专题2.27 轴对称图形中的折叠问题（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题2.27 轴对称图形中的折叠问题（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共23页。

想要解决初中数学中存在的折叠问题，那么我们对折叠的性质要有比较清楚的认识。首先要明白图形折叠前后图形的大小，形状都不发生改变，其次折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线。而且折叠前后及对应边相等，对应角相等，这是我们解决折叠问题中最核心的内容。
另外，对于折叠问题，我们一般还有其重要的性质，就是将其转化为轴对称的问题，比如对称点的连线被对称轴垂直平分，我们连接两对称点，就可以得到相等的两条线段，
一、单选题
1．（2018·四川内江·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则∠DEF的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
2．（2011·甘肃天水·中考真题） 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
3．（2013·湖北十堰·中考真题）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
4．（2018·宁夏·中考真题）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2019·四川内江·统考中考真题）如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去……经过第次操作后得到折痕，到的距离记为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·浙江衢州·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
7．（2015·贵州毕节·统考中考真题）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．60° D．57．5°
8．（2015·广西桂林·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
9．（2014·甘肃天水·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．（2014·广西南宁·中考真题）如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 （ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
二、填空题
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

12．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．

13．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ．
14．（2021·四川资阳·统考中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线剪开，再将展开得到如图3的一个六角星．若，则的度数为 ．
15．（2012·浙江丽水·中考真题）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ．
16．（2009·山东淄博·中考真题）如图，等边△ABC的边长为2cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm
17．（2016·湖南娄底·中考真题）如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB=7，BC=6，则△BCD的周长为 ．
18．（2015·浙江舟山·统考中考真题）如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为 .
三、解答题
19．（2022·河南郑州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为BC边上一点，将△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点E处．
（1）若∠C=30°，求证：△ADE≌△CDE；
（2）对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由．
20．（2022·江苏徐州·一模）如图，长方形ABCD中，AB＞AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）图中有 个等腰三角形；（请直接填空，不需要证明）
（2）求证：△ADE≌△CED；
（3）请证明点F在线段AC的垂直平分线上．
21．（2020·山西·统考模拟预测）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠后得到，过点作交的延长线于点.求证：．
22．（2023·甘肃兰州·统考一模）阅读下列材料，回答问题．
如图1，小明将三角形纸片折叠，使点和重合，折痕为，连接，展开纸片后小明认为和的面积相等．理由如下：
由折叠知，．
过点作于点，，，所以．
请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
23．（2023·山东青岛·一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．
（1）若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
（2）如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
（3）如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．
24．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】先利用互余计算出∠BDE＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠BDE＝28°，接着根据折叠的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF的度数，于是得到结论．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据折叠性质可得∠EMB′=∠EMB＝∠BMC′，∠FMB′＝∠FMC＝∠CMC′，再根据平角定义即可解答．
解：∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°，
故选：B．
【点拨】本题考查折叠的性质、平角定义，熟练掌握折叠的性质求角度是解答的关键．
3．C
解：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，
∴AD+DC=17﹣5=12（cm）.
∵AD=BD，
∴BD+CD=12cm.
故选C.
4．D
【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.
解：
解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC，
又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得
∠2=∠DBC，
又因为∠2+∠ABC=180°，
所以∠EBC+∠2=180°，
即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.
所以∠2=70°.
【点拨】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.
5．C
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA⊥BC，得到AA=2，求出=2-1，同理，于是经过第n次操作后得到的折痕
解：∵是的中点，折痕到的距离为
∴点到的距离，
∵是的中点，折痕到的距离记为，
∴点到的距离，
同理：，
……
故选C．
【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于找到规律
6．D
【分析】由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
7．B
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
考点：翻折变换（折叠问题）
【点拨】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
8．B
【分析】根据折叠的性质可得EF为△ABC的中位线，△AEF≌△DEF，分别求出EF、DE、DF的长度，即可求得周长．
解：由折叠的性质可得，△AEF≌△DEF，EF为△ABC的中位线，
