专题2.10 等腰三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

特别提醒：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
特别提醒：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【考点一】等腰三角形➼➻等腰三角形的定义
【例1】已知等腰，解答以下问题：
（1）若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数；
（2）若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长．
【答案】(1)或； (2)
【分析】（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可；
（2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可．
解：（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为，
当为等腰三角形的底角时，则顶角为，
所以这个等腰三角形另外两个角的度数为；
（2）若两条边长a和都是腰，则，解得，不符合题意，舍去；
若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况：
若a是腰，则为底边，则，解得，
此时三角形的三边长分别是，
∵，
故此时不能构成三角形，舍去；
若a是底边，则为腰，则，解得，
此时三角形的三边长分别是，能构成三角形，
综上，三角形的三边长分别是．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，全面分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．15或6
【答案】B
【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可．
解：根据题意，，
解得，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为．
故选：B．
【点拨】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，点是射线上一动点（在点的右侧），，当 时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．

【答案】或或
【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
解：分为以下3种情况：
①，

∵，
∴
∵，
∴
∴
②，

∵，，
∴，
又，
∴
③

∵，
∴
∵
∴
∴
综上所述，或或，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键．
【考点二】等腰三角形➼➻等边对等角★★等角对等边➼➻求值✭★证明
【例2】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长是，求的长．

【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，求得的度数，根据垂直平分线性质得出，得出，利用外角性质进而求出的度数；
（2）由（1）知，，利用，即可求出的长．
（1）解：，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
，
的周长是，即，
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，在中，，，于点，点在上且，
（1）若的周长是，求线段的长；
（2）求的度数.

【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）证明点是的中点，，从而可得答案；
（2）证明，求解，证明，结合，可得，从而可得答案.
（1）解：∵，于点，
∴点是的中点，
∵的周长是，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.
【例3】如图，在中，，作交的延长线于点，作，，且，相交于点，求证：．

【分析】根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
【举一反三】
【变式】已知：如图所示，中，，为的角平分线，求证：．（推理过程请注明理由）

【分析】等边对等角，得到，外角的性质和角平分线的定义，得到，即可得证．
证明：（已知），
（等边对等角），
是的外角，（外角的定义）
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，（等量代换）
是的角平分线，（已知）
（角平分线定义），
（等量代换），
．（内错角相等，两直线平行）
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【考点三】等腰三角形➼➻三线合一➼➻求值✭★证明
【例4】如图，在中，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，试说明．

【答案】(1) ； （2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得答案．
（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】小明遇到这样一个问题：
如图①，在中，，点在上，且，求证：．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作，垂足为，证明．
请从以上两种方法中任选一种，加以证明．
【分析】方法1：利用三角形的内角和计算角的度数即可得出结论；方法2：作，垂足为，根据同角的余角相等得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出．
证明：方法1：，
，
又，
，
．
方法2：作，垂足为，
，
，
．
又，，
，
．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和，同角的余角相等，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形的内角和定理，等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
【考点四】等腰三角形性质与判定➼➻综合➼➻求值✭★证明
【例5】如图：在的边的延长线上，点在边上，交于点，，．
求证：是等腰三角形．（过作交于）

【分析】过作交于，根据平行线的性质可得出、，结合以及可证明，根据全等三角形的性质可得出，结合可得出，进而可得出，即可得证出△ABC是等腰三角形．
证明：如图，过作交于，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．

【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】在中，，点分别在边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的角度．

【答案】(1）见解析； (2)
【分析】（1）由得，通过证明得到，从而即可得到是等腰三角形；
（2）由得到，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，最后由进行计算即可得到答案．
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，是解题的关键．
【变式2】如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在外有一点F，使，．
（1）求证：；
（2）在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．
求证：①；②平分．

【分析】（1）两次运用同角的余角相等证明，得；
（2）①过E作于H，分别证明和是等腰直角三角形即可；②根据题意得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可．
（1）证明：
，即，
又，
在和中，
，
；
（2）①如图，过点E作于H，则是等腰直角三角形，

∵平分
∴是等腰直角三角形，
②∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
又∵，，
∴平分．
【点拨】本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的判定，证明边和角相等时，一般就证明边和角所在的三角形全等即可．