专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点一】垂直线段最短问题；
【知识点二】将军饮马问题；
【知识点三】造桥选址问题．
【考点一】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．
【例1】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（ ）

A． B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
解：如图，在上取一点E，使，连接，

是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
【举一反三】
【变式】如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
【考点二】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线隐藏型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．
【例2】通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是 ．

【答案】9.5
【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值．
【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，

则，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又，当D，M，N，E共线时，，
∴的最大值为9.5．
故答案为：9.5．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
【举一反三】
【变式】小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 ．
【答案】7
【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值．
解： ∵，点E为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∵将和分别沿CE、DE翻折得到和，
∴，，，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即，
【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
【考点三】将军饮马问题➼➻➸两定一动型
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
【例3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．
【答案】15
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，
故答案为：15．

【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
【举一反三】
【变式】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是 cm．

【答案】12
【分析】当点与重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长．
解：∵DE垂直平分AC，
∴点C与A关于DE对称，
∴当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），
∴的周长为：，
∵是垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：12．

【点拨】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．
【考点三】将军饮马问题➼➻➸一定两动型
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
【例4】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 .
【答案】3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ．

【答案】
【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．
解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．

∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴；
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．
【知识点四】造桥选址问题．
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
【例4】在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】(1）见解析； (2) 4； (3) 4
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，
∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，

∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．