专题1.15 角平分线（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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单选题
1．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）

A．35° B．45° C．55° D．65°
3．（2021·青海·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
4．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
5．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
6．（2020·湖南怀化·中考真题）在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
7．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题
9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则_________．

10．（2023·全国·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度．

11．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，平分若则____．

12．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．
13．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
14．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
15．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
16．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是______．

17．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在中，平分若，则___________．

解答题
18．（2023·河南·统考中考真题）如图，中，点D在边上，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
19．（2022·广东·统考中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
20．（2022·陕西·统考中考真题）如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
22．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
23．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．
24．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
1．D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
解：A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
2．B
【分析】根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用即可求出答案．
解：由作法得BP平分
,
∵OG平分,
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．
3．A
解：试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选A．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
4．A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据题意可知，平分，即可得出正确答案．
解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；
故选C．
【点拨】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
6．A
【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
解：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
7．B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
8．C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠CGF=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
9．
【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
解：由题意可知，是的角平分线，
∴．
故答案为：
【点拨】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
10．55
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
解：∵由作图可得，是的角平分线
∴．
故答案为：55．
【点拨】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11．1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点拨】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
12．15
【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解．
解：由题意，，，，
即点O到BC、AB的距离相等，
∴ OB是的角平分线，
∵ ，
∴．
故答案为：15．
【点拨】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．
13．8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点拨】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
14．
【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
解：平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
15．
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
16．12
【分析】过点O作于点E，于点F，连接，然后根据角平分线的性质定理及三角形的面积计算公式可求解．
解：过点O作于点E，于点F，连接，如图所示：

∵平分，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
17．1
【分析】作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
解：如图所示，作交于点F，

∵平分，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点拨】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
18．(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
19．见分析
【分析】根据题意，用AAS证明．
解：证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴
又∵（公共边），
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
20．见分析
【分析】作的角平分线即可．
解：如图，射线即为所求作．
【点拨】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
21．(1)见详解；(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
解：（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点拨】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
23．见分析
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
24．（1）；（2）证明见分析；（3）作图见分析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．