专题1.12 探索三角形全等的条件（HL）（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题1.12 探索三角形全等的条件（HL）（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共20页。

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
一、单选题
1．（2023·湖南永州·统考三模）判定三角形全等的方法有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
2．（2023·湖南张家界·统考一模）如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西柳州·校联考二模）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽滁州·统考二模）如图所示的正方形网格中，（ ）
A．330° B．315° C．310° D．320°
6．（2022·山东济南·模拟预测）如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
二、填空题
7．（2023·北京·模拟预测）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是___________．
8．（2022·辽宁营口·统考二模）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
9．（2022·江苏扬州·统考二模）如图，，，，则______°．
10．（2022·云南临沧·统考一模）如图，在四边形AOBC中，，．有以下四个结论：①，②，③，④，其中一定正确的结论有___．（填序号）
11．（2022·四川广安·统考二模）如图，点P在内部，于点M，于点N，且．若，则__________°．
12．（2022·河北邯郸·校考三模）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：
①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；
②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝_____，此时竹竿末端落在地面E处；
③测得EB的长度，就是AB的高度．
以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 _____（用字母表示）．
三、解答题
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，、、、四点共线，，，，求证：．

14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，、相交于点O，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
15．（2023·广东·模拟预测）如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：．
16．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．

17．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
18．（2023·广东肇庆·统考一模）在中，点D为边上的一点，过点D作于点E，作于点F，且，连接，求证．
19．（2023·云南昭通·统考一模）如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且．求证：．
20．（2023·福建·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：.
21．（2023·广西防城港·校考一模）用三角板可按下面方法画角平分线：在已知的两边上，分别取（如图），再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分，请你说出其中的道理.
22．（2023·广东惠州·模拟预测）如图，点D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：AB=AC．
23．（2022·浙江温州·统考一模）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，连接AC，AD，∠ACD＝∠ADC．
(1)求证：．
(2)若，∠ACD＝65°，求∠BAE的度数．
参考答案
1．A
【分析】根据判定三角形全等的方法分析即可求解．
解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，
故选：A．
【点拨】本题考查了判定三角形全等的方法，熟练掌握判定三角形全等的判定定理是解题的关键．
2．D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
解：∵于点D，于点F，
∴，
∵，
∴当添加时，根据“”判断．
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
3．A
【分析】先根据，判断出≌．
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
4．A
【分析】由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．
解：在和中

∴
故选A
【点拨】此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
5．B
【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．
解：由图得∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，
∴，， ，，
∴
故选B．
6．C
【分析】根据全等三角形的判定方法可得△OCA≌△OCB′，进而可得∠OB′C＝∠OAC，再由三角形的外角性质即可求解.
解：过点O作线段A′B′，如图，∠AOA′即为跷跷板可以转动的最大角度
在Rt△OCA和Rt△OCB′中
∵OA＝OB′，OC＝OC
∴△OCA≌△OCB′（HL）
∴∠OB′C＝∠OAC＝15°
∵∠AOA′＝∠OB′C＋∠OAC＝15＋15°＝30°
∴跷跷板可以转动的最大角度为30°
故选：C
【点拨】本题主要考查全等三角形的应用及三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质
7．（答案不唯一）
【分析】用“”判定，只需要满足一条直角边对应线段，斜边对应相等即可
解：添加条件：，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知“”的判定条件是解题的关键．
8．2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
9．25
【分析】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可．
解：∵，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
∵AC＝AC，，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,
∴∠DAC＝∠BAC，
∵，
∴∠DAC＝∠BAD＝65°，
∴90°－∠DAC＝25°．
故答案为：25．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
10．①②④
【分析】根据直角三角形的全等判定证明，再利用全等的性质进行判断即可．
解：由题意得，在和中
，
，
，，，
所以①②④正确，
当时，才有．
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定以及性质，本题解题关键是证出．
11．40
【分析】根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；再由全等的性质即可解答；
解：Rt△OPM中，∠OPM=70°，则∠POM=20°，
Rt△OPM和Rt△OPN中：OP=OP，PM=PN，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠POM=∠PON=20°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40；
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，掌握全等的判定和性质是解题关键．
12． /
【分析】根据题意，将的长度转化为的长度，证明即可求解．
解：由③可得将的长度转化为的长度，证明，故把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝，
证明，
（HL）
故答案为：，．
【点拨】本题考查了HL证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握的性质与判定是解题的关键．
13．见分析
【分析】先利用线段和差得到，然后利用证明三角形全等即可解题．
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查斜边直角边定理证明三角形全等，掌握三角形全等的条件是解题的关键．
14．(1)见分析；(2)
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求．
（1）解：证明：．
和是直角三角形，
在和中，
，
；
（2），
，
，
．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键．
15．见分析
【分析】利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论．
解：证明：∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF；
∴DF=BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴∠B=∠D，
∴．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
16．证明见分析
【分析】利用证明，得到，即可证明．
解：证明：∵，
∴和均为直角三角形．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
17．(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
解：（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．见分析
【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得，再根据三角形的面积公式即可证得结论．
解：证明： ，，
．
，，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
19．证明见分析
【分析】根据垂线的定义，得出，再根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了垂线的定义、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定与性质．
20．见详解
【分析】利用“”证明，即可作答．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴、是直角三角形，
在和中，，，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考考查了利用“”证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
21．见分析
【分析】根据已知条件得出Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），根据全等三角形的性质得到∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．
解：OP平分∠AOB，
理由：∵OM⊥MP，ON⊥NP，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
∵在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴.
∴
即平分
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质．
22．证明见分析.
【分析】欲证明AB=AC，只要证明∠ABC=∠ACB即可，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性质可证∠EBD=∠FCD，再由等腰三角形的性质∠DBC=∠DCB，从而可证∠ABC=∠ACB.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)见分析；(2)∠BAE＝130°
【分析】（1）先根据等角对等边得出，再根据即可证明出结论；
（2）根据三角形内角和定理得出∠DAC＝50°，再根据平行线的性质得出∠EAC＝90°，从而∠DAE＝40°，最后由全等三角形的性质可得出∠DAE＝∠BAC＝40°，进一步可得出结论．
解：（1）∵∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD．
又∵∠B＝∠E＝90°，BC＝DE，
∴（HL）．
（2）∵∠ACD＝∠ADC＝65°，
∴∠DAC＝180－65×2＝50°，
∵，
∴∠E＝∠EAC＝90°，
∴∠DAE＝40°，
∵，
∴∠DAE＝∠BAC＝40°，
∴∠BAE＝∠EAC＋∠BAC＝130°．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．