专题1.9 探索三角形全等的条件（ASA，AAS）（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题1.9 探索三角形全等的条件（ASA，AAS）（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共26页。

（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
一、单选题
1．（辽宁省葫芦岛市兴城市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）

A．B．C．D．
2．（2022年云南省中考数学真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）

A．OD=OEB．OE=OFC．∠ODE =∠OEDD．∠ODE=∠OFE
3．（2022年四川省成都市中考数学真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）

A．B．C．D．
4．（河南省漯河市临颍县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）

A．B．C．D．和
5．（重庆实验外国语学校2021-2022学年九年级下学期入学考试试题）如图，，要使．则添加的一个条件不能是（ ）

A．B．C．D．
6．（[首发]山东省淄博市沂源县实验中学（五四学制）2017届九年级下学期第一次月考数学试题）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（ ）

A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
7．（2022年四川省绵阳中学英才学校中考数学模拟试题）如图，是的中线，交的延长线于点，，，则的取值不可能是（ ）

A．B．C．D．
8．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考三模（统考）数学试题）在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（ ）

A．∠DCF＝∠BCDB．∠DFE＝3∠AEF
C．EF＝CFD．S△BEC＝2S△CEF
二、填空题
9．（2022年宁夏回族自治区中考数学真题试）如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个）

10．（2022年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）如图，，，请添加一个条件______，使．

11．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________．

12．（2022年辽宁省营口市中考数学一模试题）如图，D是的边上一点，，交于E点，．若，，则_____．

13．（2022年山东省菏泽市重点中学中考数学模拟预测试卷）已知，，，直线l过直角顶点A，分别过点B、C向直线l作垂线，垂足分别为E、F，，，则______．
14．（湖南省株洲市渌口区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，F是高AD和BE的交点，cm，则线段BF的长度为______．

三、解答题
15．（2023年吉林省中考数学真题）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

16．（2015-2016学年宁夏吴忠市红寺堡三中八年级上学期期末数学试卷（带解析））如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
17．（浙江省衢州市2022年中考数学真题）已知：如图，．求证：．
18．（2022年湖南省益阳市中考数学真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

（2022年贵州省铜仁市中考数学真题）如图，点C在上，．
求证：．

20．（2022年四川省宜宾市中考数学真题）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．

（2022年四川省乐山市中考数学真题）如图，B是线段AC的中点，，
求证：．

（2022年陕西省中考数学真题）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．
求证：DE=BC．

23．（2022年湖南省长沙市中考数学真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．
(1) 求证：；
(2) 若，求四边形ABCD的面积．

24．（2022年江西省吉安市九年级中考学业水平评估（二）数学试题）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．

求证：．
如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
① 求证：BC−BE−CD=2OF．
② 延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．
参考答案
1．D
【分析】根据，可得，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A、添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意；
B、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意；
C、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意；
D、添加，无法证明，故本选项不符合题意；
故选：D
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．D
【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，

∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正确．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．
3．B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
4．C
【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等即可得出答案．
【详解】解：第块和第块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一快均不能配一块与原来完全一样的，第块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，应带去，
故选：C．
【点拨】本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度不大，要善于将所学知识与实际问题相结合，解题的关键是熟练掌握全等三家形的判定定理．
5．A
【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．
【详解】解：在和中，
∴无法证明，
选项A说法错误，符合题意；
在和中，
∴（AAS），
选项B说法正确，不符合题意；
在和中，
∴（ASA），
选项C说法正确，不符合题意；
在和中，
∴（AAS），
选项D说法正确，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
6．C
【分析】本题是三角形全等的综合题，利用三角形全等逐个解决就可以.
【详解】解:①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；
④已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°,∠DCB=60°，
又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°,∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本选项错误；
⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③⑤．
故选C.
【点拨】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
7．D
【分析】证明，可得，再由三角形的三边关系可得，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
即，
∴，
∴的取值不可能是6．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意得到是解题的关键．
8．D
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故此选项A正确；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°−x，
∴∠EFC＝180°−2x，
∴∠EFD＝90°−x＋180°−2x＝270°−3x，
∵∠AEF＝90°−x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项B正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵EF＝MF，
∴CF＝MF，即CF＝EF，故选项C正确；
∵EF＝MF，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误；故选项D不成立；
故选D
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
9．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：，，，
∴≌（SAS），
要使≌，添加一个条件是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．∠A＝∠D（答案不唯一）
【分析】根据角边角可证得，即可．
【详解】解：可添加∠A＝∠D，理由如下：
∵，
∴∠DCE=∠ACB，
∵，∠A＝∠D，
∴．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
11．3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
12．1
【分析】利用角角边定理判定即可；利用全等三角形对应边相等可得的长，用即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，．
在和中，

