专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad.
(2)弧度制：用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
(3)公式
3.任意角的三角函数的定义
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3．象限角
4．轴线角
典型例题分析
考向一 象限角及终边相同的角
例1．已知角θ在第二象限，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)))＝－sin eq \f(θ,2)，则角eq \f(θ,2)在( )
A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
感悟提升 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置.
【方法技巧与总结】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
考向二 弧度制及其应用
例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
感悟提升 应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
考向三 等分角的象限问题
例3．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【方法技巧与总结】
先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．
考向四 弧长与面积公式
例4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【方法技巧与总结】
（1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2（弧度制）
（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法
考向五 三角函数定义题
例5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
基础题型训练
一、单选题
1．若角满足，则角的终边落在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限.D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边分别与单位圆交于点和，那么（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知,则（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．角的终边在直线上，则=
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
8．设的三个内角分别为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是（ ）
A．与B．与C．与
D．与E．与
三、填空题
9．若角的终边上有一点，则 ．
10．若扇形的周长是，圆心角是度，则扇形的面积（单位）是__________.
11．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为弧度.则扇形的面积是______.
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是__________．
四、解答题
13．分别作出下列各角的正弦线､余弦线和正切线.
(1);
(2).
14．已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2）；
（3）．
15．已知．
（1）把写成的形式；
（2）求，使与终边相同，且．
16．求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
提升题型训练
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角D．小于90°的角都是锐角
2．雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（ ）（最后结果精确到0.1米，参考数据：，，）
A．4.0米B．4.2米C．4.3米D．4.4米
3．下列关系式能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )
A．sinB．csC．tanD．cs2θ
5．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比，我们把有两条边长之比为的三角形称为黄金三角形.则下列结论，正确的个数是
①顶角等于的等腰三角形是黄金三角形；
②底角等于的等腰三角形是黄金三角形；
③有一个角等于的直角三角形是黄金三角形；
④有一个角等于的直角三角形是黄金三角形.
A．1B．2C．3D．4
6．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
二、多选题
7．下列命题正确的是（ ）
A．在与角终边相同的角中，最小的正角为
B．若角的终边过点，则
C．已知是第二象限角，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
8．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．终边在直线上的一个角的可以是_______.
10．点从圆心在原点的单位圆上点出发，沿顺时针方向运动弧长，到达点，则点的坐标是_______________．
11．求值：________．
12．已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，则表示M∩N的图形面积为__．
四、解答题
13．已知角的终边经过下列各点，求的正弦、余弦、正切值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，求下列两个式子的值：
（1）
（2）
15．已知α是三角形的内角，且sinα＋csα＝.
(1)求tanα的值；
(2)将用tanα表示出来，并求其值．
16．已知,，函数，
（1）若，，求的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与半径为r的圆交于点P(x，y)
定义
正弦
比值eq \f(y,r)叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝eq \f(y,r)
余弦
比值eq \f(x,r)叫作α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝eq \f(x,r)
正切
比值eq \f(y,x)(x≠0)叫作α的正切函数，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函数
sin α，cs α，tan α分别叫作α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数统称为α的三角函数.