所属成套资源:2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版)
- 专题2.17 等边三角形的轴对称性(分层练习)(提升练)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版) 试卷 0 次下载
- 专题2.18 等边三角形的轴对称性(分层练习)(培优练)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版) 试卷 0 次下载
- 专题2.20 轴对称的最值问题(知识梳理与考点分类讲解)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版) 试卷 0 次下载
- 专题2.24 轴对称的最值问题(直通中考)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版) 试卷 1 次下载
- 第2章 轴对称图形(单元测试·拔尖卷)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版) 试卷 0 次下载
专题2.19 等边三角形的轴对称性(直通中考)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版)
展开
这是一份专题2.19 等边三角形的轴对称性(直通中考)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版),共26页。
【知识点一】等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三角形.
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形的性质:
等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【知识点三】含30°的直角三角形
在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
一、单选题
1.(2023·贵州·统考中考真题)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为,腰长为,则底边上的高是( )
A.B.C.D.
2.(2023·河北·统考中考真题)在和中,.已知,则( )
A.B.C.或D.或
3.(2023·河北·统考中考真题)如图,直线,菱形和等边在,之间,点A,F分别在,上,点B,D,E,G在同一直线上:若,,则( )
A.B.C.D.
4.(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图,为等边三角形,,则等于( )
A.B.C.D.
5.(2021·福建·统考中考真题)如图,点F在正五边形的内部,为等边三角形,则等于( )
A.B.C.D.
6.(2020·福建·统考中考真题)如图,面积为1的等边三角形中,分别是,,的中点,则的面积是( )
A.1B.C.D.
7.(2018·福建·中考真题)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )
A.15°B.30°C.45°D.60°
8.(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图,是等边的边上的高,以点为圆心,长为半径作弧交的延长线于点,则( )
A.B.C.D.
9.(2022·辽宁鞍山·统考中考真题)如图,直线,等边三角形的顶点在直线上,,则的度数为( )
A.B.C.D.
10.(2017·湖南常德·中考真题)如图,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是 .
二、填空题
11.(2020·辽宁阜新·中考真题)如图,直线a,b过等边三角形顶点A和C,且,,则的度数为 .
12.(2020·辽宁·中考真题)如图,以为边,在的同侧分别作正五边形和等边,连接,则的度数是 .
13.(2020·湖北·中考真题)如图,D是等边三角形外一点.若,连接,则的最大值与最小值的差为 .
14.(2020·江苏常州·中考真题)如图,在中,的垂直平分线分别交、于点E、F.若是等边三角形,则 °.
15.(2016·广西贺州·中考真题)如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为 .
16.(2013·广西贵港·中考真题)如图,△ABC和△FPQ均是等边三角形,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,点P在AB边上,连接EF、QE.若AB=6,PB=1,则QE= .
17.(2023·吉林·统考中考真题)如图,在中,.点,分别在边,上,连接,将沿折叠,点的对应点为点.若点刚好落在边上,,则的长为 .
三、解答题
18.(2022·四川自贡·统考中考真题)如图,△是等边三角形, 在直线上,.
求证: .
(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图,是等边的中线,以为圆心,的长为半径画弧,交的延长线于,连接.
求证:.
20.(2021·湖北·统考中考真题)已知和都为正三角形,点B,C,D在同一直线上,请仅用无刻度的直尺完成下列作图,不写作法,保留作图痕迹.
(1)如图1,当时,作的中线;
(2)如图2,当时,作的中线.
21.(2012·贵州遵义·中考真题)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
22.(2020·四川凉山·统考中考真题)如图,点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.
(1)如图1,连接AQ、CP求证:
(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数
(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
23.(2020·山东烟台·统考中考真题)如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
(1)如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;
【类比探究】
(2)如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.
24.(2022·青海·统考中考真题)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,则形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现:
如图1,若和是顶角相等的等腰三角形,BC,DE分别是底边.求证:;
图1
(2)解决问题:如图2,若和均为等腰直角三角形,,点A,D,E在同一条直线上,CM为中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.
图2
参考答案
1.B
【分析】作于点D,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得,再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.
【详解】解:如图,作于点D,
中,,,
,
,
,
故选B.
【点拨】本题考查等腰三角形的性质,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质等,解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半.
