第2章 轴对称图形（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份第2章 轴对称图形（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（ ）

A．15 B．20 C．30 D．80
5．如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）
A．1.8或1.5B．1.5或1.2C．1.5D．1.2
7．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180°B．200°C．210°D．240°
8．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．如图，中，，，．则为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．平面上的两条相交直线是轴对称图形，它有 条对称轴．
12．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则 ．

13．如图，长方形纸片中，，，且，将长方形纸片沿直线翻折，使点C落在边上，记作点N，再将沿直线向左翻折，使点D落在射线上，记作点P，若点N，P，A三点中有一点是另外两点的中点，则的值为 ．

14．如图，在中，．P是边上一点，，连接，以为边在的右上方作等边三角形．若，则点Q到边的距离为

15．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．

16．在中，，平分，过A作的垂线交直线于点M，若，则的度数为 ．
17．如图，边长为a的等边中，BF是AC上的中线且，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边，连接EF，则周长的最小值是 ，此时 ．

18．如图，在中，，、为边上两点，为边上的一点，连接，，，，．则 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．
（1）如果，求的度数；
（2）如果已知∠，则__________（用含的式子表示）
（3）探究与的数量关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在和中，，，，与交于点（不与点，重合），点，在异侧，，的平分线相交于点．
（1）当时，求的长；
（2）求证：；
（3）当时，求的取值范围．
21．（10分）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点G，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．

22．（10分）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求证：∠ACB＝∠ACD；
（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
23．（10分）如图①，在中，，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合
（1）若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：；
（3）如图③，在图①的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由
24．（12分）已知，为等边三角形，点D在边上．
【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连接．请直接写出之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】∵ 不是轴对称图形，
∴A不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴B不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴C符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了轴对称图形即沿某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的图形，熟练掌握定义是解题的关键．
2．B
【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数．
解：∵，，
∴，
∵，
∴当点E在上时，点E到点A的距离最大，如图，

由折叠可知，，
∴，
故选B．
【点拨】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置．
3．B
【分析】画出△ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可．
解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
4．A
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质证，再根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可．
解：过点P作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，和分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．

【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．
解：如图：
作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，
∴ME=MC，
∴CM+MN=EM+MN=EN，
根据垂线段最短，
EN最短，
∵∠AOB=35°，
∠ENO=CFM=90°，
∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，
∴∠EMF=∠OMN=55°，
∴∠E=∠MCE=35°，
∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
6．B
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；
②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.
7．A
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
8．D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
9．B
【分析】可过C作于E，因为，则可得，可过C作于E，依据题意可得，进而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．
【详解】如图，可过C作于E，可过C作于E．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，且
∴，
∴，且
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键．
10．C
【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④．
解：在中，，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴结论①不正确，结论②正确；
过点作于点，过点作于点，连接，
∵平分，OC平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴结论③正确，
∵，，
∴，
设，，
∴，
∴结论④正确，
∴正确的结论有：②③④，
故选：C．

【点拨】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关键．
11．2
【分析】根据轴对称的性质即可解答.
【详解】平面内两条相交的两直线是轴对称图形，两对对顶角的角平分线所在的直线是这个图形的两条对称轴.
故答案为2.
【点拨】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
12．/度
【分析】延长，作，，，设，，进而根据三角形的外角的性质得出，证明，即可求解．
【详解】延长，作，，，

设，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13．3或
【分析】分两种情况讨论，利用折叠的性质和矩形的性质可求解．
解：∵将长方形纸片沿直线翻折，
∴，
将沿直线向左起折，当点D落在线段上时，如图，

∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴；
当点D落在线段的延长线上时，如图，

∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3或．
【点拨】本题考查了翻折变换，线段的中点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
14．
【分析】如图，过作于，则，，则，由等边三角形，可得，，，证明，根据，求解即可．
解：如图，过作于，则，

∵，
∴，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．
【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．

故答案为：．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．
16．或
【分析】分两种情况讨论：当点M在延长线上时，当点M在延长线上时，分别画出图形，作出辅助线，求出结果即可．
解：当点M在延长线上时，延长，在的延长线上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
即；
当点M在延长线上时，延长，在的延长线上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
即；
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，注意分类讨论．
17． /90度
【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小
解：∵，均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点E在射线上运动（）
作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，

∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值是，
故答案为：，
【点拨】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
18．22
【分析】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；由根据平行线和角的数量关系得到,，从而得到，将转到，利用角的关系和角平分线的性质可再证明，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；
,
，
是的平分线；
又
在与中，
；
又角平分线、交于L，
，，
在与中，
，
在与中，
，，
．
故答案为22．
【点拨】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．
19．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由平行线性质得到的度数，再由折叠性质得到的度数，最后根据平角定义即可求出的度数；
（2）由平行线性质和折叠性质得到，根据外角性质即可得到的度数；
（3）由平行线性质得到和，即可推出最后结果．
【详解】（1）解：，
，
由折叠知，
，
；
（2），
，
由折叠的性质可得：，
；
（3），
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠性质，外角性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．
20．(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）由三角形内角和定理求出，根据内心的概念得到，根据三角形内角和定理得到，根据不等式的性质计算即可．
【详解】（1）∵，
∴为直角三角形，，
∵，
∴；
∴；
（2）在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵
∴
设，则，
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴
=
=，
∵，
∴.
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理，解题关键是熟记三角形的角平分线的性质．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明；
（2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明；
（3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出；
【详解】（1）证明： 是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.
平分.
（2）过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，

（3），
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
22．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；
（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CР⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，
∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠=30°，
∴∠ MP=30°，
∵∠MЕP=60°，
∴O点与E点重合．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
23．(1)与垂直，证明过程见解析；
(2)证明过程见解析；
(3)与相等，证明过程见解析．
【分析】（1）先求出，进而求出，从而判断出，即可得结论；
（2）先判断出，再判断出，根据判断两个三角形全等；
（3）过点作交线段的延长线于点，判断出，再判断出，根据判断两个三角形全等，然后由全等的性质即可得．
【详解】（1）解：．
证明：在中，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，，
，
是的外角，
，
，
，
在和中，
；
（3）如图：过点作交线段的延长线于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．

【点拨】本题是三角形综合题，主要考差了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．能够准确作出辅助线并构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
24．基本图形：；迁移运用：证明见解析；类比探究：，理由见解析
【分析】基本图形：只需要证明得到，再由即可解答；
迁移运用：过点作，交于点，然后证明得到，即可推出；
类比探究：过点作，交于点，然后证明，得到，再由，即可得到．
解：基本图形：
∵是等边三角形，等边三角形，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴
∴，即；
迁移运用：
证明：过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴；
类比探究：
解：，理由如下：
过点作，交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．