专题4.6 正、余弦定理及其应用举例-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
3.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(abc,4R).
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常用结论]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A
>sin B⇔cs A典型例题分析
考向一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(2)，A＝30°，则B等于( )
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝eq \r(19)，AB＝2，则BC＝( )
A.1 B.eq \r(2)
C.eq \r(5) D.3
(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cs Bcs C·(tan B＋tan C)＝cs Btan B＋cs Ctan C，则cs A的最小值是________.
感悟提升 1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
考向二 判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，eq \f(c－a,2c)＝sin2eq \f(B,2)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中，eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________.
感悟提升 判断三角形形状的两种思路
(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
考向三 与三角形面积(周长)有关的计算
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝eq \f(\r(3),2)，sin B＝eq \f(1,3).
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝eq \f(\r(2),3)，求b.
感悟提升 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
考向四 多边形中的解三角形问题
例4 (2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
(2)若CD＝eq \r(3)BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
感悟提升 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
考向五 三角形中的最值、范围问题
例5(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin 2B,1＋cs 2B).
(1)若C＝eq \f(2π,3)，求B；
(2)求eq \f(a2＋b2,c2)的最小值.
[思路分析] (1)化简条件式，利用C＝eq \f(2π,3)消去角A得到角B的三角方程，即可求解.
(2)利用条件式得到A，B的关系式，利用正弦定理把eq \f(a2＋b2,c2)转化为B的三角函数式，利用基本不等式求其最小值.
[规范解答] 解 (1)因为eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin 2B,1＋cs 2B)，
→eq \a\vs4\al(化倍角为单角以利于计算)
所以eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin B,cs B)，(2分)
所以cs Acs B＝sin B＋sin Asin B，
eq \x(所以cs（A＋B）＝sin B②)，(4分)
→由cs(A＋B)＝－cs C，角C＝eq \f(2π,3)，进而求B
所以sin B＝－cs C＝－cs eq \f(2π,3)＝eq \f(1,2).
→eq \a\vs4\al(利用B的范围求B)
(2)eq \x(由（1）得cs（A＋B）＝sin B，)
→eq \a\vs4\al(利用（1）题的结论)
所以sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－（A＋B）))＝sin B，
且0→eq \a\vs4\al(根据B与\f(π,2)－（A＋B）的范围确定其关系)
所以eq \f(π,2)－(A＋B)＝B，解得A＝eq \f(π,2)－2B，(8分)
→eq \a\vs4\al(利用正弦定理实现边角互化)
→eq \a\vs4\al(消去角A以利求解)
＝eq \f(cs22B＋sin2B,cs2B)＝eq \f(（2cs2B－1）2＋1－cs2B,cs2B)
→eq \a\vs4\al(化为基本不等式的形式)
≥2eq \r(4cs2B·\f(2,cs2B))－5＝4eq \r(2)－5③，
→eq \a\vs4\al(验证取等号的条件)
所以eq \f(a2＋b2,c2)的最小值为4eq \r(2)－5.(12分)
[满分规则]
❶得步骤分：
①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.
❷得关键分：
②处消去角A是本题得解的关键所在.
❸得计算分：
③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.
感悟提升 对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
考向六 三角函数模型
例6 (多选)(2023·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,3)))＋2
感悟提升 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
基础题型训练
一、单选题
1．在中，已知，则（ ）
A．3B．2C．D．
2．有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为,那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为
A．B．C．D．
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，，，，则满足条件的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
6．在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，已知，是方程的两个根，且，则c＝（ ）
A．4B．C．D．
二、多选题
7．某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，这时他离出发点，那么的值可以是（ ）
A．B．C．D．
8．的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等腰三角形
三、填空题
9．在中，，，，则__________．
10．的内角、、所对边分别为、、，已知，则的最大值为__．
11．甲船在岛的正南处， ，甲船以每小时的速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____.
12．在中，AB=1，BC=2，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，线段BD的最大值为______．
四、解答题
13．在中，，，为边上一点，且．
（1）求；
（2）若，求．
14．在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的值；
(2)若，且，求的取值范围．
15．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．
(1)，时，求CD的长度；
(2)若CD为角C的平分线，且，求的面积．
16．已知的角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求．
提升题型训练
一、单选题
1．在△ABC中，，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知的三个内角所对的边分别为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角的对边为，若，则当取最大值时，的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，四边形中，，，且、的周长相等，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．的内角､､的对边分别为､､，，，则可以为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，且的面积为，则的最小边长为2
C．若时，是唯一的，则
D．若时，周长的范围为
三、填空题
9．在中，已知，，，则边上的中线长为________．
10．在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“爱因斯坦”，指的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块．2023年3月20日，一个由数学家和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多个相同的“风筝”粘在一起而形成的十三边形（如右图所示），只用此十三边形就能做到单铺砌块，也就是数学家们寻找的“圣杯”．若已知此十三边形最短的边长为1，则此十三边形的面积为_____________．
11．在中，内角，，的对边分别为，，若，且为的外心，为的重心，则的最小值为________．
12．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________．
四、解答题
13．在中，已知哪些条件可以应用余弦定理解三角形？
14．在中，内角所对的边分别为，.
（1）求；
（2）求.
15．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，是方程的两个实根.
(1)求和；
(2)若，求的值.
16．已知某渔船在渔港的南偏东方向，距离渔港约海里的处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船的俯角为，测得渔政船的俯角为，且渔政船位于渔船的北偏东方向上．
(1)计算渔政船与渔港的距离；
(2)若渔政船以每小时海里的速度直线行驶，能否在小时内赶到出事地点？
(参考数据：，，，，，）
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝ ；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
eq \f(a,sin A)＝ ＝ ＝2R
常见变形
cs A＝ ；
cs B＝
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
(1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝ ，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝ ；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
所以eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(2sin Bcs B,1＋2cs2B－1)，
因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))eq \s\up12(①)，所以B＝eq \f(π,6).(5分)
所以0由正弦定理得eq \f(a2＋b2,c2)＝eq \f(sin2A＋sin2B,sin2C)
＝eq \f(sin2A＋sin2B,1－cs2C)＝eq \f(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2B))＋sin2B,1－sin2B)②
＝eq \f(4cs4B－5cs2B＋2,cs2B)＝4cs2B＋eq \f(2,cs2B)－5③(10分)
当且仅当cs2B＝eq \f(\r(2),2)时取等号，