第1章 全等三角形（单元测试·基础卷）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点1】全等三角形的判定与性质
【知识点2】全等三角形的证明思路
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等
C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等
5．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝，则△BCE的面积等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
7．已知线段AB和点C,D,且CA=CB,DA=DB,那么直线CD是线段AB的( )
A．垂线 B．平行线
C．垂直平分线 D．过中点的直线
8．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．50° B．60° C．40° D．20°
10．观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由“等边对等角”可得∠CPD=∠AOB
B．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
D．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则 ．
12．如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明△DOC≌△D'O'C'就能得出∠O=∠O'，那么小明证明△DOC≌△D'O'C'的依据是 ．
13．如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ．
14．如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
15．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，．

16．如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、BC，连接DE、DF、CE、CF，DF交CE于点G，已知AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．如果△DEG的面积为S1，△CFG的面积为S2，则S1﹣S2＝ ．
17．如图，是的中线，延长至，使得，连接，，点在的平分线上，且．设，则 （用含、的式子表示）
18．如图，在等腰直角三角形中，，，D是边上的一点，过点B，C作，分别交于E，F，若，，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，，，连接AF；
(1) 与相等吗？请说明理由．
(2) 若，，AF平分时，求的度数．
20．（8分）已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
21．（10分）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，
（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求证：BC⊥FD．

22．（10分）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______，求证：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
23．（10分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是 ，请说明理由．
24．（12分）在中，，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．
（1）如图（1），若点D在线段BC上，和之间有怎样的数量关系？（不必说明理由）
（2）若，当点D在射线BC上移动时，如图（2），和之间有怎样的数量关系？说明理由．
参考答案
1．B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2．C
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形性质推出，即可得出答案．
解：，，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．
3．B
【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可．
解：在与中，
，
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，逐条排除即可．
解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；
B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据，再用可判定全等，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．B
【分析】根据证，推出，得出，代入求出即可．
解：，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有，，，，．
6．B
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE= ，根据三角形面积公式计算即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝．
故选B.
【点拨】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．C
【分析】由已知CA=CB根据线段垂直平分线的性质的逆定理可得点C在AB的垂直平分线上，同理得点D的位置
解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．
故选C．
【点拨】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
8．B
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
解：全等三角形的判定定理分别为：
（1）判定定理1：－三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：－两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故C不符合题意；
（3）判定定理3：－两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；
（4）判定定理4：－两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：－斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．故D不符合题意．
全等三角形的判定定理不存在．故B符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．
9．D
【分析】首先根据已知条件可证得∠ADC＝∠AEB，即可证得△ACD≌△ABE（SAS），∠CAD＝∠BAE＝60°，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可求得∠CAE的度数．
解：∵∠1＝∠2＝110°，
∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，
∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，
∴∠ADC＝∠AEB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，
∴∠CAE的度数为20°，
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形的内角和定理及外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACD≌△ABE是解题的关键．
10．B
【分析】根据作图的步骤得出两个三角形的三条边对应相等，利用SSS可证，从而得出．
解：根据作图过程可知：，，，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了作一个角等于一个已知角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据作图过程证明三角形全等．
11．12
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有．
解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以，
故答案为：12．
【点拨】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，解题的关键是找清相互重合的对应边．
12．SSS
【分析】利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以根据“SSS”可判断△DOC≌△D'O'C'．
故答案为：SSS．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角）是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定．
13．（答案不唯一）
【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等.
解：在与中，

所以补充：
故答案为：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.
14．3
【分析】由旋转可得，可求得，可求得的面积．
解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
15．2或4
【分析】先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了．
解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点E作的垂线交直线于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
①如图，当点E在射线上移动时，，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，
∴E移动了：；
②当点E在射线上移动时，，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，
∴E移动了：（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动或时，；
故答案为：2或4．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．
【分析】先根据AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，得到AF＝BE，AD＝AF＝7.5，然后证△ADE≌△BEC得到S△DAE＝S△CBE，即可推出S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，则S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF由此求解即可
解：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠A=∠B=90°
∵AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，
∴AF＝BE，
∴AD＝AF＝7.5，
在△ADE和△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴S△DAE＝S△CBE，
∵S1＝S△DAF﹣S△DAE﹣S△EFG，S2＝S△CBE﹣S△EFG﹣S△CBF，
∴S1﹣S2＝S△DAE+S△CBF＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．或
【分析】先证明△BDC≌△EDA（SAS），可得∠C＝∠EAD，根据三角形的内角和定理表示出∠AFB，再分射线BF在∠DBC内部，射线BF在∠DBC外部，分别表示出∠DBF，即可表示出∠AFB的度数．
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝DC，
∵在△BDC和△EDA中，
∴△BDC≌△EDA（SAS），
∴∠C＝∠EAD，
∵点F在∠DAE的平分线上，
∴∠FAD＝∠EAD＝∠C，
∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，
∴∠C＝α−β，∠DAB＋∠DBA＝180°−α，
∴∠FAD＝（α−β），
∴∠AFB＝180°−∠FAB−∠FBA
＝180°−∠DAB−∠DBA−∠FAD−∠FBD
＝180°−（180°−α）−（α−β）−∠FBD
＝α＋β−∠FBD
∵∠FBC＝∠DBC＝β，
当射线BF在∠DBC内部时，
∴∠FBD＝β，
∴∠AFB＝α＋β−β＝α；
当射线BF在∠DBC外部时，
则∠FBD＝β，
∴∠AFB＝α＋β−β＝α−β，
综上，∠AFB＝α或α−β，
故答案为：α或α−β．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
18．1.2
【分析】由题意易得，则有，然后可得，则可证，进而可得，最后问题可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴（AAS），
∵，，
∴，
∴；
故答案为1.2．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．(1)，理由见解析；(2)
【分析】（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
解：，
理由如下：
∵
∴
在和中
∴
∴
（2）解：∵
∴
∴
∵平分
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
20．详见解析
【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
解：证明：延长ED至G，使，连结GC，
∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，

∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第（1）问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．
解：证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在Rt△BEC与Rt△DEA中，
∵，
∴△BEC≌△DEA（HL）；
（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，
∴∠B＝∠D．
∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质定理，（1）熟练掌握三角形的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问的关键；（2）本题主要应用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
22．见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．
解：选择条件①的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以．
选择条件②的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以．
选择条件③的证明：
因为，
所以，
又因为，，
所以≌，
所以
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定方法，证明两个三角形全等的方法有：SSS，AAS，SAS，ASA，HL
23．（1）理由见解析；（2）理由见解析．
【分析】（1）两三角形已经具备一边一角的条件，由已知可再找一角的条件，利用ASA来说明理由；
（2）结合（1）的结论可得到AD=BF，只需判断BF与BE之间的数量关系即可．
解：（1）证明：如图所示，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°．
在和中，
（2）BE与AD之间的数量关系是理由如下：
∵AD平分∠BAC，
在和中，
∴AD=BF.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的中点的性质等知识点，熟知三角形全等的判定与性质是解题的基础；作为连续性问题，上一问题的结论对后面问题的提示和帮助作用不可忽视．
24．（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）根据题意证明，根据三角形的内角和即可求解；
（2）设AD与CE交于F点，根据题意证明，根据平角的性质即可求解．
解：（1）．理由如下：
，
．
，，
，
，
∴=
∵
∴;
（2）．理由如下：
设AD与CE交于F点．
，．
，，
，．
，．
，，
．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注
判定三角形全等必须有一组对应边相等