∴．
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
13．12或2
【分析】分两种情况画出图形，证明，即可得到对应答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴；
如图，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴；
故答案为：12或2
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，分情况画出图形是解题的关键．
14．8 cm
【分析】先求，推导出，再求出，，根据ASA证明，即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在△BFD和△ACD中
，
∴（ASA），
∴cm
故答案为：8cm
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
15．证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，
∴
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．见解析
【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．
【详解】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
17．见解析
【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．
18．见解析
【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．
【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
19．见解析
【分析】直接根据一线三垂直模型利用ASA证明即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．
20．见解析
【分析】根据，可得，根据证明，进而可得，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21．证明过程见详解
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
22．证明见解析
【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC．
【详解】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA)．
∴DE=BC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
23．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；
（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可．
【详解】（1） AC平分，
，
，
；
（2），，
，
，
，
四边形ABCD的面积．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)BE+CD=BC，
(3)①见解析；②
【分析】（1）先根据三角形内角和得：∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)，由角平分线定义得：∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，最后由三角形内角和可得结论；
（2）在BC上截取BM=BE，证明△BOE≌△BOM，推出∠BOE=∠BOM=60°，再证明△DCO≌△MCO可得结论；
（3）①延长OF到点M，使MF=OF，证明△ODF≌△MEF(SAS)，推出OD=EM．过点O作CE，BD的垂线，证明△OBE≌△OBK(AAS)和△ODC≌△OHC，推出EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．据此即可证明结论；
②利用①的结论以及三角形面积公式即可求解．
（1）
证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°− (∠ABC+∠ACB)
=180°− (180°−∠A)
=∠A+90°；
（2）
解：BE+CD=BC．
在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：
∵∠BOC=∠A+90°=120°，
∴∠BOE=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠MBO，
∴△BOE≌△BOM，
∴∠BOE=∠BOM=60°，
∴∠MOC=∠DOC=60°，
∵OC为∠DCM的角平分线，
∴∠DCO=∠MCO，
在△DCO与△MCO中，
，
∴△DCO≌△MCO （ASA），
∴CM=CD，
∴BC=BM+CM=BE+CD；
（3）
①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，
∴OM=2OF．
∵F是ED的中点，
∴EF=DF，
∵∠DFO=∠EFM，
∴△ODF≌△MEF(SAS)，
∴OD=EM．
过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，
∴∠OCK+∠OKC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACE+∠AEC=90°
∵∠ACE=∠OCK，
∴∠AEO=∠OKC，
∴∠BEO=∠BKO，
∴△OBE≌△OBK(AAS)，
同理可得△ODC≌△OHC，
∴EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．
由（1）可知∠DOE=∠BOC=×90°+90°=135°，
∴∠BOE=∠COD=45°，
∴∠OEM=∠KOH=45°，
∴△OME≌△KHO，
∴KH=OM，
∴KH=2OF．
∵BC−BK−CH=KH=2OE，
∴BC−BE−CD=KH=2OF；
②解：∵△OME≌△KHO，
∴∠EOM=∠OKH，
∴FG⊥BC．
由①可知KH=2OF=4，△ODF≌△MEF，
∴S△DEO=S△OME=S△KHO=10，
∴KH×OG×=10，
∴OG=5．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形全等的性质和判定．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．