专题6.2 等差数列-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练

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知识点总结
1．等差数列的有关概念
2．等差数列的前n项和公式
典型例题分析
考向一 等差数列基本量的运算
1．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a6＝17，S5＝a2a3，则a12＝( )
A．28 B．30
C．32 D．35
解析：选D 设公差为d且d>0，由a6＝17，S5＝a2a3，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝17，,5a1＋10d＝a1＋da1＋2d，,d>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝3，))故a12＝a1＋11d＝2＋33＝35.
2．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________.
解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.
答案：2
方法总结
解答等差数列运算问题的通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了解方程的思想．
考向二 等差数列的判定或证明
[典例] 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)设cn＝eq \f(an,2n)，求证数列{cn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：在数列{an}中，∀n∈N*，Sn＋1＝4an＋2，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，
两式相减得an＋1＝4an－4an－1，而cn＝eq \f(an,2n)，即an＝2ncn，则有2n＋1cn＋1＝4×2ncn－4×2n－1cn－1，
整理得cn＋1＝2cn－cn－1，即cn＋1＋cn－1＝2cn，
所以数列{cn}是等差数列．
(2)由Sn＋1＝4an＋2得a1＋a2＝4a1＋2，而a1＝1，则a2＝5，c1＝eq \f(a1,2)＝eq \f(1,2)，c2＝eq \f(a2,22)＝eq \f(5,4)，
因此，等差数列{cn}的公差d＝eq \f(5,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，即{cn}是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(3,4)为公差的等差数列，则cn＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)(n－1)＝eq \f(3,4)n－eq \f(1,4)，即eq \f(an,2n)＝eq \f(3n－1,4)，于是得an＝(3n－1)·2n－2，
所以数列{an}的通项公式an＝(3n－1)·2n－2.
[方法技巧] 等差数列的判定与证明方法
考向三 等差数列的性质
角度1 等差数列的性质
[例1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于( )
A．110 B．150 C．210 D．280
(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为________斤．
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(7n＋3,3n＋8)，则eq \f(a7,b7)＝________.
[解析] (1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
(2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列{an}，由题意得，每4段为1尺，即a1＋a2＋a3＋a4＝4，a20＋a19＋a18＋a17＝2，两式相加得4(a1＋a20)＝6，则a10＋a11＝a1＋a20＝eq \f(3,2).
(3)因为{an}，{bn}为等差数列，所以eq \f(a7,b7)＝eq \f(2a7,2b7)＝eq \f(a1＋a13,b1＋b13)＝eq \f(\f(13a1＋a13,2),\f(13b1＋b13,2))＝eq \f(S13,T13)，又eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(7n＋3,3n＋8)，
所以eq \f(a7,b7)＝eq \f(S13,T13)＝eq \f(7×13＋3,3×13＋8)＝eq \f(94,47)＝2.
[答案] (1)D (2)eq \f(3,2) (3)2
[方法技巧]
(1)运用等差数列的有关性质和结论可以提升解题效率．
(2)应用性质解题时，注意性质成立的前提条件．
(3)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq \f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等．
角度2 等差数列前n项和的最值
[例2] (多选)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝10，S5＝S2，则( )
A．S3＝S4 B．a6＝10
C．Sn的最大值为30 D．an的最大值为15
[解析] 设等差数列的公差为d，则由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝10，,5a1＋10d＝2a1＋d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝15，,d＝－5，))∴an＝15＋(n－1)×(－5)＝20－5n，Sn＝eq \f(n15＋20－5n,2)＝eq \f(35n－5n2,2)，∴a4＝0，S3＝S4，故A正确；a6＝－10，故B错误；当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值为30，故C正确；由于d<0，∴an的最大值为a1＝15，故D正确．
[答案] ACD
[方法技巧]
求等差数列前n项和Sn最值的方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①若a1＞0，d＜0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；
②若a1＜0，d＞0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm.
基础题型训练
一、单选题
1．观察下面的数表：若第n行的各数之和为231，则（ ）
A．15B．18C．20D．21
2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是
A．B．C．D．
3．设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
4．在等差数列中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
6．数列的前项和为，若点在函数的图象上，则（ ）
A．2021B．4041C．4042D．4043
二、多选题
7．若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
8．已知关于x的方程的四个根是公差为2的等差数列的前四项，为数列的前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为__________升．
10．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使得成立的的最小值是________．
11．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．
12．已知数列中，，则___________．
四、解答题
13．已知等差数列中，=1，，求数列的通项公式
14．已知数列满足﹒
(1)求证数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)试判断是否为数列中的项，并说明理由﹒
15．在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的表达式.
16．已知在公比为2的等比数列中，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和．
提升题型训练
一、单选题
1．在等差数列中，若，，则（ ）
A．38B．39C．40D．41
2．已知直线y＝25－3x，点(n，an)在该直线上，则a3＋a5＝（ ）
A．24B．25C．26D．27
3．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是扇环形的石板，从内到外各圈的石板数组成等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．2079B．2059C．2022D．1890
4．已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．②④D．③④
5．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，年英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将至这个整数中能被除余且被除余的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）
A．B．C．D．
6．在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（ ）
A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数
B．等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数
C．若数列是等差数列，则数列（k为常数）也是等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
8．已知数列满足：，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．
三、填空题
9．在等差数列中，，，则________.
10．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a3+a6＝______
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S5＝30，则数列{}的前n项和为_____．
四、解答题
13．已知数列的前n项和为，，，且.求证：数列是等差数列；
14．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列.
15．已知等差数列，，公差，是数列的前项和，数列满足，，，是数列的前n项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求证：.
16．设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等差中项．
(1)求的值；
(2)若集合中最小的元素为6，求实数t的取值范围．
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，即an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)
通项公式
设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则通项公式an＝
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝
已知条件
前n项和公式
a1，an，n
a1，d，n
定义法
如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列
等差
中项法
如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an＋1＝an＋an＋2，那么可以判断{an}为等差数列
通项
公式法
如果一个数列{an}的通项公式满足an＝pn＋q(p，q为常数)的形式，那么可以提出{an}是首项为p＋q，公差为p的等差数列，适用选择、填空题
前n项和
公式法
如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A＋B，公差为2A的等差数列，适用选择、填空题