2.C
【分析】过A作于点D,过作于点,求得,分两种情况讨论,利用全等三角形的判定和性质即可求解.
【详解】解:过A作于点D,过作于点,
∵,
∴,
当在点D的两侧,在点的两侧时,如图,
∵,,
∴,
∴;
当在点D的两侧,在点的同侧时,如图,
∵,,
∴,
∴,即;
综上,的值为或.
故选:C.
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,分类讨论是解题的关键.
3.C
【分析】如图,由平角的定义求得,由外角定理求得,,根据平行性质,得,进而求得.
【详解】如图,∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选:C.
【点拨】本题考查平行线的性质,平角的定义,等边三角形的性质,三角形外角定理,根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键.
4.C
【分析】先根据等边三角形的性质可得,再根据平行线的性质可得,然后根据角的和差即可得.
【详解】解:为等边三角形,
,
,
,
,
,
,
解得,
故选:C.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点,熟练掌握等边三角形的性质是解题关键.
5.C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数,根据正五边形的性质可得AB=BC,根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°,AB=BF,可得BF=BC,根据角的和差关系可得出∠FBC的度数,根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数,根据角的和差关系即可得答案.
【详解】∵是正五边形,
∴∠ABC==108°,AB=BC,
∵为等边三角形,
∴∠ABF=∠AFB=60°,AB=BF,
∴BF=BC,∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°,
∴∠BFC==66°,
∴=∠AFB+∠BFC=126°,
故选:C.
【点拨】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质,熟练掌握多边形内角和公式是解题关键.
6.D
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是.
【详解】∵分别是,,的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是.
故选D.
【点拨】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质.
7.A
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论.
【详解】解:∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,
∴BD=CD,
即:AD是BC的垂直平分线,
∵点E在AD上,
∴BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB,
∵∠EBC=45°,
∴∠ECB=45°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°,
故选A.
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键.
8.C
【分析】由等边三角形的性质求解,再利用等腰三角形的性质可得,从而可得答案.
【详解】解:∵是等边的边上的高,
∴,
∵,
∴,
故选C
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质,等腰三角形的性质,熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键.
9.A
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A=60°,再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°,然后根据平行线的性质得到∠1的度数.
【详解】解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=60°,
∵∠A+∠3+∠2=180°,
∴∠3=180°−40°−60°=80°,
∵,
∴∠1=∠3=80°.
故选:A.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.也考查了平行线的性质.
10.0<CD≤5.
【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况,根据等腰三角形的性质计算即可.
【详解】解:(1)当点D与点E重合时,CD=0,此时∠CDE=30°不成立,
(2)当点D与点A重合时,
∵∠A=90°,∠B=60°,
∴∠E=30°,
∴∠CDE=∠E,∠CDB=∠B,
∴CE=CD,CD=CB,
∴CD= BE=5,
∴0<CD≤5,
故答案为:0<CD≤5.
【点睛】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质,掌握直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
11.102°
【分析】根据题意可求出的度数,再根据两直线平行内错角相等即可得出答案.
【详解】三角形ABC为等边三角形
故答案为:.
【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
12.66°
【分析】由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数,由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数,进而可得AE=AF以及∠EAF的度数,进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案.
【详解】解:∵五边形是正五边形,
∴AB=AE,∠EAB=108°,
∵△ABF是等边三角形,
∴AB=AF,∠FAB=60°,
∴AE=AF,∠EAF=108°-60°=48°,
∴∠EFA=.
故答案为:66°.
【点拨】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理,属于常考题型,熟练掌握上述基本知识是解题的关键.
13.12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE,连接BE,可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD,再根据三角形的三边关系即可得出结论.
【详解】解:如图1,以CD为边向外作等边三角形CDE,连接BE,
∵CE=CD,CB=CA,∠ECD=∠BCA=60°,
∴∠ECB=∠DCA,
∴△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD,
∵DE=CD=6,BD=8,
∴8-6
相关试卷
这是一份专题2.18 等边三角形的轴对称性(分层练习)(培优练)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版),共36页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份专题2.17 等边三角形的轴对称性(分层练习)(提升练)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版),共27页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份专题2.14 等腰三角形的轴对称性(直通中考)-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练(苏科版),共22页。