：（1）因为为幂函数，
且在上单调递增，
则，解得，所以.
（2）不等式，即，
当，，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为，
当，或，即不等式解集为.
所以，当，不等式解集为，
当，不等式解集为，
当，不等式解集为.
21、答案：（1）40元
（2）a至少应达到10.2万件，每件定价30元
解析：（1）设每件定价为t元，依题意得，
则，解得，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）依题意，时，不等式有解，
等价于时，有解，
因为（当且仅当时等号成立），
所以，此时该商品的每件定价为30元，
当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，
才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元.
22、答案：（1）在定义域为偶函数；在区间上单调递减，证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）在定义域为，
因，所以为偶函数；
在区间上单调递减，证明如下，
设，
则，
，
因，所以，，，
所以，
所以在区间上单调递减.
（2）由（1）可知在区间上单调递减，
所以，当时，取得最小值，
又，都有恒成立，
所以只需成立，即，
故实数m的取值范围为.
（3）由（1）知，在定义域为偶函数且在区间上单调递减，
故由得，即，
解得，所以实数m的取值范围为.