∵AB=10，AC=8，BC=12，∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，
∴△DEF的周长=5+4+6=15．
故选B．
【点拨】本题考查了翻折变换，解答本题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9．C
【分析】由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解．
解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°
∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，
∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．
故选C．
【点拨】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．
10．D
解：试题分析：对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
试题解析：由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，
那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
考点：剪纸问题．
11．
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．
解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．
解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．2
【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解．
解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，
∴，
而,
当点与点重合时，，此时的长最小，
∴．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键．
14．135°
【分析】利用折叠的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．
解：连接OC，EO
由折叠性质可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD
∴∠ECO=
∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°
即的度数为135°
故答案为：135°
【点拨】主要在考查折叠的性质，学生动手操作的能力，也考查了等腰三角形的性质及内角和定理，掌握折叠及等腰三角形的性质正确推理计算是解题关键．
15．50°
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可；
解：连接BO，
∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，
∴AO是BC的中垂线．
∴BO＝CO．
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB＝∠OAC＝25°．
∵等腰△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠OBC＝65°－25°＝40°．
∴∠OBC＝∠OCB＝40°．
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO．
∴在△OEC中，
∠CEF＝∠FEO＝（180°－2×40°）÷2＝50°．
故答案为：50°．
【点拨】本题考查了三线合一，中垂线的性质，折叠的性质，三角形的内角和，角平分线等知识点．
16．6
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=6cm．
17．13
解：∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点A与点C重合，
∴AD=CD，
∵AB=7，BC=6，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．
18．2.5
解：试题分析：解：如图所示，
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，
∴折痕EF垂直平分AD，
∴E是AC的中点，
∵AC=5
∴AE=2．5．
考点：翻折变换（折叠问题）．．
19．（1）见详解；（2）不能，理由见详解
【分析】（1）由折叠的性质，得∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED=90°，结合∠C=30°，利用AAS即可证明结论成立；
（2）运用全等三角形的性质和三角形的内角和定理进行判断，即可得到结论．
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
由折叠的性质，则∠BAD=∠EAD=∠BAC=，∠B=∠AED=90°，
∴，
∵，，
∴△ADE≌△CDE；
（2）解：不能；理由如下：
若△ADB≌△ADE≌△CDE，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
∴若一个直角三角形能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形，那么该直角三角形应含有一个30°的锐角；
∴对于任意一个直角三角形，不能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
20．（1）2；（2）证明见分析；（3）证明见分析
【分析】（1）由题意知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC=∠DCA，有△ACF为等腰三角形；在和中，，知，有∠DEA=∠EDC，有△DEF为等腰三角形；
（2）在和中，，可得；
（3）由于，，，有，，故，进而可得出结果．
（1）解：有△ACF和△DEF共2个等腰三角形
证明如下：由折叠的性质可知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC
∵
∴∠EAC=∠DCA
∴△ACF为等腰三角形；
在和中
∵
∴
∴∠DEA=∠EDC
∴△DEF为等腰三角形；
故答案为：2．
（2）证明：∵四边形ABCD是长方形
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
在和中，
∴．
（3）证明：由（1）得
∴，即
∴
又∵
∴
∴
∴点F在线段AC的垂直平分线上．
【点拨】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等知识．解题的关键在于灵活运用知识．
21．证明见分析．
【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、直角三角形全等的判定和性质进行推理即可得证结论．
解：证明：连接，如图：
∵是的中点
∴
∵将沿折叠后得到
∴，
∴，
∵，
∴
∴
在和中，
∴
∴．
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、两直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
22．作图见分析
【分析】作（或）的垂直平分线交（或）于，连接（），即可求解．
解：如图，即为所作
【点拨】本题考查了三角形的中线的性质，作线垂直平分线，熟练掌握基本作图以及三角形中线的性质是解题的关键．
23．（1）；；（2）证明见分析；（3）
【分析】（1）由倍余角的定义可求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可求∠ADE＋∠BDC＝180°−，由三角形内角和定理可求∠ABC＝2（90°−∠EDB），可得结论；
（3）由倍余角的定义可求∠EDB＝45°，由平行线的性质可求∠EDB＝∠DBF＝45°，由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠DBP＝45°−α，即可求解．
（1）解：∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90°−30°）＝120°；
∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，
∴∠2＝2（90°−α）＝180°−2α．
故答案为：120°；180°−2α．
（2）设，
∵CD＝CB，AE＝AD
∴，
∴，
，
∴即∠ABC是∠EDB的倍余角．
（3）由（2）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，理解倍余角的定义并运用，是解题的关键．
24．（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
【点拨】本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型．