专题2.9 角的轴对称性（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题2.9 角的轴对称性（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共23页。

【知识点一】角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
【知识点二】角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【知识点三】角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
近几年以来，角平分线和线段垂直平分线多以作图的为背景出现，同时融入了角平分线和垂直平分线的性质定理和判定定理进行证明和求值。
一、单选题
1．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是( )
A．B．C．D．
6．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）

A．35°B．45°C．55°D．65°
7．（2021·四川广元·统考中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．

10．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：

（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
（3）作射线交直线于点；若，则 度．
11．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则 ．

12．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．

13．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于 cm．

14．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，平分若则 ．

15．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则 度．

16．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数 °．

17．（2021·福建·统考中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是 ．

18．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ．

三、解答题
19．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知：，．
求作：点P，使点P在内部，且．
20．（2023·河南·统考中考真题）如图，中，点D在边上，且．
请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．

21．（2022·陕西·统考中考真题）如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2022·广东·统考中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．
求证：．

23．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．

24．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
1．B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3．A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意可知，平分，即可得出正确答案．
【详解】解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；
故选C．
【点拨】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
6．B
【分析】根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用即可求出答案．
【详解】解：由作法得BP平分
,
∵OG平分,
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．
7．C
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点拨】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点．
8．D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点拨】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
9．
【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
10．58
【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案．
【详解】解：由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键．
11．
【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，是的角平分线，
∴．
故答案为：
【点拨】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
12．55
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【详解】∵由作图可得，是的角平分线
∴．
故答案为：55．
【点拨】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点拨】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
14．1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点拨】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
15．15
【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解．
【详解】解：由题意，，，，
即点O到BC、AB的距离相等，
∴ OB是的角平分线，
∵ ，
∴．
故答案为：15．
【点拨】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．
16．60
【分析】先根据矩形的性质得出，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点拨】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
17．
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．
故答案为．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
18．
【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】解：平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
19．见解析
【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解．
【详解】解：如图，点P即为所求：
【点拨】本题主要考查角平分线与垂直平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线与垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
21．见解析
【分析】作的角平分线即可．
【详解】解：如图，射线即为所求作．
【点拨】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
22．见解析
【分析】根据题意，用AAS证明．
【详解】证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴
又∵（公共边），
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点拨】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
24．（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．